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12. (★)顶点为$(0,-5)$且开口方向、形状与函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象相同的抛物线是【 】
A.$y=-\frac{1}{2}x^2+5$
B.$y=-\frac{1}{2}x^2-5$
C.$y=\frac{1}{2}x^2-5$
D.$y=\frac{1}{2}x^2+5$
A.$y=-\frac{1}{2}x^2+5$
B.$y=-\frac{1}{2}x^2-5$
C.$y=\frac{1}{2}x^2-5$
D.$y=\frac{1}{2}x^2+5$
答案
B
解析
【分析】
解决这道题可分两步思考：第一步，明确二次函数中二次项系数$a$的作用：$a$决定抛物线的开口方向和形状，两个抛物线开口方向、形状相同则$a$值相等，据此先排除不符合$a$值的选项；第二步，回忆顶点在$y$轴上的二次函数解析式形式，根据给定的顶点坐标确定常数项，即可得到正确解析式，对应选出选项即可。
【解析】
解：① 二次函数的二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状，
∵ 所求抛物线与$y=-\frac{1}{2}x^2$的开口方向、形状相同，
∴ 所求抛物线的二次项系数$a=-\frac{1}{2}$，可排除C、D选项；
② 已知抛物线顶点为$(0,-5)$，说明该抛物线的解析式为$y=ax^2+k$的形式，此类抛物线的顶点坐标为$(0,k)$，因此$k=-5$，
将$a=-\frac{1}{2}$、$k=-5$代入得解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2 -5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数顶点坐标；二次项系数的意义
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的基础性质，解题关键是牢记二次项系数对图象的影响，以及顶点坐标与解析式参数的对应关系，熟练掌握知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解决这道题可分两步思考：第一步，明确二次函数中二次项系数$a$的作用：$a$决定抛物线的开口方向和形状，两个抛物线开口方向、形状相同则$a$值相等，据此先排除不符合$a$值的选项；第二步，回忆顶点在$y$轴上的二次函数解析式形式，根据给定的顶点坐标确定常数项，即可得到正确解析式，对应选出选项即可。
【解析】
解：① 二次函数的二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状，
∵ 所求抛物线与$y=-\frac{1}{2}x^2$的开口方向、形状相同，
∴ 所求抛物线的二次项系数$a=-\frac{1}{2}$，可排除C、D选项；
② 已知抛物线顶点为$(0,-5)$，说明该抛物线的解析式为$y=ax^2+k$的形式，此类抛物线的顶点坐标为$(0,k)$，因此$k=-5$，
将$a=-\frac{1}{2}$、$k=-5$代入得解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2 -5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数顶点坐标；二次项系数的意义
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的基础性质，解题关键是牢记二次项系数对图象的影响，以及顶点坐标与解析式参数的对应关系，熟练掌握知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
13. (★★)如果关于x的二次函数$y=(a-1)x^2+a^2+4a$的最大值为5，那么a的值为
【 】
A.-1
B.-5
C.-1或-5
D.-1或-2
【 】
A.-1
B.-5
C.-1或-5
D.-1或-2
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先结合二次函数的性质思考：①题目明确是二次函数，因此二次项系数不能为0；②二次函数有最大值，说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0；③该二次函数无一次项，对称轴为y轴，顶点纵坐标就是函数的最大值，因此常数项的值等于5。我们可以先列方程求出a的可能值，再结合开口向下的条件筛选出符合要求的a即可。
【解析】
∵ 关于x的函数是二次函数，且存在最大值
∴ 二次项系数满足：$a-1＜0$，解得 $a＜1$
又
∵ 二次函数的最大值为5，该函数顶点纵坐标为$a^2+4a$
∴ 列方程得：$a^2+4a=5$
整理为一元二次方程标准形式：$a^2+4a-5=0$
因式分解得：$(a+5)(a-1)=0$
解得：$a_1=-5$，$a_2=1$
结合$a＜1$的限制条件，$a=1$不符合要求，舍去
∴ $a=-5$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的最值；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，易错点是容易忽略“二次函数有最大值时二次项系数为负”的隐含条件，直接选取方程的所有解，做题时要注意结合函数性质对结果进行验证筛选。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先结合二次函数的性质思考：①题目明确是二次函数，因此二次项系数不能为0；②二次函数有最大值，说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0；③该二次函数无一次项，对称轴为y轴，顶点纵坐标就是函数的最大值，因此常数项的值等于5。我们可以先列方程求出a的可能值，再结合开口向下的条件筛选出符合要求的a即可。
【解析】
∵ 关于x的函数是二次函数，且存在最大值
∴ 二次项系数满足：$a-1＜0$，解得 $a＜1$
又
∵ 二次函数的最大值为5，该函数顶点纵坐标为$a^2+4a$
∴ 列方程得：$a^2+4a=5$
整理为一元二次方程标准形式：$a^2+4a-5=0$
因式分解得：$(a+5)(a-1)=0$
解得：$a_1=-5$，$a_2=1$
结合$a＜1$的限制条件，$a=1$不符合要求，舍去
∴ $a=-5$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的最值；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，易错点是容易忽略“二次函数有最大值时二次项系数为负”的隐含条件，直接选取方程的所有解，做题时要注意结合函数性质对结果进行验证筛选。
【难度系数】
0.6
14. (★ ★) 对于二次函数 $ y = 2x^2 - 3 $，当 $ -1 ≤ x ≤ 2 $ 时，y的取值范围是 。
答案
解：
二次函数$y=2x^2-3$的二次项系数$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,-3)$。
在$-1≤ x≤ 2$的范围内：
当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=-3$；
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2 -3=-1$；
当$x=2$时，$y=2×2^2 -3=5$。
对比得$y$的最大值为5。
因此$y$的取值范围是$\boldsymbol{-3≤ y≤ 5}$。
二次函数$y=2x^2-3$的二次项系数$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,-3)$。
在$-1≤ x≤ 2$的范围内：
当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=-3$；
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2 -3=-1$；
当$x=2$时，$y=2×2^2 -3=5$。
对比得$y$的最大值为5。
因此$y$的取值范围是$\boldsymbol{-3≤ y≤ 5}$。
解析
【分析】
求解二次函数在指定区间内的y取值范围，需按以下思路思考：第一步先确定二次函数的基本性质，由二次项系数判断开口方向，再找到对称轴与顶点坐标；第二步判断对称轴是否落在给定的自变量区间内，若对称轴在区间内，开口向上时顶点处取最小值，开口向下时顶点处取最大值；第三步分别计算区间两个端点对应的函数值，和顶点处的函数值对比，即可得到该区间内y的最大值和最小值，进而得到y的取值范围。本题中二次函数开口向上，对称轴为x=0，落在[-1,2]区间内，因此顶点处取最小值，再计算两个端点的函数值找最大值即可。
【解析】
解：二次函数$y=2x^2-3$的二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,-3)$。
在$-1≤ x≤ 2$的范围内：
当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=-3$；
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2 -3=-1$；
当$x=2$时，$y=2×2^2 -3=5$。
对比两个端点的函数值，可得$y$的最大值为5。
因此$y$的取值范围是$-3≤ y≤ 5$。
【答案】
$\boldsymbol{-3≤ y≤ 5}$
【知识点】
1.二次函数的图象与性质
2.二次函数区间最值计算
【点评】
本题是二次函数取值范围的基础考查题，解题核心是不要直接代入区间两端点求最值，需先结合开口方向、对称轴位置判断顶点是否在区间内，再综合顶点与端点的函数值确定最值，避免遗漏顶点处的最值导致出错。
【难度系数】
0.7
求解二次函数在指定区间内的y取值范围，需按以下思路思考：第一步先确定二次函数的基本性质，由二次项系数判断开口方向，再找到对称轴与顶点坐标；第二步判断对称轴是否落在给定的自变量区间内，若对称轴在区间内，开口向上时顶点处取最小值，开口向下时顶点处取最大值；第三步分别计算区间两个端点对应的函数值，和顶点处的函数值对比，即可得到该区间内y的最大值和最小值，进而得到y的取值范围。本题中二次函数开口向上，对称轴为x=0，落在[-1,2]区间内，因此顶点处取最小值，再计算两个端点的函数值找最大值即可。
【解析】
解：二次函数$y=2x^2-3$的二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,-3)$。
在$-1≤ x≤ 2$的范围内：
当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{min}}=-3$；
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2 -3=-1$；
当$x=2$时，$y=2×2^2 -3=5$。
对比两个端点的函数值，可得$y$的最大值为5。
因此$y$的取值范围是$-3≤ y≤ 5$。
【答案】
$\boldsymbol{-3≤ y≤ 5}$
【知识点】
1.二次函数的图象与性质
2.二次函数区间最值计算
【点评】
本题是二次函数取值范围的基础考查题，解题核心是不要直接代入区间两端点求最值，需先结合开口方向、对称轴位置判断顶点是否在区间内，再综合顶点与端点的函数值确定最值，避免遗漏顶点处的最值导致出错。
【难度系数】
0.7
15. (★★)如图,两条抛物线$y_1=-\frac{1}{2}x^2+1$与$y_2=-\frac{1}{2}x^2-1$分别经过点$(-2,-1)$，$(2,-3)$，则平行于y轴的两条平行线与抛物线围成的阴影部分的面积为。
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
首先观察两条抛物线的解析式，二次项系数完全相同，说明两条抛物线形状一致，仅发生了上下平移。对于这类不规则阴影面积的计算，我们可以用转化思想：先求同一x值对应的两条抛物线的竖直距离差，再确定阴影的水平宽度，将不规则阴影转化为规则的矩形计算面积即可。
【解析】
1. 计算两条抛物线的竖直距离差：
对任意相同的x，$y_1 - y_2 = (-\frac{1}{2}x^2 + 1) - (-\frac{1}{2}x^2 - 1) = 2$，即两条抛物线之间的竖直距离恒为2。
2. 确定阴影的水平宽度：
观察图形可得，阴影部分的x取值范围为$-2≤ x≤2$，水平宽度为$2 - (-2) = 4$。
3. 计算阴影面积：
由于竖直距离恒为2，可将阴影部分通过割补法拼接为长为4、宽为2的矩形，面积$S = 4×2 = 8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次函数图象的平移；割补法求不规则图形面积
【点评】
本题不需要复杂的面积计算公式，核心是抓住两条抛物线的平移特征，通过转化思想把不规则的阴影面积转化为规则矩形面积求解，能很好地考察对二次函数图象性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察两条抛物线的解析式，二次项系数完全相同，说明两条抛物线形状一致，仅发生了上下平移。对于这类不规则阴影面积的计算，我们可以用转化思想：先求同一x值对应的两条抛物线的竖直距离差，再确定阴影的水平宽度，将不规则阴影转化为规则的矩形计算面积即可。
【解析】
1. 计算两条抛物线的竖直距离差：
对任意相同的x，$y_1 - y_2 = (-\frac{1}{2}x^2 + 1) - (-\frac{1}{2}x^2 - 1) = 2$，即两条抛物线之间的竖直距离恒为2。
2. 确定阴影的水平宽度：
观察图形可得，阴影部分的x取值范围为$-2≤ x≤2$，水平宽度为$2 - (-2) = 4$。
3. 计算阴影面积：
由于竖直距离恒为2，可将阴影部分通过割补法拼接为长为4、宽为2的矩形，面积$S = 4×2 = 8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次函数图象的平移；割补法求不规则图形面积
【点评】
本题不需要复杂的面积计算公式，核心是抓住两条抛物线的平移特征，通过转化思想把不规则的阴影面积转化为规则矩形面积求解，能很好地考察对二次函数图象性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
16. (★★★) 抛物线 $y = x^2 + 3$ 上有两点 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$，若 $y_1 ＜ y_2$，则下列结论正确的是 【 】
A.$0 ≤ x_1 ＜ x_2$
B.$x_2 ＜ x_1 ≤ 0$
C.$x_2 ＜ x_1 ≤ 0$ 或 $0 ≤ x_1 ＜ x_2$
D.以上都不对
A.$0 ≤ x_1 ＜ x_2$
B.$x_2 ＜ x_1 ≤ 0$
C.$x_2 ＜ x_1 ≤ 0$ 或 $0 ≤ x_1 ＜ x_2$
D.以上都不对
答案
D
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=x^2+3$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），开口向上的抛物线中，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。已知$y_1＜y_2$，可得$|x_1|＜|x_2|$，接下来逐一验证选项是否覆盖所有满足$|x_1|＜|x_2|$的情况，排除片面的选项即可得到正确答案。
【解析】
抛物线$y=x^2+3$开口向上，对称轴为直线$x=0$，对于抛物线上任意一点，到对称轴的距离越远，函数值$y$越大。
由$y_1＜y_2$可得：$|x_1|＜|x_2|$。
分析选项A：当$0≤x_1＜x_2$时，满足$|x_1|＜|x_2|$，此时$y_1＜y_2$成立，但这只是其中一种情况。例如$x_1=-1$，$x_2=2$时，$y_1=(-1)^2+3=4$，$y_2=2^2+3=7$，满足$y_1＜y_2$，但不符合$0≤x_1＜x_2$，故A错误；
分析选项B：当$x_2＜x_1≤0$时，满足$|x_1|＜|x_2|$，此时$y_1＜y_2$成立，同样上述$x_1=-1$，$x_2=2$的例子也满足$y_1＜y_2$，不符合该情况，故B错误；
分析选项C：上述$x_1=-1$，$x_2=2$的例子，既不满足$x_2＜x_1≤0$，也不满足$0≤x_1＜x_2$，但$y_1＜y_2$成立，故C错误；
综上，A、B、C均错误，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的增减性
【点评】
本题容易误选C，解题的关键是明确开口向上的二次函数，函数值大小由点到对称轴的距离决定，不要遗漏两点分别在对称轴两侧的情况，需全面考虑所有符合条件的$x_1$、$x_2$的取值关系。
【难度系数】
0.6
首先回忆二次函数$y=x^2+3$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），开口向上的抛物线中，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。已知$y_1＜y_2$，可得$|x_1|＜|x_2|$，接下来逐一验证选项是否覆盖所有满足$|x_1|＜|x_2|$的情况，排除片面的选项即可得到正确答案。
【解析】
抛物线$y=x^2+3$开口向上，对称轴为直线$x=0$，对于抛物线上任意一点，到对称轴的距离越远，函数值$y$越大。
由$y_1＜y_2$可得：$|x_1|＜|x_2|$。
分析选项A：当$0≤x_1＜x_2$时，满足$|x_1|＜|x_2|$，此时$y_1＜y_2$成立，但这只是其中一种情况。例如$x_1=-1$，$x_2=2$时，$y_1=(-1)^2+3=4$，$y_2=2^2+3=7$，满足$y_1＜y_2$，但不符合$0≤x_1＜x_2$，故A错误；
分析选项B：当$x_2＜x_1≤0$时，满足$|x_1|＜|x_2|$，此时$y_1＜y_2$成立，同样上述$x_1=-1$，$x_2=2$的例子也满足$y_1＜y_2$，不符合该情况，故B错误；
分析选项C：上述$x_1=-1$，$x_2=2$的例子，既不满足$x_2＜x_1≤0$，也不满足$0≤x_1＜x_2$，但$y_1＜y_2$成立，故C错误；
综上，A、B、C均错误，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的增减性
【点评】
本题容易误选C，解题的关键是明确开口向上的二次函数，函数值大小由点到对称轴的距离决定，不要遗漏两点分别在对称轴两侧的情况，需全面考虑所有符合条件的$x_1$、$x_2$的取值关系。
【难度系数】
0.6
