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6. 如图，$BF=CE$，$AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，要根据“HL”证明$Rt△ ABE≌ Rt△ DCF$，还需要添加的一个条件是（）
A.$AE=DF$
B.$∠ A=∠ D$
C.$∠ B=∠ C$
D.$AB=DC$
A.$AE=DF$
B.$∠ A=∠ D$
C.$∠ B=∠ C$
D.$AB=DC$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确“HL”判定的适用条件：仅用于直角三角形全等判定，需要两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等。第一步先根据垂直条件确定两个三角形都是直角三角形；第二步由已知BF=CE，通过减去公共线段EF推导出一组直角边BE=CF已经相等；第三步结合HL的要求，还差斜边对应相等的条件，对应两个三角形的斜边分别是AB和DC，因此需要添加AB=DC。
【解析】
解：已知$AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，可得$∠ AEB=∠ DFC=90°$，因此$△ ABE$和$△ DCF$均为直角三角形。
又$\because BF=CE$，根据等式性质，两边同时减去公共线段$EF$，可得：
$BF-EF=CE-EF$，即$BE=CF$，此为两个直角三角形的一组直角边对应相等。
要使用“HL”证明两个直角三角形全等，还需要斜边对应相等：
若添加$AB=DC$，则在$Rt△ ABE$和$Rt△ DCF$中，有$\begin{cases}AB=DC\\BE=CF\end{cases}$，可根据HL判定全等。
其余选项不符合要求：A选项$AE=DF$结合已知条件是SAS判定，不属于HL判定；B选项$∠ A=∠ D$、C选项$∠ B=∠ C$是通过角的条件判定全等，也不属于HL的判定依据。
【答案】
D
【知识点】
HL全等判定；直角三角形定义；等式的性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定方法，解题的关键是区分HL与其他全等判定方法的差异，先梳理已知的相等边，再结合HL的构成条件匹配缺失的条件即可，要注意不要混淆不同全等判定的适用场景。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确“HL”判定的适用条件：仅用于直角三角形全等判定，需要两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等。第一步先根据垂直条件确定两个三角形都是直角三角形；第二步由已知BF=CE，通过减去公共线段EF推导出一组直角边BE=CF已经相等；第三步结合HL的要求，还差斜边对应相等的条件，对应两个三角形的斜边分别是AB和DC，因此需要添加AB=DC。
【解析】
解：已知$AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，可得$∠ AEB=∠ DFC=90°$，因此$△ ABE$和$△ DCF$均为直角三角形。
又$\because BF=CE$，根据等式性质，两边同时减去公共线段$EF$，可得：
$BF-EF=CE-EF$，即$BE=CF$，此为两个直角三角形的一组直角边对应相等。
要使用“HL”证明两个直角三角形全等，还需要斜边对应相等：
若添加$AB=DC$，则在$Rt△ ABE$和$Rt△ DCF$中，有$\begin{cases}AB=DC\\BE=CF\end{cases}$，可根据HL判定全等。
其余选项不符合要求：A选项$AE=DF$结合已知条件是SAS判定，不属于HL判定；B选项$∠ A=∠ D$、C选项$∠ B=∠ C$是通过角的条件判定全等，也不属于HL的判定依据。
【答案】
D
【知识点】
HL全等判定；直角三角形定义；等式的性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定方法，解题的关键是区分HL与其他全等判定方法的差异，先梳理已知的相等边，再结合HL的构成条件匹配缺失的条件即可，要注意不要混淆不同全等判定的适用场景。
【难度系数】
0.7
7.如图，将一根笔直的竹竿斜靠在竖直的墙AO上，初始位置为CD，当一端C下滑至$C'$时，另一端D向右滑至$D'$，则下列说法正确的是()
A.下滑过程中，始终有$CC'=DD'$
B.下滑过程中，始终有$CC'≠DD'$
C.若$OC＜OD$，则下滑过程中，一定存在某个位置使得$CC'=DD'$
D.若$OC＞OD$，则下滑过程中，一定存在某个位置使得$CC'=DD'$
A.下滑过程中，始终有$CC'=DD'$
B.下滑过程中，始终有$CC'≠DD'$
C.若$OC＜OD$，则下滑过程中，一定存在某个位置使得$CC'=DD'$
D.若$OC＞OD$，则下滑过程中，一定存在某个位置使得$CC'=DD'$
答案
D
解析
【分析】
首先明确竹竿滑动过程中长度始终不变，即$CD=C'D'$，且$△ OCD$和$△ OC'D'$都是直角三角形，可通过勾股定理建立边的等量关系。我们设初始时$OC=a$，$OD=b$，下滑距离$CC'=x$，右滑距离$DD'=y$，将各边长度代入勾股定理的等式，整理得到$x$和$y$的关系，再逐一分析各选项即可判断正误。
【解析】
设$OC=a$，$OD=b$，$CC'=x$，$DD'=y$，由题意可知竹竿长度不变，即$CD=C'D'$，且$∠ O=90°$。
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：$CD^2=OC^2+OD^2=a^2+b^2$
在$Rt△ OC'D'$中，由勾股定理得：$C'D'^2=OC'^2+OD'^2=(a-x)^2+(b+y)^2$
因为$CD=C'D'$，所以$a^2+b^2=(a-x)^2+(b+y)^2$
展开并整理等式：
$a^2+b^2=a^2-2ax+x^2+b^2+2by+y^2$
消去同类项得：$2ax -x^2=2by + y^2$
若$CC'=DD'$，即$x=y$（$x＞0$），代入上式得：
$2ax -x^2=2bx +x^2$
移项整理得：$2(a-b)x=2x^2$
因为$x≠0$，两边同时除以$x$得：$a-b=x$
$x$为下滑距离，需满足$x＞0$，因此$a-b＞0$，即$a＞b$，也就是$OC＞OD$时，存在$x=a-b＞0$使得$CC'=DD'$。
对选项逐一判断：
A：只有满足$OC＞OD$时才可能存在$CC'=DD'$，并非始终相等，错误；
B：满足条件时可以相等，并非始终不等，错误；
C：若$OC＜OD$，则$a-b＜0$，$x$不可能为负数，不存在该位置，错误；
D：若$OC＞OD$，则$a-b＞0$，一定存在位置使得$CC'=DD'$，正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；整式运算；动点分析
【点评】
本题结合生活中的竹竿滑动场景考查几何知识的应用，解题关键是抓住竹竿长度不变这一隐含条件，通过设未知数建立等式分析变量关系，避免凭直觉判断滑动距离的关系，需要结合代数推导验证结论。
【难度系数】
0.6
首先明确竹竿滑动过程中长度始终不变，即$CD=C'D'$，且$△ OCD$和$△ OC'D'$都是直角三角形，可通过勾股定理建立边的等量关系。我们设初始时$OC=a$，$OD=b$，下滑距离$CC'=x$，右滑距离$DD'=y$，将各边长度代入勾股定理的等式，整理得到$x$和$y$的关系，再逐一分析各选项即可判断正误。
【解析】
设$OC=a$，$OD=b$，$CC'=x$，$DD'=y$，由题意可知竹竿长度不变，即$CD=C'D'$，且$∠ O=90°$。
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：$CD^2=OC^2+OD^2=a^2+b^2$
在$Rt△ OC'D'$中，由勾股定理得：$C'D'^2=OC'^2+OD'^2=(a-x)^2+(b+y)^2$
因为$CD=C'D'$，所以$a^2+b^2=(a-x)^2+(b+y)^2$
展开并整理等式：
$a^2+b^2=a^2-2ax+x^2+b^2+2by+y^2$
消去同类项得：$2ax -x^2=2by + y^2$
若$CC'=DD'$，即$x=y$（$x＞0$），代入上式得：
$2ax -x^2=2bx +x^2$
移项整理得：$2(a-b)x=2x^2$
因为$x≠0$，两边同时除以$x$得：$a-b=x$
$x$为下滑距离，需满足$x＞0$，因此$a-b＞0$，即$a＞b$，也就是$OC＞OD$时，存在$x=a-b＞0$使得$CC'=DD'$。
对选项逐一判断：
A：只有满足$OC＞OD$时才可能存在$CC'=DD'$，并非始终相等，错误；
B：满足条件时可以相等，并非始终不等，错误；
C：若$OC＜OD$，则$a-b＜0$，$x$不可能为负数，不存在该位置，错误；
D：若$OC＞OD$，则$a-b＞0$，一定存在位置使得$CC'=DD'$，正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；整式运算；动点分析
【点评】
本题结合生活中的竹竿滑动场景考查几何知识的应用，解题关键是抓住竹竿长度不变这一隐含条件，通过设未知数建立等式分析变量关系，避免凭直觉判断滑动距离的关系，需要结合代数推导验证结论。
【难度系数】
0.6
8.如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE.动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC-CD-DA向点A运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为()
A.1
B.1或3
C.1或7
D.3或7
A.1
B.1或3
C.1或7
D.3或7
答案
C
解析
【分析】
首先已知△DCE是直角三角形，两条直角边分别为DC=AB=4，CE=2。要使△ABP与△DCE全等，因为长方形中∠B和∠A均为直角，需分类讨论动点P的位置：①P在BC边上时，以∠B为直角的△ABP，只需BP=CE即可满足全等条件；②P在AD边上时，以∠A为直角的△ABP，只需AP=CE即可满足全等条件，再结合点P的运动速度计算对应t值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=4，∠ABP=∠DCE=∠BAP=90°，BC=AD=6。
△DCE为直角三角形，直角边DC=4、CE=2，分两种情况讨论：
1. 当点P在BC边上时，若△ABP≌△DCE，需满足BP=CE=2，
已知点P运动速度为2单位/秒，因此$t=2÷2=1$（秒）；
2. 当点P在AD边上时，若△BAP≌△DCE，需满足AP=CE=2，
此时点P运动的总路程为$BC+CD+(AD-AP)=6+4+(6-2)=14$，
因此$t=14÷2=7$（秒）。
综上，t的值为1或7。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的判定，长方形的性质，动点问题计算
【点评】
本题考查动点背景下的三角形全等问题，核心是运用分类讨论思想判断动点的不同位置，结合全等三角形对应边相等的性质计算，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
首先已知△DCE是直角三角形，两条直角边分别为DC=AB=4，CE=2。要使△ABP与△DCE全等，因为长方形中∠B和∠A均为直角，需分类讨论动点P的位置：①P在BC边上时，以∠B为直角的△ABP，只需BP=CE即可满足全等条件；②P在AD边上时，以∠A为直角的△ABP，只需AP=CE即可满足全等条件，再结合点P的运动速度计算对应t值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=4，∠ABP=∠DCE=∠BAP=90°，BC=AD=6。
△DCE为直角三角形，直角边DC=4、CE=2，分两种情况讨论：
1. 当点P在BC边上时，若△ABP≌△DCE，需满足BP=CE=2，
已知点P运动速度为2单位/秒，因此$t=2÷2=1$（秒）；
2. 当点P在AD边上时，若△BAP≌△DCE，需满足AP=CE=2，
此时点P运动的总路程为$BC+CD+(AD-AP)=6+4+(6-2)=14$，
因此$t=14÷2=7$（秒）。
综上，t的值为1或7。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的判定，长方形的性质，动点问题计算
【点评】
本题考查动点背景下的三角形全等问题，核心是运用分类讨论思想判断动点的不同位置，结合全等三角形对应边相等的性质计算，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
9.如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°。
(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠ABC＝35°，则∠CAO为多少？
(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠ABC＝35°，则∠CAO为多少？
答案
证明：
(1) ∵ ∠C = ∠D = 90°，
∴ △ACB和△BDA都是直角三角形。
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
$\{\begin{array}{l}AB = BA \\BC = AD\end{array} $
∴ Rt△ACB ≌ Rt△BDA（HL）。
解：(2) 在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=35°，
∴ ∠CAB = 90° - ∠ABC = 55°。
∵ Rt△ACB ≌ Rt△BDA，
∴ ∠BAD = ∠ABC = 35°。
∴ ∠CAO = ∠CAB - ∠BAD = 55° - 35° = 20°。
(1) ∵ ∠C = ∠D = 90°，
∴ △ACB和△BDA都是直角三角形。
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
$\{\begin{array}{l}AB = BA \\BC = AD\end{array} $
∴ Rt△ACB ≌ Rt△BDA（HL）。
解：(2) 在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=35°，
∴ ∠CAB = 90° - ∠ABC = 55°。
∵ Rt△ACB ≌ Rt△BDA，
∴ ∠BAD = ∠ABC = 35°。
∴ ∠CAO = ∠CAB - ∠BAD = 55° - 35° = 20°。
解析
【分析】
(1) 要证明△ACB≌△BDA，首先由已知∠C=∠D=90°，可知两个三角形都是直角三角形，证明直角三角形全等可优先考虑HL定理：斜边AB是两个三角形的公共边，天然相等；题目给出AD=BC，即一组直角边对应相等，满足HL判定条件，即可证明全等。
(2) 求∠CAO的度数，首先在Rt△ACB中，利用直角三角形两锐角互余，计算出∠CAB的度数；再根据第一问的全等结论，可得对应角∠BAD=∠ABC，最后用∠CAB减去∠BAD，即可得到∠CAO的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠C = ∠D = 90°，
∴ △ACB和△BDA都是直角三角形。
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
$\{\begin{array}{l}AB = BA \\BC = AD\end{array} $
∴ Rt△ACB ≌ Rt△BDA（HL）。
(2) 解：
在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=35°，
∴ ∠CAB = 90° - ∠ABC = 90°-35°=55°。
∵ Rt△ACB ≌ Rt△BDA，
∴ ∠BAD = ∠ABC = 35°。
∴ ∠CAO = ∠CAB - ∠BAD = 55° - 35° = 20°。
【答案】
(1) △ACB≌△BDA得证；
(2) 20°
【知识点】
直角三角形全等的判定；直角三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题属于三角形全等的基础应用类题目，重点考察HL判定定理的使用以及全等三角形对应角相等的性质，解题时要注意公共边这一隐含条件的运用，同时要熟练掌握直角三角形的角度计算方法。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△ACB≌△BDA，首先由已知∠C=∠D=90°，可知两个三角形都是直角三角形，证明直角三角形全等可优先考虑HL定理：斜边AB是两个三角形的公共边，天然相等；题目给出AD=BC，即一组直角边对应相等，满足HL判定条件，即可证明全等。
(2) 求∠CAO的度数，首先在Rt△ACB中，利用直角三角形两锐角互余，计算出∠CAB的度数；再根据第一问的全等结论，可得对应角∠BAD=∠ABC，最后用∠CAB减去∠BAD，即可得到∠CAO的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠C = ∠D = 90°，
∴ △ACB和△BDA都是直角三角形。
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
$\{\begin{array}{l}AB = BA \\BC = AD\end{array} $
∴ Rt△ACB ≌ Rt△BDA（HL）。
(2) 解：
在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=35°，
∴ ∠CAB = 90° - ∠ABC = 90°-35°=55°。
∵ Rt△ACB ≌ Rt△BDA，
∴ ∠BAD = ∠ABC = 35°。
∴ ∠CAO = ∠CAB - ∠BAD = 55° - 35° = 20°。
【答案】
(1) △ACB≌△BDA得证；
(2) 20°
【知识点】
直角三角形全等的判定；直角三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题属于三角形全等的基础应用类题目，重点考察HL判定定理的使用以及全等三角形对应角相等的性质，解题时要注意公共边这一隐含条件的运用，同时要熟练掌握直角三角形的角度计算方法。
【难度系数】
0.8
10.如图，点D，E分别在AC，AB上，连接BD，CE，过点A作AG⊥BD于点G，AF⊥CE于点F，且AB＝AC，AG＝AF，求证：BD＝CE. 
第10题图
第10题图答案
证明：
∵ AG⊥BD，AF⊥CE，
∴ ∠AGB = ∠AFC = 90°。
在Rt△AGB和Rt△AFC中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\AG = AF\end{array} $
∴ Rt△AGB ≌ Rt△AFC（HL）。
∴ ∠B = ∠C。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C \\AB = AC \\∠BAD = ∠CAE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（ASA）。
∴ BD = CE。
∵ AG⊥BD，AF⊥CE，
∴ ∠AGB = ∠AFC = 90°。
在Rt△AGB和Rt△AFC中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\AG = AF\end{array} $
∴ Rt△AGB ≌ Rt△AFC（HL）。
∴ ∠B = ∠C。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C \\AB = AC \\∠BAD = ∠CAE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（ASA）。
∴ BD = CE。
解析
【分析】
要证明BD=CE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，本题可证△ABD≌△ACE。已知AB=AC，且∠BAD与∠CAE为公共角，因此只需再证明一组对应角∠B=∠C相等即可。由题中AG⊥BD、AF⊥CE的垂直条件，可知△AGB和△AFC都是直角三角形，结合已知AB=AC、AG=AF，可先通过HL定理证明这两个直角三角形全等，得到∠B=∠C，再用ASA判定△ABD和△ACE全等，即可推出BD=CE。
【解析】
证明：
∵ AG⊥BD，AF⊥CE，
∴ ∠AGB = ∠AFC = 90°。
在Rt△AGB和Rt△AFC中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\AG = AF\end{array} $
∴ Rt△AGB ≌ Rt△AFC（HL）。
∴ ∠B = ∠C。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C \\AB = AC \\∠BAD = ∠CAE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（ASA）。
∴ BD = CE。
【答案】
BD=CE，证明过程如上。
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. ASA判定三角形全等
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等判定与性质的基础综合应用题，解题的关键是结合已知条件选择合适的全等判定定理，先证明中间的直角三角形全等得到对应角相等，再进一步证明目标三角形全等，即可得到对应边相等的结论。
【难度系数】
0.7
要证明BD=CE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，本题可证△ABD≌△ACE。已知AB=AC，且∠BAD与∠CAE为公共角，因此只需再证明一组对应角∠B=∠C相等即可。由题中AG⊥BD、AF⊥CE的垂直条件，可知△AGB和△AFC都是直角三角形，结合已知AB=AC、AG=AF，可先通过HL定理证明这两个直角三角形全等，得到∠B=∠C，再用ASA判定△ABD和△ACE全等，即可推出BD=CE。
【解析】
证明：
∵ AG⊥BD，AF⊥CE，
∴ ∠AGB = ∠AFC = 90°。
在Rt△AGB和Rt△AFC中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\AG = AF\end{array} $
∴ Rt△AGB ≌ Rt△AFC（HL）。
∴ ∠B = ∠C。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C \\AB = AC \\∠BAD = ∠CAE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（ASA）。
∴ BD = CE。
【答案】
BD=CE，证明过程如上。
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. ASA判定三角形全等
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等判定与性质的基础综合应用题，解题的关键是结合已知条件选择合适的全等判定定理，先证明中间的直角三角形全等得到对应角相等，再进一步证明目标三角形全等，即可得到对应边相等的结论。
【难度系数】
0.7
