7. (2024·宿迁联考)如图,小虎用 10 块高度都是 3 cm 的形状相同的长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角形木板(AC= BC,∠ACB= 90°),点 C在 DE 上,点 A 和 B 分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的距离 DE 的长度为 ( )

A.30 cm
B.27 cm
C.24 cm
D.21 cm

A

设左边木墙由$x$块木块组成，右边木墙由$y$块木块组成，$x + y=10$。
$AD = 3x\ cm$，$BE=3y\ cm$。
$\angle ACB = 90^\circ$，$\angle ACD+\angle BCE=90^\circ$。
$\angle ACD+\angle CAD=90^\circ$，故$\angle CAD=\angle BCE$。
$AC = BC$，$\triangle ACD\cong\triangle CBE(AAS)$。
$AD = CE = 3x\ cm$，$CD=BE = 3y\ cm$。
$DE=CD + CE=3y+3x=3(x + y)=3×10 = 30\ cm$。
A

8. 如图,CA 平分∠DCB,CB= CD,DA 的延长线交 BC 于点 E. 若∠EAC= 49°,则∠BAE 的度数为______.

82° 解析:设∠B=x,∠BCA=y,则易得∠BCA=∠DCA=y.证△ABC≌△ADC(SAS),得∠B=∠D=x.由∠EAC=∠D+∠DCA,得x+y=49°.在△ABC中,由三角形的内角和为180°,得∠BAE=180°-49°-(x+y)=82°.

设∠B = x，∠BCA = y。
∵CA平分∠DCB，
∴∠DCA = ∠BCA = y。
在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l} CB = CD \\ ∠BCA = ∠DCA \\ CA = CA \end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴∠B = ∠D = x。
∵∠EAC是△ADC的外角，
∴∠EAC = ∠D + ∠DCA，即x + y = 49°。
在△ABC中，∠BAC = 180° - ∠B - ∠BCA = 180° - x - y = 180° - 49° = 131°。
∵∠BAE + ∠EAC = ∠BAC，
∴∠BAE = ∠BAC - ∠EAC = 131° - 49° = 82°。
82°

9. 如图,在△ABC 和△DCB 中,AC 与 BD 交于点 E,且∠A= ∠D,AB= DC.
(1) 写出图中所有全等的三角形:______;
(2) 若∠AEB= 50°,则∠EBC 的度数为______.

(1)△ABE≌△DCE,△ABC≌△DCB
(2)25°

10. 如图,D 是四边形 AEBC 内一点,连接 AD,DB,已知 CA= CB,DA= DB,EA= EB. 求证:C,D,E 三点在一条直线上.

连接CD,ED.在△ADC和△BDC中,AC=BC,AD=BD,CD=CD,
∴△ADC≌△BDC(SSS),
∴∠ADC=∠BDC.在△ADE和△BDE中,AD=BD,AE=BE,ED=ED,
∴△ADE≌△BDE(SSS),
∴∠ADE=∠BDE.
∵∠ADC+∠BDC+∠ADE+∠BDE=360°,
∴2∠ADC+2∠ADE=360°,
∴∠ADC+∠ADE=180°,
∴C,D,E三点在一条直线上

11. 如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,点 E,F 分别在 AD,BC 上,AE= CF,过点 A,C 分别作直线 EF 的垂线,垂足分别为 G,H.
(1) 求证:△AGE≌△CHF.
(2) 连接 AC,线段 GH 与 AC 是否互相平分? 请说明理由.

(1)
∵AG⊥EF,CH⊥EF,
∴∠G=∠H=90°.
∵AD//BC,
∴∠DEF=∠CFH.
∵∠AEG=∠DEF,
∴∠AEG=∠CFH.在△AGE和△CHF中,∠G=∠H,∠AEG=∠CFH,AE=CF,
∴△AGE≌△CHF(AAS)
(2)线段GH与AC互相平分 理由:设GH,AC交于点O.由
(1),得△AGE≌△CHF,
∴AG=CH.在△AGO和△CHO中,∠AOG=∠COH,∠G=∠H,AG=CH,
∴△AGO≌△CHO(AAS),
∴AO=CO,GO=HO,即线段GH与AC互相平分.