10.圆周率π是无限不循环小数。历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究。目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位。有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同。
(1)从π的小数部分随机取出一个数字，估计该数字是6的概率为；
(2)某校进行校园文化建设，拟从祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率。（用画树状图或列表的方法求解）

10.(1)$\frac{1}{10}$
(2)解:将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | | (乙,甲) | (丙,甲) | (丁,甲) |
| 乙 | (甲,乙) | | (丙,乙) | (丁,乙) |
| 丙 | (甲,丙) | (乙,丙) | | (丁,丙) |
| 丁 | (甲,丁) | (乙,丁) | (丙,丁) | |
由表可知共有12种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的有6种结果。
$\therefore$其中有一幅是祖冲之的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。

【分析】
(1) 题目明确说明随着π小数部分位数增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，说明从π的小数部分随机取一个数字时，每个数字出现的可能性相等，属于等可能事件，直接利用等可能事件概率公式计算即可。
(2) 第二问是从4个不同元素中选取2个的两步概率问题，可通过列表法枚举所有等可能的结果，再筛选出含有祖冲之的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数/所有等可能结果数”计算即可，注意选取2幅画像时不会重复选同一幅，列表时要排除重复的情况。
【解析】
(1) 已知0~9共10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，即每个数字出现的概率相等，因此随机取出一个数字是6的概率为$\frac{1}{10}$。
(2) 解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲 | | (乙,甲) | (丙,甲) | (丁,甲) |
| 乙 | (甲,乙) | | (丙,乙) | (丁,乙) |
| 丙 | (甲,丙) | (乙,丙) | | (丁,丙) |
| 丁 | (甲,丁) | (乙,丁) | (丙,丁) | |
由表可知共有12种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的有6种结果。
$\therefore$其中有一幅是祖冲之的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{10}$；(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】
1.频率估计概率
2.列表法求概率
【点评】
本题结合数学文化背景考查概率的基础应用，第一小问考查对频率稳定性的理解，难度较低；第二小问考查用列表法求解两步随机事件的概率，解题时需注意避免重复计数，整体侧重对概率基础方法的掌握，题目设置贴近文化场景，能让学生感受到数学与人文的结合。
【难度系数】
0.8

11. 在5张相同的小纸条上，分别写有：
①$\sqrt{2}$，②$\sqrt{8}$，③1，④乘法，⑤加法。将这5张小纸条做成5支签，①，②，③放在不透明的盒子A中搅匀，④，⑤放在不透明的盒子B中搅匀。
(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是；
(2)先从盒子A中任意抽出2支签，再从盒子B中任意抽出1支签，求抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率。

11.(1)$\frac{2}{3}$
(2)解:画树状图如图所示。

由树状图可知共有12种等可能的组合，分别为：
| 组合 | 组合情况 | 运算结果 | 运算结果是不是无理数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 第一种 | $\sqrt{2},\sqrt{8},乘法$ | 4 | 不是 |
| 第二种 | $\sqrt{2},\sqrt{8},加法$ | $3\sqrt{2}$ | 是 |
| 第三种 | $\sqrt{2},1,乘法$ | $\sqrt{2}$ | 是 |
| 第四种 | $\sqrt{2},1,加法$ | $\sqrt{2}+1$ | 是 |
| 第五种 | $\sqrt{8},\sqrt{2},乘法$ | 4 | 不是 |
| 第六种 | $\sqrt{8},\sqrt{2},加法$ | $3\sqrt{2}$ | 是 |
| 第七种 | $\sqrt{8},1,乘法$ | $2\sqrt{2}$ | 是 |
| 第八种 | $\sqrt{8},1,加法$ | $2\sqrt{2}+1$ | 是 |
| 第九种 | $1,\sqrt{2},乘法$ | $\sqrt{2}$ | 是 |
| 第十种 | $1,\sqrt{2},加法$ | $1+\sqrt{2}$ | 是 |
| 第十一种 | $1,\sqrt{8},乘法$ | $2\sqrt{2}$ | 是 |
| 第十二种 | $1,\sqrt{8},加法$ | $1+2\sqrt{2}$ | 是 |
对应的组合运算结果共12个，其中运算结果为无理数的有10个，
$\therefore$抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为$\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$。

【分析】
(1) 解决第一问首先明确盒子A中的3个实数分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{8}$、1，先判断无理数的个数：无理数是无限不循环小数，$\sqrt{2}$、化简后为$2\sqrt{2}$的$\sqrt{8}$都是无理数，1是有理数，因此无理数共2个，总共有3种等可能的抽取结果，代入概率公式即可求解。
(2) 解决第二问需用列举法找出所有等可能结果：先从A中抽2支签，共6种等可能组合，再从B中抽1支签，每种A的组合对应2种运算，总共有$6×2=12$种等可能结果；接下来逐个计算每种组合的运算结果，判断是否为无理数，统计符合条件的结果数后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 盒子A中的3个数里，$\sqrt{2}$、$\sqrt{8}$是无理数，共2个，总抽取结果有3种且每种概率相等，因此抽到无理数的概率为$\frac{2}{3}$。
(2) 先画树状图列出所有等可能情况，再逐一计算每种情况的运算结果：

由树状图可得共12种等可能的组合，分别计算每种组合的运算结果后，可知其中运算结果为无理数的共有10种，因此所求概率为符合条件的结果数除以总结果数，即$\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{3}$
(2) 解:画树状图如图所示。

由树状图可知共有12种等可能的组合，分别为：
| 组合 | 组合情况 | 运算结果 | 运算结果是不是无理数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 第一种 | $\sqrt{2},\sqrt{8},乘法$ | 4 | 不是 |
| 第二种 | $\sqrt{2},\sqrt{8},加法$ | $3\sqrt{2}$ | 是 |
| 第三种 | $\sqrt{2},1,乘法$ | $\sqrt{2}$ | 是 |
| 第四种 | $\sqrt{2},1,加法$ | $\sqrt{2}+1$ | 是 |
| 第五种 | $\sqrt{8},\sqrt{2},乘法$ | 4 | 不是 |
| 第六种 | $\sqrt{8},\sqrt{2},加法$ | $3\sqrt{2}$ | 是 |
| 第七种 | $\sqrt{8},1,乘法$ | $2\sqrt{2}$ | 是 |
| 第八种 | $\sqrt{8},1,加法$ | $2\sqrt{2}+1$ | 是 |
| 第九种 | $1,\sqrt{2},乘法$ | $\sqrt{2}$ | 是 |
| 第十种 | $1,\sqrt{2},加法$ | $1+\sqrt{2}$ | 是 |
| 第十一种 | $1,\sqrt{8},乘法$ | $2\sqrt{2}$ | 是 |
| 第十二种 | $1,\sqrt{8},加法$ | $1+2\sqrt{2}$ | 是 |
对应的组合运算结果共12个，其中运算结果为无理数的有10个，
$\therefore$抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为$\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$。
【知识点】
无理数的判别，概率公式，树状图法求概率
【点评】
本题结合了实数运算、无理数判定和概率计算三个考点，需要学生熟练掌握二次根式的运算法则和列举法求概率的方法，解题时要细心计算每一种组合的运算结果，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.7