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例1 下列方程，不是分式方程的是（）
A.$x+\frac{1}{2}=3x$
B.$\frac{2}{x}+1=5$
C.$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=3$
D.$\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}=2$
【思路导析】分母中含有未知数的方程是分式方程。
【请你解答】。
A.$x+\frac{1}{2}=3x$
B.$\frac{2}{x}+1=5$
C.$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=3$
D.$\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}=2$
【思路导析】分母中含有未知数的方程是分式方程。
【请你解答】。
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确分式方程的判断标准，即分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程。接下来我们只需要逐一分析每个选项的方程分母是否含有未知数，找到分母不含未知数的选项，就是本题要选的答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对各选项逐一判断：
选项A：方程$x+\frac{1}{2}=3x$的分母为2，是常数，不含有未知数，属于整式方程，不是分式方程；
选项B：方程$\frac{2}{x}+1=5$的分母为x，含有未知数，是分式方程；
选项C：方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=3$的分母为x、2x，都含有未知数x，是分式方程；
选项D：方程$\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}=2$的分母为$x+3$、$x-3$，都含有未知数x，是分式方程。
因此不是分式方程的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的定义、整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记分式方程的判定依据，只要抓住“分母中是否含有未知数”这一核心判断标准即可快速得出答案，注意区分分母中的常数和未知数，避免混淆。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确分式方程的判断标准，即分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程。接下来我们只需要逐一分析每个选项的方程分母是否含有未知数，找到分母不含未知数的选项，就是本题要选的答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对各选项逐一判断：
选项A：方程$x+\frac{1}{2}=3x$的分母为2，是常数，不含有未知数，属于整式方程，不是分式方程；
选项B：方程$\frac{2}{x}+1=5$的分母为x，含有未知数，是分式方程；
选项C：方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=3$的分母为x、2x，都含有未知数x，是分式方程；
选项D：方程$\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}=2$的分母为$x+3$、$x-3$，都含有未知数x，是分式方程。
因此不是分式方程的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的定义、整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记分式方程的判定依据，只要抓住“分母中是否含有未知数”这一核心判断标准即可快速得出答案，注意区分分母中的常数和未知数，避免混淆。
【难度系数】
0.9
例2 解方程：$\frac{2x}{x-2}=1-\frac{1}{2-x}$。
【思路导析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到$x$的值，检验后即可得到分式方程的解。
【请你解答】
【思路导析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到$x$的值，检验后即可得到分式方程的解。
【请你解答】
答案
解：
方程两边同乘$(x-2)$，得
$2x = x - 2 + 1$
移项，得
$2x - x = -2 + 1$
合并同类项，得
$x = -1$
检验：当$x=-1$时，$x-2 ≠ 0$，所以$x=-1$是原分式方程的解。
方程两边同乘$(x-2)$，得
$2x = x - 2 + 1$
移项，得
$2x - x = -2 + 1$
合并同类项，得
$x = -1$
检验：当$x=-1$时，$x-2 ≠ 0$，所以$x=-1$是原分式方程的解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将其转化为整式方程求解，最后检验根的有效性。首先观察方程分母：$x-2$和$2-x$互为相反数，因此最简公分母为$x-2$；接下来方程两边同时乘最简公分母，注意每一项都要乘，不要漏乘常数项1，同时处理$\frac{1}{2-x}$的符号，将分式方程转化为一元一次方程；解出一元一次方程的解后，必须代入原方程的分母检验，若分母不为0则是原方程的解，若分母为0则是增根需舍去。
【解析】
解：方程两边同乘$(x-2)$，得
$2x = x - 2 + 1$
移项，得
$2x - x = -2 + 1$
合并同类项，得
$x = -1$
检验：当$x=-1$时，$x-2 = -3 ≠ 0$，所以$x=-1$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-1$
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程求解，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础常规题，解题时需注意两点：一是去分母时不要漏乘不含分母的常数项，处理互为相反数的分母时注意符号变化；二是分式方程必须检验解是否使原分母不为0，排除增根。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是先将其转化为整式方程求解，最后检验根的有效性。首先观察方程分母：$x-2$和$2-x$互为相反数，因此最简公分母为$x-2$；接下来方程两边同时乘最简公分母，注意每一项都要乘，不要漏乘常数项1，同时处理$\frac{1}{2-x}$的符号，将分式方程转化为一元一次方程；解出一元一次方程的解后，必须代入原方程的分母检验，若分母不为0则是原方程的解，若分母为0则是增根需舍去。
【解析】
解：方程两边同乘$(x-2)$，得
$2x = x - 2 + 1$
移项，得
$2x - x = -2 + 1$
合并同类项，得
$x = -1$
检验：当$x=-1$时，$x-2 = -3 ≠ 0$，所以$x=-1$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-1$
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程求解，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础常规题，解题时需注意两点：一是去分母时不要漏乘不含分母的常数项，处理互为相反数的分母时注意符号变化；二是分式方程必须检验解是否使原分母不为0，排除增根。
【难度系数】
0.8
例3 若方程$\frac{x}{x-3} - 2 = \frac{m}{x-3}$有增根，
则$m$的值为（）
A.$-3$
B.$3$
C.$0$
D.以上都不对
【思路导析】在分式方程两边同乘$(x-3)$，
得到整式方程$x - 2(x - 3) = m$。若原分式方程
有增根，则$x - 3 = 0$，即$x = 3$。代入整式方程
$x - 2(x - 3) = m$，解得$m = 3$。
【示范解答】B
则$m$的值为（）
A.$-3$
B.$3$
C.$0$
D.以上都不对
【思路导析】在分式方程两边同乘$(x-3)$，
得到整式方程$x - 2(x - 3) = m$。若原分式方程
有增根，则$x - 3 = 0$，即$x = 3$。代入整式方程
$x - 2(x - 3) = m$，解得$m = 3$。
【示范解答】B
答案
B
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先要明确增根的性质：增根是去分母后所得整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题可按三步思考：第一步先确定增根的可能值，令原分式方程的最简公分母为0求出对应的x值；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程即可求出参数m的值。
【解析】
1. 确定增根：原分式方程的分母为$x-3$，若方程有增根，则最简公分母为0，即$x-3=0$，解得$x=3$。
2. 化为整式方程：给原方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$，约去分母后得到整式方程：$x - 2(x - 3) = m$。
3. 代入求参数：将$x=3$代入上述整式方程，可得$3 - 2×(3-3) = m$，计算得$m=3$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题是分式方程章节的典型常考题，核心考查对增根概念的理解与应用，解题的关键是牢记增根的两个特征，熟练掌握分式方程去分母转化为整式方程的方法，即可快速求出对应参数的值。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先要明确增根的性质：增根是去分母后所得整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题可按三步思考：第一步先确定增根的可能值，令原分式方程的最简公分母为0求出对应的x值；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程即可求出参数m的值。
【解析】
1. 确定增根：原分式方程的分母为$x-3$，若方程有增根，则最简公分母为0，即$x-3=0$，解得$x=3$。
2. 化为整式方程：给原方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$，约去分母后得到整式方程：$x - 2(x - 3) = m$。
3. 代入求参数：将$x=3$代入上述整式方程，可得$3 - 2×(3-3) = m$，计算得$m=3$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题是分式方程章节的典型常考题，核心考查对增根概念的理解与应用，解题的关键是牢记增根的两个特征，熟练掌握分式方程去分母转化为整式方程的方法，即可快速求出对应参数的值。
【难度系数】
0.7
2.分式方程无解
例4 若关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-3}=\frac{m}{x-3}+2$无解，求常数$m$的值.
【示范解答】方程两边同乘$(x-3)$，得$2=m + 2(x-3)$.
解关于$x$的方程，得$x=\frac{1}{2}(8 - m)$.
因为分式方程无解，所以$x - 3=0$，所以$x=3$.
所以$\frac{1}{2}(8 - m)=3$，解得$m=2$.
例4 若关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-3}=\frac{m}{x-3}+2$无解，求常数$m$的值.
【示范解答】方程两边同乘$(x-3)$，得$2=m + 2(x-3)$.
解关于$x$的方程，得$x=\frac{1}{2}(8 - m)$.
因为分式方程无解，所以$x - 3=0$，所以$x=3$.
所以$\frac{1}{2}(8 - m)=3$，解得$m=2$.
答案
解：方程两边同乘$(x-3)$，得
$2 = m + 2(x-3)$
解这个整式方程：
去括号，得$2 = m + 2x - 6$
移项、合并同类项，得$2x = 8 - m$
系数化为1，得$x = \frac{1}{2}(8 - m)$。
因为分式方程无解，说明该方程的增根使原分式分母为0，即$x-3=0$，得$x=3$。
把$x=3$代入$x = \frac{1}{2}(8 - m)$，得
$\frac{1}{2}(8 - m) = 3$
解得$m=2$。
答：常数$m$的值为2。
$2 = m + 2(x-3)$
解这个整式方程：
去括号，得$2 = m + 2x - 6$
移项、合并同类项，得$2x = 8 - m$
系数化为1，得$x = \frac{1}{2}(8 - m)$。
因为分式方程无解，说明该方程的增根使原分式分母为0，即$x-3=0$，得$x=3$。
把$x=3$代入$x = \frac{1}{2}(8 - m)$，得
$\frac{1}{2}(8 - m) = 3$
解得$m=2$。
答：常数$m$的值为2。
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的常见情形：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的根）。本题去分母后得到的是一元一次方程，必然有解，因此只需考虑增根的情况。解题思路为：①先将分式方程去分母转化为整式方程；②用含m的代数式表示出整式方程的解；③根据原分式分母为0确定增根；④将增根代入整式方程的解，即可求出m的值。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，得：
$2 = m + 2(x-3)$
解这个整式方程：
去括号，得$2 = m + 2x - 6$
移项、合并同类项，得$2x = 8 - m$
系数化为1，得$x = \frac{1}{2}(8 - m)$
因为分式方程无解，说明整式方程的解是原分式方程的增根，增根使原分式的分母为0，即$x-3=0$，解得$x=3$。
把$x=3$代入$x = \frac{1}{2}(8 - m)$，得：
$\frac{1}{2}(8 - m) = 3$
解得$m=2$。
【答案】
$m=2$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程求参数的典型基础题，解题关键是理解增根的含义，熟练掌握分式方程转化为整式方程的方法，以及将增根代入求参数的解题逻辑，是分式方程章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的常见情形：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的根）。本题去分母后得到的是一元一次方程，必然有解，因此只需考虑增根的情况。解题思路为：①先将分式方程去分母转化为整式方程；②用含m的代数式表示出整式方程的解；③根据原分式分母为0确定增根；④将增根代入整式方程的解，即可求出m的值。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，得：
$2 = m + 2(x-3)$
解这个整式方程：
去括号，得$2 = m + 2x - 6$
移项、合并同类项，得$2x = 8 - m$
系数化为1，得$x = \frac{1}{2}(8 - m)$
因为分式方程无解，说明整式方程的解是原分式方程的增根，增根使原分式的分母为0，即$x-3=0$，解得$x=3$。
把$x=3$代入$x = \frac{1}{2}(8 - m)$，得：
$\frac{1}{2}(8 - m) = 3$
解得$m=2$。
【答案】
$m=2$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程求参数的典型基础题，解题关键是理解增根的含义，熟练掌握分式方程转化为整式方程的方法，以及将增根代入求参数的解题逻辑，是分式方程章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
例5 关于$x$的方程$\frac{2x+a}{x-1}=1$的解是正数，则$a$的取值范围是()A.$a＞-1$
B.$a＞-1$且$a≠0$
C.$a＜-1$
D.$a＜-1$且$a≠-2$
【思路导析】去分母，得$2x+a=x-1$. 解关于$x$的方程，得$x=-1-a$. 因为原分式方程的解是正数，所以$-1-a＞0$，所以$a＜-1$. 又因为$x-1≠0$，所以$x≠1$，从而$-1-a≠1$，解得$a≠-2$. 因此$a＜-1$且$a≠-2$.
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们按三步思路推导：第一步，先将分式方程转化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解是正数”的条件列不等式，求出a的初步取值范围；第三步，注意分式方程的分母不能为0，否则解为增根不成立，需要排除使分母为0时对应的a的取值，综合两个条件即可得到a的完整取值范围。
【解析】
解：对分式方程去分母（隐含前提：分母$x-1≠0$，即$x≠1$），等式两边同时乘$(x-1)$得：
$2x + a = x - 1$
移项合并同类项，得：$x = -1 - a$
∵ 方程的解是正数
∴ $x＞0$，即$-1-a＞0$
解得：$a＜-1$
又
∵ 分母不能为0，即$x≠1$
∴ $-1-a≠1$
解得：$a≠-2$
综上，$a$的取值范围是$a＜-1$且$a≠-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程求参数范围的常规题型，解题的易错点是容易遗漏分式分母不为0的限制条件，忽略增根的情况从而错选，做这类题时要牢记解分式方程相关问题都需要考虑分母的取值限制。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们按三步思路推导：第一步，先将分式方程转化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解是正数”的条件列不等式，求出a的初步取值范围；第三步，注意分式方程的分母不能为0，否则解为增根不成立，需要排除使分母为0时对应的a的取值，综合两个条件即可得到a的完整取值范围。
【解析】
解：对分式方程去分母（隐含前提：分母$x-1≠0$，即$x≠1$），等式两边同时乘$(x-1)$得：
$2x + a = x - 1$
移项合并同类项，得：$x = -1 - a$
∵ 方程的解是正数
∴ $x＞0$，即$-1-a＞0$
解得：$a＜-1$
又
∵ 分母不能为0，即$x≠1$
∴ $-1-a≠1$
解得：$a≠-2$
综上，$a$的取值范围是$a＜-1$且$a≠-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程求参数范围的常规题型，解题的易错点是容易遗漏分式分母不为0的限制条件，忽略增根的情况从而错选，做这类题时要牢记解分式方程相关问题都需要考虑分母的取值限制。
【难度系数】
0.6
