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1. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上。只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图。要求：
(1)在图①中画∠ABC，使得$\tan∠ ABC=1$；
(2)在图②中画∠ABD，使得$\tan∠ ABD=\frac{1}{2}$；
(3)在图③中画∠ABE，使得$\tan∠ ABE=\frac{3}{5}$。
(1)在图①中画∠ABC，使得$\tan∠ ABC=1$；
(2)在图②中画∠ABD，使得$\tan∠ ABD=\frac{1}{2}$；
(3)在图③中画∠ABE，使得$\tan∠ ABE=\frac{3}{5}$。
答案
答案不唯一,如:
(1)如图①,∠ABC即为所作.
(2)如图②,∠ABD即为所作.
(3)如图③,∠ABE即为所作.
解析
【分析】
解题核心是利用锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。我们以B为顶点、BA为其中一边构造指定正切值的角，只需在网格中找到合适的格点，连接B与该格点，使对应角放在直角三角形中时，对边和邻边的长度比等于题目要求的正切值即可：
1. 要使$\tan∠ ABC=1$，需构造对边:邻边=1:1的直角三角形，找到符合要求的格点C连接BC即可；
2. 要使$\tan∠ ABD=\frac{1}{2}$，需构造对边:邻边=1:2的直角三角形，找到对应格点D连接BD即可；
3. 要使$\tan∠ ABE=\frac{3}{5}$，需构造对边:邻边=3:5的直角三角形，找到对应格点E连接BE即可。
【解析】
(1) 正切值为1说明目标角对应的直角三角形对边与邻边长度相等，观察网格找到格点C，连接BC，此时$∠ ABC$所在直角三角形的两直角边比值为1，符合要求；
(2) 正切值为$\frac{1}{2}$说明目标角对应的直角三角形对边与邻边的比为1:2，找到符合该边长比的格点D，连接BD，得到的$∠ ABD$符合要求；
(3) 正切值为$\frac{3}{5}$说明目标角对应的直角三角形对边与邻边的比为3:5，结合网格边长特征找到满足该比例的格点E，连接BE，得到的$∠ ABE$符合要求。
【答案】
答案不唯一,如:
(1)如图①,∠ABC即为所作.
(2)如图②,∠ABD即为所作.
(3)如图③,∠ABE即为所作.
【知识点】
1. 正切的定义
2. 网格作图
3. 直角三角形边角关系
【点评】
本题考查对锐角正切概念的理解和网格作图能力，解题关键是将正切值转化为直角三角形两条直角边的长度比，再结合网格格点特征构造符合要求的角，答案不唯一，满足正切值要求即可。
【难度系数】
0.6
解题核心是利用锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。我们以B为顶点、BA为其中一边构造指定正切值的角，只需在网格中找到合适的格点，连接B与该格点，使对应角放在直角三角形中时，对边和邻边的长度比等于题目要求的正切值即可：
1. 要使$\tan∠ ABC=1$，需构造对边:邻边=1:1的直角三角形，找到符合要求的格点C连接BC即可；
2. 要使$\tan∠ ABD=\frac{1}{2}$，需构造对边:邻边=1:2的直角三角形，找到对应格点D连接BD即可；
3. 要使$\tan∠ ABE=\frac{3}{5}$，需构造对边:邻边=3:5的直角三角形，找到对应格点E连接BE即可。
【解析】
(1) 正切值为1说明目标角对应的直角三角形对边与邻边长度相等，观察网格找到格点C，连接BC，此时$∠ ABC$所在直角三角形的两直角边比值为1，符合要求；
(2) 正切值为$\frac{1}{2}$说明目标角对应的直角三角形对边与邻边的比为1:2，找到符合该边长比的格点D，连接BD，得到的$∠ ABD$符合要求；
(3) 正切值为$\frac{3}{5}$说明目标角对应的直角三角形对边与邻边的比为3:5，结合网格边长特征找到满足该比例的格点E，连接BE，得到的$∠ ABE$符合要求。
【答案】
答案不唯一,如:
(1)如图①,∠ABC即为所作.
(2)如图②,∠ABD即为所作.
(3)如图③,∠ABE即为所作.
【知识点】
1. 正切的定义
2. 网格作图
3. 直角三角形边角关系
【点评】
本题考查对锐角正切概念的理解和网格作图能力，解题关键是将正切值转化为直角三角形两条直角边的长度比，再结合网格格点特征构造符合要求的角，答案不唯一，满足正切值要求即可。
【难度系数】
0.6
2. （2025·南京月考）平行线是研究相似三角形的基本工具.
【尝试】已知线段AB,请用无刻度直尺与圆规在图①中作出线段AB的一个三等分点P.
【应用】仅用无刻度直尺在图②的6×6网格中作出线段AB,BC的一个三等分点D,E.
【拓展】仅用无刻度直尺在图③中完成下列作图.
(1)在AC边找一点E,使得$\tan∠ABE=0.6$;(2)在AB边找一点E,使得$\sin∠BCE=\frac{\sqrt{10}}{10}$.
【计算】在上图的$△ ABC$中,请直接写出$\sin A · \cos B · \tan C$的值:
【尝试】已知线段AB,请用无刻度直尺与圆规在图①中作出线段AB的一个三等分点P.
【应用】仅用无刻度直尺在图②的6×6网格中作出线段AB,BC的一个三等分点D,E.
【拓展】仅用无刻度直尺在图③中完成下列作图.
(1)在AC边找一点E,使得$\tan∠ABE=0.6$;(2)在AB边找一点E,使得$\sin∠BCE=\frac{\sqrt{10}}{10}$.
【计算】在上图的$△ ABC$中,请直接写出$\sin A · \cos B · \tan C$的值:
$\frac{98\sqrt{2}}{65}$
.答案
【尝试】如图①,点P即为所作.(合理即可)
【应用】如图②,点D,E即为所作.
【拓展】(1)如图③,点E即为所作.
(2)如图④,点E即为所作.
【计算】$\frac{98\sqrt{2}}{65}$ 解析:如图⑤,过点 C 作 $CM ⊥ AB$ 于点 M,过点 A 作$AN⊥BC$ 于点 N,由勾股定理可得 $AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.设 $AM=x$,则 $BM=\sqrt{13}-x$,由勾股定理得 $CM^2=AC^2-AM^2=BC^2-BM^2$,$\therefore 10-x^2=5-(\sqrt{13}-x)^2$,解得$x=\frac{9\sqrt{13}}{13}$,$\therefore CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\frac{7\sqrt{13}}{13}$,$\therefore BM=AB-AM=\frac{4\sqrt{13}}{13}$.
$\because \sin B=\frac{AN}{AB}=\frac{CM}{BC}$,$\therefore \frac{AN}{\sqrt{13}}=\frac{\frac{7\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{5}}$,$\therefore AN=\frac{7\sqrt{5}}{5}$,$\therefore CN=\sqrt{AC^2-AN^2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,$\therefore \sin A · \cos B · \tan C = \frac{CM}{AC} · \frac{BM}{BC} · \frac{AN}{CN} = \frac{\frac{7\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{10}} × \frac{\frac{4\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{5}} × \frac{\frac{7\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{98\sqrt{2}}{65}$.
解析
【分析】
1. 尝试部分：作线段三等分点可利用平行线分线段成比例定理，从线段一端引射线，用圆规截3段等长线段，连接最远端点与线段另一端，过第二个截点作连线的平行线，与原线段交点即为三等分点。
2. 应用部分：网格中可借助格点构造平行线，利用平行线分线段成比例的性质，找到与AB、BC相交的对应格点连线，交点即为三等分点。
3. 拓展(1)：$\tan∠ABE=0.6=\frac{3}{5}$，即需构造∠ABE所在直角三角形的对边与邻边比为3:5，找到对应倾斜程度的直线与AC的交点即可。
4. 拓展(2)：$\sin∠BCE=\frac{\sqrt{10}}{10}$，即∠BCE所在直角三角形的对边与斜边比为$1:\sqrt{10}$，对应直角边为1和3，构造对应角度的直线与AB相交即可。
5. 计算部分：先通过勾股定理求出△ABC三边长度，作高后结合勾股定理求出各边上的高，再根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值，最后相乘化简即可。
【解析】
尝试
从点A引一条不与AB重合的射线AC，用圆规在AC上顺次截取3段长度相等的线段$AD=DE=EF$，连接BF，过点D作BF的平行线，与AB的交点即为三等分点P。
应用
结合网格格点构造平行线，利用平行线分线段成比例，找到对应格点连线与AB、BC的交点D、E。
拓展
(1)根据$\tan∠ABE=0.6=\frac{3}{5}$，构造对应倾斜程度的直线与AC相交，交点E即为所求；
(2)根据$\sin∠BCE=\frac{\sqrt{10}}{10}$，构造对应角度的直线与AB相交，交点E即为所求。
计算
如图⑤，过点C作$CM⊥AB$于点M，过点A作$AN⊥BC$于点N：
1. 由勾股定理求三边长：
$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
2. 求CM的长度：
设$AM=x$，则$BM=\sqrt{13}-x$，由勾股定理得$CM^2=AC^2-AM^2=BC^2-BM^2$，
即$10-x^2=5-(\sqrt{13}-x)^2$，解得$x=\frac{9\sqrt{13}}{13}$，
代入得$CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\frac{7\sqrt{13}}{13}$，$BM=AB-AM=\frac{4\sqrt{13}}{13}$。
3. 求AN、CN的长度：
由$\sin B=\frac{AN}{AB}=\frac{CM}{BC}$，代入得$\frac{AN}{\sqrt{13}}=\frac{\frac{7\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{5}}$，解得$AN=\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
则$CN=\sqrt{AC^2-AN^2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
4. 计算三角函数乘积：
$\sin A · \cos B · \tan C = \frac{CM}{AC} · \frac{BM}{BC} · \frac{AN}{CN} = \frac{\frac{7\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{10}} × \frac{\frac{4\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{5}} × \frac{\frac{7\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{98\sqrt{2}}{65}$。
【答案】
【尝试】
【应用】
【拓展】(1)
(2)
【计算】$\frac{98\sqrt{2}}{65}$
【知识点】
尺规作图，平行线分线段成比例，锐角三角函数
【点评】
本题综合了作图与三角函数计算两类考点，既需要掌握平行线分线段成比例的原理完成不同要求的作图，又需要熟练运用勾股定理和锐角三角函数的定义完成运算，对动手能力和计算能力都有一定考查。
【难度系数】
0.6
1. 尝试部分：作线段三等分点可利用平行线分线段成比例定理，从线段一端引射线，用圆规截3段等长线段，连接最远端点与线段另一端，过第二个截点作连线的平行线，与原线段交点即为三等分点。
2. 应用部分：网格中可借助格点构造平行线，利用平行线分线段成比例的性质，找到与AB、BC相交的对应格点连线，交点即为三等分点。
3. 拓展(1)：$\tan∠ABE=0.6=\frac{3}{5}$，即需构造∠ABE所在直角三角形的对边与邻边比为3:5，找到对应倾斜程度的直线与AC的交点即可。
4. 拓展(2)：$\sin∠BCE=\frac{\sqrt{10}}{10}$，即∠BCE所在直角三角形的对边与斜边比为$1:\sqrt{10}$，对应直角边为1和3，构造对应角度的直线与AB相交即可。
5. 计算部分：先通过勾股定理求出△ABC三边长度，作高后结合勾股定理求出各边上的高，再根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值，最后相乘化简即可。
【解析】
尝试
从点A引一条不与AB重合的射线AC，用圆规在AC上顺次截取3段长度相等的线段$AD=DE=EF$，连接BF，过点D作BF的平行线，与AB的交点即为三等分点P。
应用
结合网格格点构造平行线，利用平行线分线段成比例，找到对应格点连线与AB、BC的交点D、E。
拓展
(1)根据$\tan∠ABE=0.6=\frac{3}{5}$，构造对应倾斜程度的直线与AC相交，交点E即为所求；
(2)根据$\sin∠BCE=\frac{\sqrt{10}}{10}$，构造对应角度的直线与AB相交，交点E即为所求。
计算
如图⑤，过点C作$CM⊥AB$于点M，过点A作$AN⊥BC$于点N：
1. 由勾股定理求三边长：
$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
2. 求CM的长度：
设$AM=x$，则$BM=\sqrt{13}-x$，由勾股定理得$CM^2=AC^2-AM^2=BC^2-BM^2$，
即$10-x^2=5-(\sqrt{13}-x)^2$，解得$x=\frac{9\sqrt{13}}{13}$，
代入得$CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\frac{7\sqrt{13}}{13}$，$BM=AB-AM=\frac{4\sqrt{13}}{13}$。
3. 求AN、CN的长度：
由$\sin B=\frac{AN}{AB}=\frac{CM}{BC}$，代入得$\frac{AN}{\sqrt{13}}=\frac{\frac{7\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{5}}$，解得$AN=\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
则$CN=\sqrt{AC^2-AN^2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
4. 计算三角函数乘积：
$\sin A · \cos B · \tan C = \frac{CM}{AC} · \frac{BM}{BC} · \frac{AN}{CN} = \frac{\frac{7\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{10}} × \frac{\frac{4\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{5}} × \frac{\frac{7\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{98\sqrt{2}}{65}$。
【答案】
【尝试】
【应用】
【拓展】(1)
(2)
【计算】$\frac{98\sqrt{2}}{65}$
【知识点】
尺规作图，平行线分线段成比例，锐角三角函数
【点评】
本题综合了作图与三角函数计算两类考点，既需要掌握平行线分线段成比例的原理完成不同要求的作图，又需要熟练运用勾股定理和锐角三角函数的定义完成运算，对动手能力和计算能力都有一定考查。
【难度系数】
0.6
3. ★★★ (2025·泉州月考)如图,在矩形$ABCD$中,$AB=2AD$.
(1)尺规作图:在线段$CD$上确定一点$E$,使得$∠ AED=30°$(保留作图痕迹,不写作法与证明);
(2)在(1)的条件下,连结$BE$,求$S_{△ ADE}:S_{四边形ABCE}$的值.
(1)尺规作图:在线段$CD$上确定一点$E$,使得$∠ AED=30°$(保留作图痕迹,不写作法与证明);
(2)在(1)的条件下,连结$BE$,求$S_{△ ADE}:S_{四边形ABCE}$的值.
答案
(1)如图,点E为所作.
(2)在矩形$ABCD$中,$AB=2AD$,设$AD=a$,则$AB=2a$,$\because ∠AED=30°$,
$\therefore DE=\frac{AD}{\tan 30°}=\sqrt{3}a$,$\therefore S_{△ADE}=\frac{1}{2}AD×DE=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$,$\therefore S_{四边形ABCE}=S_{矩形ABCD}-S_{△ADE}=2a^2-\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{4-\sqrt{3}}{2}a^2$,$\therefore S_{△ADE}:S_{四边形ABCE}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a^2}{\frac{4-\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}×(4+\sqrt{3})}{(4-\sqrt{3})×(4+\sqrt{3})}=\frac{4\sqrt{3}+3}{13}$.
解析
【分析】
(1) 要得到∠AED=30°，结合矩形中∠D=90°的性质，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，只需使AE=2AD即可，因此以点A为圆心，2AD长度为半径画弧，与CD的交点即为所求点E。
(2) 求两个图形的面积比，可先设参数表示各边长度，利用30°角的正切值求出DE的长度，分别计算△ADE的面积和矩形ABCD的面积，用矩形面积减去△ADE的面积得到四边形ABCE的面积，最后作比并化简即可。
【解析】
(1) 以A为圆心，2AD长为半径作弧，交CD于点E，点E即为所求。
(2) 设$AD=a$，由$AB=2AD$得$AB=2a$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ D=90°$，$CD=AB=2a$，$S_{矩形ABCD}=AD· AB=a· 2a=2a^2$。
在$Rt△ ADE$中，$∠ AED=30°$，
∴$\tan∠ AED=\frac{AD}{DE}$，即$DE=\frac{AD}{\tan30°}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}a$。
∴$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}· AD· DE=\frac{1}{2}× a×\sqrt{3}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。
∴$S_{四边形ABCE}=S_{矩形ABCD}-S_{△ ADE}=2a^2-\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{4-\sqrt{3}}{2}a^2$。
∴$S_{△ ADE}:S_{四边形ABCE}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a^2}{\frac{4-\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$，
分母有理化得$\frac{\sqrt{3}(4+\sqrt{3})}{(4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})}=\frac{4\sqrt{3}+3}{13}$。
【答案】
(1) 如图,点E为所作.
(2) $\frac{4\sqrt{3}+3}{13}$
【知识点】
尺规作图，矩形的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考察了尺规作图能力与图形面积计算能力，作图时需结合特殊直角三角形的性质确定作图思路，计算面积比时要注意通过设参数简化计算，最后化简比值时要正确进行分母有理化，避免运算错误。
【难度系数】
0.6
(1) 要得到∠AED=30°，结合矩形中∠D=90°的性质，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，只需使AE=2AD即可，因此以点A为圆心，2AD长度为半径画弧，与CD的交点即为所求点E。
(2) 求两个图形的面积比，可先设参数表示各边长度，利用30°角的正切值求出DE的长度，分别计算△ADE的面积和矩形ABCD的面积，用矩形面积减去△ADE的面积得到四边形ABCE的面积，最后作比并化简即可。
【解析】
(1) 以A为圆心，2AD长为半径作弧，交CD于点E，点E即为所求。
(2) 设$AD=a$，由$AB=2AD$得$AB=2a$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ D=90°$，$CD=AB=2a$，$S_{矩形ABCD}=AD· AB=a· 2a=2a^2$。
在$Rt△ ADE$中，$∠ AED=30°$，
∴$\tan∠ AED=\frac{AD}{DE}$，即$DE=\frac{AD}{\tan30°}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}a$。
∴$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}· AD· DE=\frac{1}{2}× a×\sqrt{3}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。
∴$S_{四边形ABCE}=S_{矩形ABCD}-S_{△ ADE}=2a^2-\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{4-\sqrt{3}}{2}a^2$。
∴$S_{△ ADE}:S_{四边形ABCE}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a^2}{\frac{4-\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$，
分母有理化得$\frac{\sqrt{3}(4+\sqrt{3})}{(4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})}=\frac{4\sqrt{3}+3}{13}$。
【答案】
(1) 如图,点E为所作.
(2) $\frac{4\sqrt{3}+3}{13}$
【知识点】
尺规作图，矩形的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考察了尺规作图能力与图形面积计算能力，作图时需结合特殊直角三角形的性质确定作图思路，计算面积比时要注意通过设参数简化计算，最后化简比值时要正确进行分母有理化，避免运算错误。
【难度系数】
0.6
