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1. 如图29－1－8，AC，BE是$\odot O$的直径，D是OE上的一点，连接CD，下列三角形中，外心是点O的是(
A.$△ ABE$
B.$△ ACD$
C.$△ ABD$
D.$△ AED$
图29－1－8
图29－1－9
图29－1－10
A
)A.$△ ABE$
B.$△ ACD$
C.$△ ABD$
D.$△ AED$
图29－1－8
图29－1－9
图29－1－10
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个三角形的外心是点O，首先明确三角形外心的核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。结合本题条件，AC、BE是⊙O的直径，因此OA、OB、OC、OE都是⊙O的半径，长度相等。接下来只需逐一验证各选项中三角形的三个顶点到点O的距离是否都相等即可：若三个顶点都在⊙O上，则到O的距离都等于半径，外心就是O；若存在顶点不在⊙O上，则到O的距离不等于半径，外心就不是O。
【解析】
三角形的外心是三角形外接圆的圆心，其本质特征是到三角形三个顶点的距离相等。
∵AC、BE是⊙O的直径，
∴OA=OB=OC=OE，均为⊙O的半径。
对各选项逐一分析：
A. △ABE的三个顶点A、B、E都在⊙O上，故OA=OB=OE，满足外心到三个顶点距离相等的特征，因此点O是△ABE的外心，符合题意；
B. △ACD的顶点D在OE上，OD＜OE=⊙O半径，故OD≠OA=OC，因此点O不是△ACD的外心，不符合题意；
C. △ABD的顶点D到O的距离OD＜⊙O半径，故OD≠OA=OB，因此点O不是△ABD的外心，不符合题意；
D. △AED的顶点D到O的距离OD＜⊙O半径，故OD≠OA=OE，因此点O不是△AED的外心，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形外心的性质
2. 圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对三角形外心概念的掌握，解题关键是抓住“外心到三角形三个顶点距离相等”这一性质，结合圆的半径相等的特点逐一排查即可得到正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪个三角形的外心是点O，首先明确三角形外心的核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。结合本题条件，AC、BE是⊙O的直径，因此OA、OB、OC、OE都是⊙O的半径，长度相等。接下来只需逐一验证各选项中三角形的三个顶点到点O的距离是否都相等即可：若三个顶点都在⊙O上，则到O的距离都等于半径，外心就是O；若存在顶点不在⊙O上，则到O的距离不等于半径，外心就不是O。
【解析】
三角形的外心是三角形外接圆的圆心，其本质特征是到三角形三个顶点的距离相等。
∵AC、BE是⊙O的直径，
∴OA=OB=OC=OE，均为⊙O的半径。
对各选项逐一分析：
A. △ABE的三个顶点A、B、E都在⊙O上，故OA=OB=OE，满足外心到三个顶点距离相等的特征，因此点O是△ABE的外心，符合题意；
B. △ACD的顶点D在OE上，OD＜OE=⊙O半径，故OD≠OA=OC，因此点O不是△ACD的外心，不符合题意；
C. △ABD的顶点D到O的距离OD＜⊙O半径，故OD≠OA=OB，因此点O不是△ABD的外心，不符合题意；
D. △AED的顶点D到O的距离OD＜⊙O半径，故OD≠OA=OE，因此点O不是△AED的外心，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形外心的性质
2. 圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对三角形外心概念的掌握，解题关键是抓住“外心到三角形三个顶点距离相等”这一性质，结合圆的半径相等的特点逐一排查即可得到正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=6$，$AC=8$，则$△ ABC$外接圆的半径为(
A.3
B.4
C.5
D.不确定
C
)A.3
B.4
C.5
D.不确定
答案
2.C
解析
【分析】
要计算直角三角形外接圆的半径，首先回忆直角三角形外接圆的特殊性质：直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点处，因此外接圆的直径长度等于斜边的长度。所以解题步骤应该是先用勾股定理求出斜边BC的长度，再将斜边长度除以2即可得到外接圆的半径。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，因此BC为三角形的斜边。
根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
根据直角三角形外接圆的性质，外接圆直径等于斜边长度，因此外接圆半径$R=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质；三角形外接圆
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形外接圆的特殊性质，只要牢记“直角三角形外接圆半径为斜边长度的一半”这一结论，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要计算直角三角形外接圆的半径，首先回忆直角三角形外接圆的特殊性质：直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点处，因此外接圆的直径长度等于斜边的长度。所以解题步骤应该是先用勾股定理求出斜边BC的长度，再将斜边长度除以2即可得到外接圆的半径。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，因此BC为三角形的斜边。
根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
根据直角三角形外接圆的性质，外接圆直径等于斜边长度，因此外接圆半径$R=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质；三角形外接圆
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形外接圆的特殊性质，只要牢记“直角三角形外接圆半径为斜边长度的一半”这一结论，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3.如图29－1－9所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是(
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
A
)A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案
3.A
解析
【分析】
要判断△ABC的外心，首先回忆三角形外心的定义与性质：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。结合网格背景，我们可以通过两种思路解题：一是画出△ABC任意两条边的垂直平分线，交点即为外心；二是验证四个选项中的点哪个到A、B、C三点的距离相等，该点就是外心，两种方法都可以快速得到结果。
【解析】
三角形的外心为三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。
我们可以通过找垂直平分线的方法判定：先作△ABC边AB的垂直平分线，再作边BC的垂直平分线，可观察到两条垂直平分线的交点为点D；也可设小正方形边长为1，用勾股定理计算验证，点D到A、B、C三点的距离相等，其余点E、F、G均不满足该条件，因此点D是△ABC的外心。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质，垂直平分线的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题结合网格背景考查三角形外心的判定，解题核心是掌握外心到三角形三个顶点距离相等的性质，通过简单作图或计算即可求解，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC的外心，首先回忆三角形外心的定义与性质：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。结合网格背景，我们可以通过两种思路解题：一是画出△ABC任意两条边的垂直平分线，交点即为外心；二是验证四个选项中的点哪个到A、B、C三点的距离相等，该点就是外心，两种方法都可以快速得到结果。
【解析】
三角形的外心为三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。
我们可以通过找垂直平分线的方法判定：先作△ABC边AB的垂直平分线，再作边BC的垂直平分线，可观察到两条垂直平分线的交点为点D；也可设小正方形边长为1，用勾股定理计算验证，点D到A、B、C三点的距离相等，其余点E、F、G均不满足该条件，因此点D是△ABC的外心。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质，垂直平分线的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题结合网格背景考查三角形外心的判定，解题核心是掌握外心到三角形三个顶点距离相等的性质，通过简单作图或计算即可求解，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
4.【教材P118练习T2变式】如图29-1-10，在$△ ABC$中，$AB=AC$.若$△ ABC$的外接圆的圆心$O$到$BC$边的距离为$4$，$BC=6$，则$\odot O$的半径长为
5
.答案
4.5
解析
【分析】
解题时先结合等腰三角形三线合一和外心的性质分析：三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，等腰△ABC中AB=AC，底边BC的垂直平分线同时是它的中线和高，因此外心O在BC的垂直平分线上。我们可以过O作BC的垂线得到BC的中点，构造出直角三角形，再结合已知的O到BC的距离、BC的长度，用勾股定理即可求出外接圆半径。
【解析】
解：过点O作OD⊥BC于点D，连接OB。
∵ O是△ABC的外接圆圆心，
∴ O在BC的垂直平分线上，
又
∵ AB=AC，
∴ A、O、D三点共线，AD是BC的垂直平分线，即D为BC的中点，
∵ BC=6，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 3$，
由题意知O到BC的距离为4，即$OD=4$，
∵ OD⊥BC，
∴ △ODB是直角三角形，
根据勾股定理得：$OB^2 = OD^2 + BD^2$，
代入数值计算：$OB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
∴ $OB=5$（半径为正数，舍去负解），
即⊙O的半径长为5。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形性质、外心的性质、勾股定理
【点评】
这道题属于基础几何综合题，解题的突破口是结合外心和等腰三角形的性质构造直角三角形，再用勾股定理求解，需要同学们熟练掌握三角形外接圆的相关性质。
【难度系数】
0.7
解题时先结合等腰三角形三线合一和外心的性质分析：三角形外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，等腰△ABC中AB=AC，底边BC的垂直平分线同时是它的中线和高，因此外心O在BC的垂直平分线上。我们可以过O作BC的垂线得到BC的中点，构造出直角三角形，再结合已知的O到BC的距离、BC的长度，用勾股定理即可求出外接圆半径。
【解析】
解：过点O作OD⊥BC于点D，连接OB。
∵ O是△ABC的外接圆圆心，
∴ O在BC的垂直平分线上，
又
∵ AB=AC，
∴ A、O、D三点共线，AD是BC的垂直平分线，即D为BC的中点，
∵ BC=6，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 3$，
由题意知O到BC的距离为4，即$OD=4$，
∵ OD⊥BC，
∴ △ODB是直角三角形，
根据勾股定理得：$OB^2 = OD^2 + BD^2$，
代入数值计算：$OB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
∴ $OB=5$（半径为正数，舍去负解），
即⊙O的半径长为5。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形性质、外心的性质、勾股定理
【点评】
这道题属于基础几何综合题，解题的突破口是结合外心和等腰三角形的性质构造直角三角形，再用勾股定理求解，需要同学们熟练掌握三角形外接圆的相关性质。
【难度系数】
0.7
1.如图29−1−11，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确过三点画圆的核心条件：只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，共线的三个点无法画出圆。题目中A、B、C三点都在直线l上，因此选三个点时不能同时选A、B、C，必须包含直线外的点P，再从A、B、C中任选2个点，统计所有符合条件的三点组合数即可得到最多可画圆的个数。
【解析】
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的性质：
1. A、B、C三点在同一直线l上，因此这三个点共线，无法确定圆；
2. 选取包含点P的三点组合：
① 选点P、A、B：三点不共线，可确定1个圆；
② 选点P、A、C：三点不共线，可确定1个圆；
③ 选点P、B、C：三点不共线，可确定1个圆。
综上，最多可画出3个圆，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件、三点共线的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是牢记确定圆的前提是三点不共线，计数时要做到不重复不遗漏，避免误把共线的三点当作可确定圆的情况。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确过三点画圆的核心条件：只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，共线的三个点无法画出圆。题目中A、B、C三点都在直线l上，因此选三个点时不能同时选A、B、C，必须包含直线外的点P，再从A、B、C中任选2个点，统计所有符合条件的三点组合数即可得到最多可画圆的个数。
【解析】
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的性质：
1. A、B、C三点在同一直线l上，因此这三个点共线，无法确定圆；
2. 选取包含点P的三点组合：
① 选点P、A、B：三点不共线，可确定1个圆；
② 选点P、A、C：三点不共线，可确定1个圆；
③ 选点P、B、C：三点不共线，可确定1个圆。
综上，最多可画出3个圆，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件、三点共线的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是牢记确定圆的前提是三点不共线，计数时要做到不重复不遗漏，避免误把共线的三点当作可确定圆的情况。
【难度系数】
0.8
2.平面上有四个点,过其中任意三个点一共能确定圆的个数是(
A.0或3或4
B.0或1或3
C.0或1或3或4
D.0或1或4
图29－1－11
图29－1－12
C
)A.0或3或4
B.0或1或3
C.0或1或3或4
D.0或1或4
图29－1－11
图29－1－12
答案
2.C
解析
【分析】
解题的核心依据是“不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆”，我们需要对四个点的位置关系进行全面分类讨论，分别计算不同位置下能确定圆的个数，再匹配选项。首先考虑四点共线的情况，再考虑有三点共线的情况，接着考虑四点共圆无三点共线的情况，最后考虑无三点共线也不共圆的情况，避免遗漏特殊情况。
【解析】
根据不在同一直线上的三个点确定1个圆，分4种情况讨论：
① 当四个点都在同一条直线上时，任意选取的三个点都共线，无法确定圆，此时确定圆的个数为0；
② 当四个点中有且仅有三个点共线时，共线的三个点无法确定圆，剩余3组三点组合（每组含2个共线点和1个不共线点）均不共线，各确定1个圆，共可确定3个圆；
③ 当四个点在同一个圆上（四点共圆）且不存在三点共线时，任意三个点确定的圆为同一个，此时确定圆的个数为1；
④ 当四个点不存在三点共线且四点不共圆时，从四个点中任选3个点的组合共4种，每组三点都可确定1个不同的圆，共可确定4个圆。
因此，能确定圆的个数可能为0或1或3或4，故选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对确定圆的条件的掌握，解题的关键是要对四个点的位置关系进行全面分类，不要遗漏三点共线、四点共圆等特殊情形，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是“不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆”，我们需要对四个点的位置关系进行全面分类讨论，分别计算不同位置下能确定圆的个数，再匹配选项。首先考虑四点共线的情况，再考虑有三点共线的情况，接着考虑四点共圆无三点共线的情况，最后考虑无三点共线也不共圆的情况，避免遗漏特殊情况。
【解析】
根据不在同一直线上的三个点确定1个圆，分4种情况讨论：
① 当四个点都在同一条直线上时，任意选取的三个点都共线，无法确定圆，此时确定圆的个数为0；
② 当四个点中有且仅有三个点共线时，共线的三个点无法确定圆，剩余3组三点组合（每组含2个共线点和1个不共线点）均不共线，各确定1个圆，共可确定3个圆；
③ 当四个点在同一个圆上（四点共圆）且不存在三点共线时，任意三个点确定的圆为同一个，此时确定圆的个数为1；
④ 当四个点不存在三点共线且四点不共圆时，从四个点中任选3个点的组合共4种，每组三点都可确定1个不同的圆，共可确定4个圆。
因此，能确定圆的个数可能为0或1或3或4，故选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对确定圆的条件的掌握，解题的关键是要对四个点的位置关系进行全面分类，不要遗漏三点共线、四点共圆等特殊情形，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3.如图29－1－12，在平面直角坐标系中，点A(0,3)，点B(2,1)，点C(2,－3)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是(
A.(－2,－1)
B.(－1,0)
C.(－1,－1)
D.(0,－1)
A
)A.(－2,－1)
B.(－1,0)
C.(－1,－1)
D.(0,－1)
答案
3.A
解析
【分析】
首先明确三角形外接圆的圆心（外心）的核心性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。观察已知点的坐标特征，点B和点C横坐标相同，说明BC为竖直线，可先求出BC的垂直平分线，外心必然在这条线上，先缩小可选范围；再利用外心到其余顶点距离相等的性质，列方程求解横坐标即可得到圆心坐标。
【解析】
三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。
1. 求BC边的垂直平分线：
已知B(2,1)、C(2,-3)，两点横坐标相同，故BC为垂直于x轴的线段，BC中点的纵坐标为$\frac{1+(-3)}{2}=-1$，因此BC的垂直平分线为直线$y=-1$，即外心的纵坐标为$-1$，可排除纵坐标为0的选项B。
2. 设外心坐标为$(x,-1)$，根据外心到A、B两点距离相等，结合两点间距离公式列方程：
外心到A(0,3)的距离平方：$x^2+(-1-3)^2=x^2+16$
外心到B(2,1)的距离平方：$(x-2)^2+(-1-1)^2=(x-2)^2+4$
令两式相等：$x^2+16=(x-2)^2+4$
展开整理得：$16=-4x+8$，解得$x=-2$
因此△ABC的外接圆圆心坐标为$(-2,-1)$。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质，垂直平分线的性质，两点间距离公式
【点评】
本题可先利用特殊线段的坐标特征快速确定外心的纵坐标，缩小未知量范围，再结合外心的性质列方程求解，能有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先明确三角形外接圆的圆心（外心）的核心性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。观察已知点的坐标特征，点B和点C横坐标相同，说明BC为竖直线，可先求出BC的垂直平分线，外心必然在这条线上，先缩小可选范围；再利用外心到其余顶点距离相等的性质，列方程求解横坐标即可得到圆心坐标。
【解析】
三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。
1. 求BC边的垂直平分线：
已知B(2,1)、C(2,-3)，两点横坐标相同，故BC为垂直于x轴的线段，BC中点的纵坐标为$\frac{1+(-3)}{2}=-1$，因此BC的垂直平分线为直线$y=-1$，即外心的纵坐标为$-1$，可排除纵坐标为0的选项B。
2. 设外心坐标为$(x,-1)$，根据外心到A、B两点距离相等，结合两点间距离公式列方程：
外心到A(0,3)的距离平方：$x^2+(-1-3)^2=x^2+16$
外心到B(2,1)的距离平方：$(x-2)^2+(-1-1)^2=(x-2)^2+4$
令两式相等：$x^2+16=(x-2)^2+4$
展开整理得：$16=-4x+8$，解得$x=-2$
因此△ABC的外接圆圆心坐标为$(-2,-1)$。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质，垂直平分线的性质，两点间距离公式
【点评】
本题可先利用特殊线段的坐标特征快速确定外心的纵坐标，缩小未知量范围，再结合外心的性质列方程求解，能有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.7
