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6. 写出一个比$-\sqrt{5}$小的无理数：
如$-\sqrt{7}$
。答案
答案不唯一，如$-\sqrt{7}$
解析
【分析】
要解决这个问题，可按以下思路思考：首先回忆两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而更小。其次明确所求数需要同时满足两个条件：①是无理数；②比$-\sqrt{5}$小。结合负数比较大小的规则，只需要找到一个绝对值比$\sqrt{5}$大的负无理数即可，最简单的方法是找一个比5大的正整数，对其开算术平方根后添加负号，得到的数既满足是无理数，也满足比$-\sqrt{5}$小。
【解析】
第一步：明确负数比较大小的规则：两个负数比较大小，绝对值大的数更小。
第二步：确定所求数的要求：是无理数，且小于$-\sqrt{5}$，即该数的绝对值大于$\sqrt{5}$。
第三步：举例验证：因为$7＞5$，所以$\sqrt{7}＞\sqrt{5}$，根据不等式的性质，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-\sqrt{7}＜-\sqrt{5}$。又因为$-\sqrt{7}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$-\sqrt{7}$符合要求。本题答案不唯一，满足条件均可。
【答案】
答案不唯一，如$-\sqrt{7}$
【知识点】
无理数的定义、实数大小比较
【点评】
本题属于开放性试题，答案不唯一，核心考查对无理数概念的理解和实数比较大小方法的掌握，解题时要注意负数比较大小的规则，避免因不等号方向判断错误写出不符合要求的数。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，可按以下思路思考：首先回忆两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而更小。其次明确所求数需要同时满足两个条件：①是无理数；②比$-\sqrt{5}$小。结合负数比较大小的规则，只需要找到一个绝对值比$\sqrt{5}$大的负无理数即可，最简单的方法是找一个比5大的正整数，对其开算术平方根后添加负号，得到的数既满足是无理数，也满足比$-\sqrt{5}$小。
【解析】
第一步：明确负数比较大小的规则：两个负数比较大小，绝对值大的数更小。
第二步：确定所求数的要求：是无理数，且小于$-\sqrt{5}$，即该数的绝对值大于$\sqrt{5}$。
第三步：举例验证：因为$7＞5$，所以$\sqrt{7}＞\sqrt{5}$，根据不等式的性质，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-\sqrt{7}＜-\sqrt{5}$。又因为$-\sqrt{7}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$-\sqrt{7}$符合要求。本题答案不唯一，满足条件均可。
【答案】
答案不唯一，如$-\sqrt{7}$
【知识点】
无理数的定义、实数大小比较
【点评】
本题属于开放性试题，答案不唯一，核心考查对无理数概念的理解和实数比较大小方法的掌握，解题时要注意负数比较大小的规则，避免因不等号方向判断错误写出不符合要求的数。
【难度系数】
0.8
7. 满足既大于$-\sqrt{5}$，又小于$\sqrt{13}$的整数一共有多少个？这些整数的和是多少？
答案
6个；3
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要估算出$-\sqrt{5}$和$\sqrt{13}$分别介于哪两个相邻整数之间，确定符合条件的整数的取值范围，再从中找出所有整数，最后统计整数的个数并计算它们的和即可。
【解析】
第一步：估算两个无理数的取值范围
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$；
又因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$。
第二步：找出符合条件的整数
大于$-\sqrt{5}$且小于$\sqrt{13}$的整数，就是大于$-3$且小于$4$的整数，分别为：$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$、$3$，共6个。
第三步：计算这些整数的和
将上述整数相加：$(-2)+(-1)+0+1+2+3=3$。
【答案】
6个；3
【知识点】
无理数大小估算、整数的概念、有理数的加法运算
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题关键是借助平方数准确确定两个无理数的取值范围，再筛选出符合要求的整数，掌握常见无理数的估算方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要估算出$-\sqrt{5}$和$\sqrt{13}$分别介于哪两个相邻整数之间，确定符合条件的整数的取值范围，再从中找出所有整数，最后统计整数的个数并计算它们的和即可。
【解析】
第一步：估算两个无理数的取值范围
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$；
又因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$。
第二步：找出符合条件的整数
大于$-\sqrt{5}$且小于$\sqrt{13}$的整数，就是大于$-3$且小于$4$的整数，分别为：$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$、$3$，共6个。
第三步：计算这些整数的和
将上述整数相加：$(-2)+(-1)+0+1+2+3=3$。
【答案】
6个；3
【知识点】
无理数大小估算、整数的概念、有理数的加法运算
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题关键是借助平方数准确确定两个无理数的取值范围，再筛选出符合要求的整数，掌握常见无理数的估算方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
8. 不用计算器，判断47的算术平方根在哪两个整数之间，与哪个整数较接近。
答案
$6＜\sqrt{47}＜7$，与7更接近
解析
【分析】
要判断47的算术平方根在哪两个相邻整数之间，核心是利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。首先找到两个相邻整数，使它们的平方分别小于、大于47，即可确定$\sqrt{47}$的范围；再计算47和这两个平方数的差值，差值越小说明$\sqrt{47}$越接近对应的整数。
【解析】
1. 确定$\sqrt{47}$的取值范围
计算相邻整数的平方：$6^2=36$，$7^2=49$。
因为$36＜47＜49$，根据算术平方根的性质可得：$\sqrt{36}＜\sqrt{47}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{47}＜7$。
2. 判断$\sqrt{47}$更接近的整数
计算47与两个平方数的差值：
47与36的差：$47-36=11$
49与47的差：$49-47=2$
由于$2＜11$，说明47更靠近49，因此$\sqrt{47}$与7更接近。
【答案】
$6＜\sqrt{47}＜7$，与7更接近
【知识点】
算术平方根的性质，无理数的估算
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是先找到与被开方数相邻的两个完全平方数确定无理数的范围，再通过作差比较即可判断更接近的整数，熟练记忆常见整数的平方能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要判断47的算术平方根在哪两个相邻整数之间，核心是利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。首先找到两个相邻整数，使它们的平方分别小于、大于47，即可确定$\sqrt{47}$的范围；再计算47和这两个平方数的差值，差值越小说明$\sqrt{47}$越接近对应的整数。
【解析】
1. 确定$\sqrt{47}$的取值范围
计算相邻整数的平方：$6^2=36$，$7^2=49$。
因为$36＜47＜49$，根据算术平方根的性质可得：$\sqrt{36}＜\sqrt{47}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{47}＜7$。
2. 判断$\sqrt{47}$更接近的整数
计算47与两个平方数的差值：
47与36的差：$47-36=11$
49与47的差：$49-47=2$
由于$2＜11$，说明47更靠近49，因此$\sqrt{47}$与7更接近。
【答案】
$6＜\sqrt{47}＜7$，与7更接近
【知识点】
算术平方根的性质，无理数的估算
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是先找到与被开方数相邻的两个完全平方数确定无理数的范围，再通过作差比较即可判断更接近的整数，熟练记忆常见整数的平方能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
9. 如图,两个$4×4$网格都由16个边长为1的小正方形组成。
（1）如图①,阴影正方形的顶点都在网格的格点上。这个阴影正方形的面积是多少？边长是多少？
（2）请在图②中画出面积是5的正方形,使它的顶点在网格的格点上,然后写出这个正方形的边长。
（3）你能在数轴上表示实数$\sqrt{10},-\sqrt{10},\sqrt{5},-\sqrt{5}$吗？请试一试。
（1）如图①,阴影正方形的顶点都在网格的格点上。这个阴影正方形的面积是多少？边长是多少？
（2）请在图②中画出面积是5的正方形,使它的顶点在网格的格点上,然后写出这个正方形的边长。
（3）你能在数轴上表示实数$\sqrt{10},-\sqrt{10},\sqrt{5},-\sqrt{5}$吗？请试一试。
答案
（1）10，$\sqrt{10}$ （2）图略。边长为$\sqrt{5}$
（3）图略。提示:数轴的单位长度和小正方格的边长相等。在数轴上分别画出到原点的距离为图①中阴影正方形的边长及图②中面积为5的正方形的边长。
（3）图略。提示:数轴的单位长度和小正方格的边长相等。在数轴上分别画出到原点的距离为图①中阴影正方形的边长及图②中面积为5的正方形的边长。
解析
【分析】
（1）求网格中阴影正方形的面积可采用割补法：先计算包含阴影的外围大正方形面积，再减去周围4个全等直角三角形的面积，即可得到阴影正方形的面积；已知正方形面积，边长就是面积的正的平方根（算术平方根）。
（2）要画面积为5的格点正方形，先由面积公式算出边长为$\sqrt{5}$，而直角边为1和2的直角三角形的斜边长恰好为$\sqrt{5}$，以此为边长就能画出符合要求的格点正方形。
（3）要在数轴上表示这四个无理数，可利用前两问得到的长度为$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$的线段，以原点为圆心，对应线段长为半径画弧，和正半轴的交点对应正无理数，和负半轴的交点对应负无理数即可。
【解析】
（1）观察图①，包含阴影正方形的外围大正方形边长为4，面积为：$4×4=16$；
周围4个直角三角形全等，每个直角三角形的两条直角边分别为1和3，单个面积为：$\frac{1}{2}×1×3=1.5$，4个三角形总面积为：$4×1.5=6$；
因此阴影正方形的面积为：$16-6=10$；
设阴影正方形边长为$a$，根据正方形面积公式得$a^2=10$，结合边长为正，得$a=\sqrt{10}$。
（2）设面积为5的正方形边长为$b$，则$b^2=5$，结合边长为正，得$b=\sqrt{5}$；
取直角边分别为1和2的直角三角形的斜边作为正方形边长，依次连接四条边，即可得到顶点都在格点上、面积为5的正方形（画图略）。
（3）已知数轴单位长度和小正方形边长相等，以原点为圆心，分别以$\sqrt{10}$、$\sqrt{5}$为半径画弧：
和数轴正半轴的两个交点分别对应$\sqrt{10}$、$\sqrt{5}$，和数轴负半轴的两个交点分别对应$-\sqrt{10}$、$-\sqrt{5}$（画图略）。
【答案】
（1）面积是$\boxed{10}$，边长是$\boxed{\sqrt{10}}$；
（2）画图略，边长是$\boxed{\sqrt{5}}$；
（3）画图略，提示：数轴的单位长度和小正方格的边长相等，在数轴上分别画出到原点的距离为$\sqrt{10}$、$\sqrt{5}$的点，即可对应表示$\sqrt{10},-\sqrt{10},\sqrt{5},-\sqrt{5}$。
【知识点】
割补法求面积、算术平方根、数轴表示实数
【点评】
本题是数形结合的典型习题，将无理数的概念和几何图形的计算、作图结合考查，既需要掌握网格中图形面积的计算方法，也需要理解算术平方根的意义和实数与数轴的对应关系，是夯实基础的典型题目。
【难度系数】
0.7
（1）求网格中阴影正方形的面积可采用割补法：先计算包含阴影的外围大正方形面积，再减去周围4个全等直角三角形的面积，即可得到阴影正方形的面积；已知正方形面积，边长就是面积的正的平方根（算术平方根）。
（2）要画面积为5的格点正方形，先由面积公式算出边长为$\sqrt{5}$，而直角边为1和2的直角三角形的斜边长恰好为$\sqrt{5}$，以此为边长就能画出符合要求的格点正方形。
（3）要在数轴上表示这四个无理数，可利用前两问得到的长度为$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$的线段，以原点为圆心，对应线段长为半径画弧，和正半轴的交点对应正无理数，和负半轴的交点对应负无理数即可。
【解析】
（1）观察图①，包含阴影正方形的外围大正方形边长为4，面积为：$4×4=16$；
周围4个直角三角形全等，每个直角三角形的两条直角边分别为1和3，单个面积为：$\frac{1}{2}×1×3=1.5$，4个三角形总面积为：$4×1.5=6$；
因此阴影正方形的面积为：$16-6=10$；
设阴影正方形边长为$a$，根据正方形面积公式得$a^2=10$，结合边长为正，得$a=\sqrt{10}$。
（2）设面积为5的正方形边长为$b$，则$b^2=5$，结合边长为正，得$b=\sqrt{5}$；
取直角边分别为1和2的直角三角形的斜边作为正方形边长，依次连接四条边，即可得到顶点都在格点上、面积为5的正方形（画图略）。
（3）已知数轴单位长度和小正方形边长相等，以原点为圆心，分别以$\sqrt{10}$、$\sqrt{5}$为半径画弧：
和数轴正半轴的两个交点分别对应$\sqrt{10}$、$\sqrt{5}$，和数轴负半轴的两个交点分别对应$-\sqrt{10}$、$-\sqrt{5}$（画图略）。
【答案】
（1）面积是$\boxed{10}$，边长是$\boxed{\sqrt{10}}$；
（2）画图略，边长是$\boxed{\sqrt{5}}$；
（3）画图略，提示：数轴的单位长度和小正方格的边长相等，在数轴上分别画出到原点的距离为$\sqrt{10}$、$\sqrt{5}$的点，即可对应表示$\sqrt{10},-\sqrt{10},\sqrt{5},-\sqrt{5}$。
【知识点】
割补法求面积、算术平方根、数轴表示实数
【点评】
本题是数形结合的典型习题，将无理数的概念和几何图形的计算、作图结合考查，既需要掌握网格中图形面积的计算方法，也需要理解算术平方根的意义和实数与数轴的对应关系，是夯实基础的典型题目。
【难度系数】
0.7
