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1. 计算：
（1）$\sqrt{5} - \sqrt{3}$（精确到0.1）；
（2）$\sqrt[3]{9} - \sqrt{9}$（精确到0.01）。
（1）$\sqrt{5} - \sqrt{3}$（精确到0.1）；
（2）$\sqrt[3]{9} - \sqrt{9}$（精确到0.01）。
答案
(1) 0.5 (2) $-0.92$
解析
【分析】
本题是实数的近似运算类题目，解题思路如下：首先分别获取每个根式的近似值，运算时近似值要比题目要求的精确度多保留1位，避免计算误差；再按照有理数的加减运算法则计算结果；最后根据题目要求的精确度对结果四舍五入即可。
【解析】
（1）先取常见无理数的近似值：$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{3}\approx1.732$，代入算式计算：
$\sqrt{5}-\sqrt{3}\approx2.236-1.732=0.504$
要求精确到0.1，即保留1位小数，观察百分位为0，小于5舍去，得结果0.5。
（2）先化简已知根式：$\sqrt{9}=3$，取立方根近似值$\sqrt[3]{9}\approx2.080$，代入算式计算：
$\sqrt[3]{9}-\sqrt{9}\approx2.080-3=-0.920$
要求精确到0.01，即保留2位小数，观察千分位为0，小于5舍去，得结果-0.92。
【答案】
（1）$\boxed{0.5}$；（2）$\boxed{-0.92}$
【知识点】
平方根近似计算，立方根近似计算，实数近似运算
【点评】
本题侧重考查实数近似计算的基本能力，解题核心是准确获取根式的近似值，掌握四舍五入取近似值的规则，计算时注意多保留1位近似值可减少误差。
【难度系数】
0.8
本题是实数的近似运算类题目，解题思路如下：首先分别获取每个根式的近似值，运算时近似值要比题目要求的精确度多保留1位，避免计算误差；再按照有理数的加减运算法则计算结果；最后根据题目要求的精确度对结果四舍五入即可。
【解析】
（1）先取常见无理数的近似值：$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{3}\approx1.732$，代入算式计算：
$\sqrt{5}-\sqrt{3}\approx2.236-1.732=0.504$
要求精确到0.1，即保留1位小数，观察百分位为0，小于5舍去，得结果0.5。
（2）先化简已知根式：$\sqrt{9}=3$，取立方根近似值$\sqrt[3]{9}\approx2.080$，代入算式计算：
$\sqrt[3]{9}-\sqrt{9}\approx2.080-3=-0.920$
要求精确到0.01，即保留2位小数，观察千分位为0，小于5舍去，得结果-0.92。
【答案】
（1）$\boxed{0.5}$；（2）$\boxed{-0.92}$
【知识点】
平方根近似计算，立方根近似计算，实数近似运算
【点评】
本题侧重考查实数近似计算的基本能力，解题核心是准确获取根式的近似值，掌握四舍五入取近似值的规则，计算时注意多保留1位近似值可减少误差。
【难度系数】
0.8
2. 计算：
（1）$3π + 4×(\sqrt{2} - \dfrac{3}{4}π)$（精确到0.01）；
（2）$3×\sqrt{5} - 3×(\sqrt{4} + \sqrt{5})$。
（1）$3π + 4×(\sqrt{2} - \dfrac{3}{4}π)$（精确到0.01）；
（2）$3×\sqrt{5} - 3×(\sqrt{4} + \sqrt{5})$。
答案
(1) 5.66 (2) $-6$
解析
【分析】
解答这两道实数运算题，可按以下思路思考：
（1）先观察算式结构，有乘法和加减，符合乘法分配律的形式，先利用乘法分配律去括号，再合并含π的同类项，会发现π的项可以直接抵消，剩下仅含√2的式子，再代入√2的近似值计算，最后按要求精确到0.01即可；
（2）同样先利用乘法分配律去括号，先算出√4=2，再合并同类二次根式，含√5的项可以抵消，直接得到整数结果。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}原式&=3π + 4×\sqrt{2} - 4×\frac{3}{4}π \\&=3π + 4\sqrt{2} - 3π \\&=4\sqrt{2}\end{aligned}$
代入$\sqrt{2}\approx1.414$，得$4×1.414=5.656\approx5.66$
（2）
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{5} - 3×(2 + \sqrt{5}) \\&=3\sqrt{5} - 6 - 3\sqrt{5} \\&=-6\end{aligned}$
【答案】
（1）5.66；（2）$-6$
【知识点】
实数运算，乘法分配律，无理数估值
【点评】
本题侧重考察实数运算的基础能力，解题时优先用运算律化简算式，能抵消的项先抵消，可大幅降低计算量，还能避免直接代入近似值带来的误差。
【难度系数】
0.85
解答这两道实数运算题，可按以下思路思考：
（1）先观察算式结构，有乘法和加减，符合乘法分配律的形式，先利用乘法分配律去括号，再合并含π的同类项，会发现π的项可以直接抵消，剩下仅含√2的式子，再代入√2的近似值计算，最后按要求精确到0.01即可；
（2）同样先利用乘法分配律去括号，先算出√4=2，再合并同类二次根式，含√5的项可以抵消，直接得到整数结果。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}原式&=3π + 4×\sqrt{2} - 4×\frac{3}{4}π \\&=3π + 4\sqrt{2} - 3π \\&=4\sqrt{2}\end{aligned}$
代入$\sqrt{2}\approx1.414$，得$4×1.414=5.656\approx5.66$
（2）
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{5} - 3×(2 + \sqrt{5}) \\&=3\sqrt{5} - 6 - 3\sqrt{5} \\&=-6\end{aligned}$
【答案】
（1）5.66；（2）$-6$
【知识点】
实数运算，乘法分配律，无理数估值
【点评】
本题侧重考察实数运算的基础能力，解题时优先用运算律化简算式，能抵消的项先抵消，可大幅降低计算量，还能避免直接代入近似值带来的误差。
【难度系数】
0.85
3. 计算：
（1）$\sqrt{16} - \sqrt[3]{8}$；
（2）$|-\sqrt{2}| - \sqrt{2} - \sqrt{(-2)^2}$。
（1）$\sqrt{16} - \sqrt[3]{8}$；
（2）$|-\sqrt{2}| - \sqrt{2} - \sqrt{(-2)^2}$。
答案
(1) 2 (2) $-2$
解析
【分析】
解答这两道实数运算题的核心思路是先分别化简每一项，再按照有理数加减法则计算：
（1）先根据算术平方根的定义求出$\sqrt{16}$的值，再根据立方根的定义求出$\sqrt[3]{8}$的值，最后计算两者的差即可；
（2）依次完成三项的化简：先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再保留第二个$\sqrt{2}$项，最后根据算术平方根的非负性化简$\sqrt{(-2)^2}$，再把化简后的结果合并计算。
【解析】
（1）$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为4；$\sqrt[3]{8}$是8的立方根，结果为2
原式$=4-2=2$
（2）先化简各项：负数的绝对值是它的相反数，故$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$；先计算平方再开方，$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$
原式$=\sqrt{2}-\sqrt{2}-2=0-2=-2$
【答案】
（1）$\boxed{2}$；（2）$\boxed{-2}$
【知识点】
算术平方根运算，立方根运算，绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，重点考察根式化简规则和绝对值的性质，运算时需先逐个化简每个运算项再合并计算，要注意避免出现$\sqrt{(-2)^2}=-2$这类符号错误。
【难度系数】
0.85
解答这两道实数运算题的核心思路是先分别化简每一项，再按照有理数加减法则计算：
（1）先根据算术平方根的定义求出$\sqrt{16}$的值，再根据立方根的定义求出$\sqrt[3]{8}$的值，最后计算两者的差即可；
（2）依次完成三项的化简：先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再保留第二个$\sqrt{2}$项，最后根据算术平方根的非负性化简$\sqrt{(-2)^2}$，再把化简后的结果合并计算。
【解析】
（1）$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为4；$\sqrt[3]{8}$是8的立方根，结果为2
原式$=4-2=2$
（2）先化简各项：负数的绝对值是它的相反数，故$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$；先计算平方再开方，$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$
原式$=\sqrt{2}-\sqrt{2}-2=0-2=-2$
【答案】
（1）$\boxed{2}$；（2）$\boxed{-2}$
【知识点】
算术平方根运算，立方根运算，绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，重点考察根式化简规则和绝对值的性质，运算时需先逐个化简每个运算项再合并计算，要注意避免出现$\sqrt{(-2)^2}=-2$这类符号错误。
【难度系数】
0.85
4. 将一个底面半径为10 cm的圆柱形容器里的药液倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度相等，那么长方体容器的底面边长是多少厘米（结果精确到0.1 cm）？
答案
$\sqrt{100π}≈17.7(\mathrm{cm})$
解析
【分析】
解题的核心是抓住“药液体积不变”的隐含等量关系，同时已知两个容器中药液高度相等。首先回忆圆柱和长方体的体积公式，二者体积都等于底面积乘高；因为体积相等、高度相等，可推出两个容器的底面积相等；接着先计算圆柱的底面积，再结合长方体底面是正方形、底面积等于边长的平方，对底面积开平方即可得到正方形边长，最后计算近似值即可。
【解析】
解：设两个容器中药液的高度均为$h\ \mathrm{cm}$，长方体容器的底面边长为$x\ \mathrm{cm}$。
根据药液体积相等列等式：
圆柱药液体积=长方体药液体积
即 $π × 10^2 × h = x^2 × h$
由于$h≠0$，等式两边同时除以$h$可得：
$x^2=100π$
因为边长为正数，所以$x=\sqrt{100π}$
代入$π\approx3.1416$计算得：$x\approx\sqrt{314.16}\approx17.7\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{100π}≈17.7(\mathrm{cm})$
【知识点】
1. 体积公式应用 2. 平方根计算 3. 实数近似运算
【点评】
本题结合几何体积计算和实数运算考查应用型问题求解能力，解题关键是通过体积相等、高度相等的条件消去未知的高度参数，简化问题为底面积相等的求解，难度较低，侧重基础等量关系的建立。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住“药液体积不变”的隐含等量关系，同时已知两个容器中药液高度相等。首先回忆圆柱和长方体的体积公式，二者体积都等于底面积乘高；因为体积相等、高度相等，可推出两个容器的底面积相等；接着先计算圆柱的底面积，再结合长方体底面是正方形、底面积等于边长的平方，对底面积开平方即可得到正方形边长，最后计算近似值即可。
【解析】
解：设两个容器中药液的高度均为$h\ \mathrm{cm}$，长方体容器的底面边长为$x\ \mathrm{cm}$。
根据药液体积相等列等式：
圆柱药液体积=长方体药液体积
即 $π × 10^2 × h = x^2 × h$
由于$h≠0$，等式两边同时除以$h$可得：
$x^2=100π$
因为边长为正数，所以$x=\sqrt{100π}$
代入$π\approx3.1416$计算得：$x\approx\sqrt{314.16}\approx17.7\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{100π}≈17.7(\mathrm{cm})$
【知识点】
1. 体积公式应用 2. 平方根计算 3. 实数近似运算
【点评】
本题结合几何体积计算和实数运算考查应用型问题求解能力，解题关键是通过体积相等、高度相等的条件消去未知的高度参数，简化问题为底面积相等的求解，难度较低，侧重基础等量关系的建立。
【难度系数】
0.7
5. 数轴上两点A，B分别表示实数$\sqrt{19}$和4。
（1）点A在点B的左边还是右边？
（2）计算A，B两点之间的距离（结果保留根号）。
（1）点A在点B的左边还是右边？
（2）计算A，B两点之间的距离（结果保留根号）。
答案
(1) 点A在点B的右边 (2) $\sqrt{19}-4$
解析
【分析】
（1）要判断数轴上点A、B的左右位置，需先回忆数轴的基本性质：数轴上右侧的点表示的数始终大于左侧的点表示的数，因此只需比较$\sqrt{19}$和4的大小即可。比较带根号的无理数和整数的大小时，可以将整数转化为对应算术平方根的形式，再通过比较被开方数的大小判断算术平方根的大小。
（2）数轴上两点之间的距离等于两点所表示的数的差的绝对值，结合第一问得出的两数大小关系，直接用较大的数减去较小的数即可求出距离，无需额外计算绝对值。
【解析】
（1）解：将4转化为算术平方根形式可得$4=\sqrt{4^2}=\sqrt{16}$，
因为19＞16，且两个正算术平方根的被开方数越大，对应的值越大，
所以$\sqrt{19}＞\sqrt{16}=4$，
根据数轴上右侧的数大于左侧的数，可得点A在点B的右边。
（2）解：数轴上两点的距离为两数差的绝对值，
因为$\sqrt{19}＞4$，
所以A、B两点的距离为$|\sqrt{19}-4|=\sqrt{19}-4$。
【答案】
(1) 点A在点B的右边 (2) $\sqrt{19}-4$
【知识点】
实数大小比较；数轴两点距离计算；算术平方根估算
【点评】
本题是实数模块的基础题，主要考查算术平方根的大小估算方法、数轴上数的大小与点的位置的对应关系，以及数轴两点距离的计算规则，熟练掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）要判断数轴上点A、B的左右位置，需先回忆数轴的基本性质：数轴上右侧的点表示的数始终大于左侧的点表示的数，因此只需比较$\sqrt{19}$和4的大小即可。比较带根号的无理数和整数的大小时，可以将整数转化为对应算术平方根的形式，再通过比较被开方数的大小判断算术平方根的大小。
（2）数轴上两点之间的距离等于两点所表示的数的差的绝对值，结合第一问得出的两数大小关系，直接用较大的数减去较小的数即可求出距离，无需额外计算绝对值。
【解析】
（1）解：将4转化为算术平方根形式可得$4=\sqrt{4^2}=\sqrt{16}$，
因为19＞16，且两个正算术平方根的被开方数越大，对应的值越大，
所以$\sqrt{19}＞\sqrt{16}=4$，
根据数轴上右侧的数大于左侧的数，可得点A在点B的右边。
（2）解：数轴上两点的距离为两数差的绝对值，
因为$\sqrt{19}＞4$，
所以A、B两点的距离为$|\sqrt{19}-4|=\sqrt{19}-4$。
【答案】
(1) 点A在点B的右边 (2) $\sqrt{19}-4$
【知识点】
实数大小比较；数轴两点距离计算；算术平方根估算
【点评】
本题是实数模块的基础题，主要考查算术平方根的大小估算方法、数轴上数的大小与点的位置的对应关系，以及数轴两点距离的计算规则，熟练掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
