登录
6. 2023年到2027年国际乒联混合团体世界杯都在成都举行，赛会的会徽彰显了成都文化特色，吉祥物“乒乒”将大熊猫与乒乓球运动相结合，表达了成都人民对乒乓球运动的喜爱。现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀。
(1)小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是
(2)小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张。请用画树状图或列表的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率。(正面图案为会徽的卡片记为A，正面图案为吉祥物的两张卡片分别记为$B_1,B_2$)
(1)小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是
随机
事件。(填“随机”“不可能”或“必然”)(2)小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张。请用画树状图或列表的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率。(正面图案为会徽的卡片记为A，正面图案为吉祥物的两张卡片分别记为$B_1,B_2$)
答案
6.(1)随机
(2)解:画树状图如图所示。
由树状图可知共有9种等可能的结果，其中小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的结果有$(B_1,B_1),(B_1,B_2),(B_2,B_1),(B_2,B_2)$,共4种。
$\therefore$小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率为$\frac{4}{9}$。
解析
【分析】
(1) 先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。本题中三张卡片包含1张会徽、2张吉祥物，抽取1张时，有可能抽到会徽也有可能抽不到，符合随机事件的特征。
(2) 本题为有放回的两次抽取概率问题，适合用树状图法列举所有等可能结果：第一次抽取有A、$B_1$、$B_2$共3种等可能情况，抽取后放回，因此第二次抽取同样有3种等可能情况，先统计总等可能结果数，再筛选出两次都是吉祥物（即$B_1$或$B_2$）的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
(1) 抽取1张卡片时，“抽到会徽”这件事可能发生也可能不发生，因此属于随机事件。
(2) 按照题意绘制树状图：
由树状图可得，所有等可能的结果共9种，其中两次抽到的图案都是吉祥物“乒乒”的结果有$(B_1,B_1),(B_1,B_2),(B_2,B_1),(B_2,B_2)$，共4种。
根据概率公式计算可得：$P(\mathrm{两次都是吉祥物})=\frac{4}{9}$。
【答案】
(1) 随机
(2) 解:画树状图如图所示。
由树状图可知共有9种等可能的结果，其中小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的结果有$(B_1,B_1),(B_1,B_2),(B_2,B_1),(B_2,B_2)$,共4种。
$\therefore$小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率为$\frac{4}{9}$。
【知识点】
事件的分类；树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题结合时事热点考查概率基础知识点，难度较低，主要考察学生对事件分类的掌握和列举法求概率的应用能力，解题时要注意区分有放回抽取和不放回抽取的差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。本题中三张卡片包含1张会徽、2张吉祥物，抽取1张时，有可能抽到会徽也有可能抽不到，符合随机事件的特征。
(2) 本题为有放回的两次抽取概率问题，适合用树状图法列举所有等可能结果：第一次抽取有A、$B_1$、$B_2$共3种等可能情况，抽取后放回，因此第二次抽取同样有3种等可能情况，先统计总等可能结果数，再筛选出两次都是吉祥物（即$B_1$或$B_2$）的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
(1) 抽取1张卡片时，“抽到会徽”这件事可能发生也可能不发生，因此属于随机事件。
(2) 按照题意绘制树状图：
由树状图可得，所有等可能的结果共9种，其中两次抽到的图案都是吉祥物“乒乒”的结果有$(B_1,B_1),(B_1,B_2),(B_2,B_1),(B_2,B_2)$，共4种。
根据概率公式计算可得：$P(\mathrm{两次都是吉祥物})=\frac{4}{9}$。
【答案】
(1) 随机
(2) 解:画树状图如图所示。
由树状图可知共有9种等可能的结果，其中小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的结果有$(B_1,B_1),(B_1,B_2),(B_2,B_1),(B_2,B_2)$,共4种。
$\therefore$小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率为$\frac{4}{9}$。
【知识点】
事件的分类；树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题结合时事热点考查概率基础知识点，难度较低，主要考察学生对事件分类的掌握和列举法求概率的应用能力，解题时要注意区分有放回抽取和不放回抽取的差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
专题二、用频率估计概率
7.甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是(
A.抛一枚正方体骰子，出现1点的概率
B.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球（球除颜色外其余均相同），取到红球的概率
C.掷一枚硬币，出现正面向上的概率
D.任意写一个整数，它能被2整除的概率
7.甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是(
B
)。A.抛一枚正方体骰子，出现1点的概率
B.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球（球除颜色外其余均相同），取到红球的概率
C.掷一枚硬币，出现正面向上的概率
D.任意写一个整数，它能被2整除的概率
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确“用频率估计概率”的核心原理：当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在对应的概率附近，此时可以用频率的稳定值估计事件的概率。解题步骤如下：第一步先观察折线统计图，找到频率的稳定值，大致判断对应的概率大小；第二步分别计算四个选项中事件的概率，和得到的概率大小对比，匹配的即为正确选项。
【解析】
首先观察折线统计图：随着试验次数不断增加，该结果出现的频率逐渐稳定在33%左右，即约为$\frac{1}{3}$，说明该事件发生的概率约为$\frac{1}{3}$。
我们依次计算各选项的概率：
A选项：抛一枚正方体骰子，共有6种等可能的结果，出现1点的结果有1种，故概率为$\frac{1}{6}\approx16.7\%$，不符合，排除；
B选项：袋子中共有$2+1=3$个除颜色外均相同的球，任取一球取到红球的结果有1种，故取到红球的概率为$\frac{1}{3}\approx33.3\%$，符合频率稳定值；
C选项：掷一枚硬币，共有2种等可能的结果，正面向上的结果有1种，故概率为$\frac{1}{2}=50\%$，不符合，排除；
D选项：任意一个整数，要么是奇数要么是偶数，能被2整除（即偶数）的概率为$\frac{1}{2}=50\%$，不符合，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；简单事件概率计算；折线统计图分析
【点评】
本题是基础题型，重点考查频率与概率的关系，解题关键是理解大量重复试验下频率的稳定值就是事件的概率，再结合简单的概率计算就能快速找到答案，这类题型是概率章节的常考基础题，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先要明确“用频率估计概率”的核心原理：当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在对应的概率附近，此时可以用频率的稳定值估计事件的概率。解题步骤如下：第一步先观察折线统计图，找到频率的稳定值，大致判断对应的概率大小；第二步分别计算四个选项中事件的概率，和得到的概率大小对比，匹配的即为正确选项。
【解析】
首先观察折线统计图：随着试验次数不断增加，该结果出现的频率逐渐稳定在33%左右，即约为$\frac{1}{3}$，说明该事件发生的概率约为$\frac{1}{3}$。
我们依次计算各选项的概率：
A选项：抛一枚正方体骰子，共有6种等可能的结果，出现1点的结果有1种，故概率为$\frac{1}{6}\approx16.7\%$，不符合，排除；
B选项：袋子中共有$2+1=3$个除颜色外均相同的球，任取一球取到红球的结果有1种，故取到红球的概率为$\frac{1}{3}\approx33.3\%$，符合频率稳定值；
C选项：掷一枚硬币，共有2种等可能的结果，正面向上的结果有1种，故概率为$\frac{1}{2}=50\%$，不符合，排除；
D选项：任意一个整数，要么是奇数要么是偶数，能被2整除（即偶数）的概率为$\frac{1}{2}=50\%$，不符合，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；简单事件概率计算；折线统计图分析
【点评】
本题是基础题型，重点考查频率与概率的关系，解题关键是理解大量重复试验下频率的稳定值就是事件的概率，再结合简单的概率计算就能快速找到答案，这类题型是概率章节的常考基础题，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
8.为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中捕捞鱼。通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为(
A.600
B.1 200
C.2 200
D.3 000
B
)。A.600
B.1 200
C.2 200
D.3 000
答案
8.B
解析
【分析】
本题是用样本估计总体的典型统计应用题，解题思路如下：首先明确大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，本题中捕捞到带标记鱼的频率稳定在2.5%，说明鱼塘中带标记的鱼的总占比约为2.5%；已知带标记的鱼共有30条，设鱼塘总鱼数为未知数，根据“带标记鱼数÷总鱼数=带标记鱼的占比”列等式求解即可。
【解析】
解：设鱼塘中鱼的条数估计为$x$条。
根据频率估计概率的原理，带标记鱼在总体中的占比约等于稳定频率2.5%，可列方程：
$\frac{30}{x}=2.5\%$
解方程得：
$x=30÷2.5\%=30÷0.025=1200$
经检验，$x=1200$是原方程的解，且符合实际意义。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.用频率估计概率
2.样本估计总体
3.分式方程的应用
【点评】
本题是统计知识在实际生产中的常见应用，解题关键是理解频率稳定值的实际意义，能正确建立比例关系求解，整体侧重对基础统计原理的理解和简单计算能力的考查。
【难度系数】
0.8
本题是用样本估计总体的典型统计应用题，解题思路如下：首先明确大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，本题中捕捞到带标记鱼的频率稳定在2.5%，说明鱼塘中带标记的鱼的总占比约为2.5%；已知带标记的鱼共有30条，设鱼塘总鱼数为未知数，根据“带标记鱼数÷总鱼数=带标记鱼的占比”列等式求解即可。
【解析】
解：设鱼塘中鱼的条数估计为$x$条。
根据频率估计概率的原理，带标记鱼在总体中的占比约等于稳定频率2.5%，可列方程：
$\frac{30}{x}=2.5\%$
解方程得：
$x=30÷2.5\%=30÷0.025=1200$
经检验，$x=1200$是原方程的解，且符合实际意义。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.用频率估计概率
2.样本估计总体
3.分式方程的应用
【点评】
本题是统计知识在实际生产中的常见应用，解题关键是理解频率稳定值的实际意义，能正确建立比例关系求解，整体侧重对基础统计原理的理解和简单计算能力的考查。
【难度系数】
0.8
9.在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球共20个，这些小球除了颜色不同外其他特质均相同。欣欣进行了摸球试验，每次摸出一个小球记下颜色，然后放回袋中搅拌均匀，再从中摸出一个……如此重复，经大量的试验发现摸到红球的频率稳定在0.60左右，由此可以估计袋中红球有
12
个。答案
9.12
解析
【分析】
解题时首先回忆频率与概率的关系：大量重复试验中，随机事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此可以用频率的稳定值估计事件发生的概率。本题中已知摸到红球的频率稳定在0.60左右，即可先得到摸到红球的概率约为0.6；再结合“红球个数=总球数×摸到红球的概率”这一关系，代入已知的总球数20计算，就能得到红球的估计数量。
【解析】
解：
∵大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定在0.60左右，
∴估计从袋中随机摸出1个球是红球的概率为0.6。
∵袋中红、白两种球共20个，
∴估计袋中红球的数量为：$20×0.6=12$（个）。
【答案】
12
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率的简单应用
【点评】
本题属于概率基础类题型，解题的关键是掌握“大量重复试验下，频率的稳定值可作为概率的估计值”这一结论，再结合概率的相关计算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆频率与概率的关系：大量重复试验中，随机事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此可以用频率的稳定值估计事件发生的概率。本题中已知摸到红球的频率稳定在0.60左右，即可先得到摸到红球的概率约为0.6；再结合“红球个数=总球数×摸到红球的概率”这一关系，代入已知的总球数20计算，就能得到红球的估计数量。
【解析】
解：
∵大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定在0.60左右，
∴估计从袋中随机摸出1个球是红球的概率为0.6。
∵袋中红、白两种球共20个，
∴估计袋中红球的数量为：$20×0.6=12$（个）。
【答案】
12
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率的简单应用
【点评】
本题属于概率基础类题型，解题的关键是掌握“大量重复试验下，频率的稳定值可作为概率的估计值”这一结论，再结合概率的相关计算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
