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1. 如图，若AB与CD相交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D等于(
A.$50°$
B.$30°$
C.$80°$
D.$100°$
B
).A.$50°$
B.$30°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：OA=OC、OD=OB，且AB与CD交于点O，存在一组相等的对顶角。首先利用已知的两组相等边和一组相等对顶角，通过“SAS”判定△AOD和△COB全等，再根据全等三角形对应角相等的性质，即可直接得到∠D的度数。
【解析】
∵AB与CD相交于点O，
∴∠AOD=∠COB（对顶角相等）。
在$△ AOD$和$△ COB$中：
$\begin{cases}OA=OC（已知）\\∠AOD=∠COB（已证）\\OD=OB（已知）\end{cases}$
∴$△ AOD ≌ △ COB$（SAS）。
根据全等三角形对应角相等，可得∠D=∠B，
已知∠B=30°，因此∠D=30°。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形对应角相等、对顶角性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是准确找到两个三角形中相等的边和角，熟练运用SAS判定定理证明全等即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件：OA=OC、OD=OB，且AB与CD交于点O，存在一组相等的对顶角。首先利用已知的两组相等边和一组相等对顶角，通过“SAS”判定△AOD和△COB全等，再根据全等三角形对应角相等的性质，即可直接得到∠D的度数。
【解析】
∵AB与CD相交于点O，
∴∠AOD=∠COB（对顶角相等）。
在$△ AOD$和$△ COB$中：
$\begin{cases}OA=OC（已知）\\∠AOD=∠COB（已证）\\OD=OB（已知）\end{cases}$
∴$△ AOD ≌ △ COB$（SAS）。
根据全等三角形对应角相等，可得∠D=∠B，
已知∠B=30°，因此∠D=30°。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形对应角相等、对顶角性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是准确找到两个三角形中相等的边和角，熟练运用SAS判定定理证明全等即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
2.（教材改编）如图，某研究人员要测量池塘两端A，B的距离，于是他写出了如下方案及方案的依据：（1）在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C；（2）连接BC并延长到点E，使得①；（3）连接AC并延长到点D，使得②；（4）连接③并测量出它的长度，则该长度就是A，B的距离；（5）上述方案的依据是④。以上序号所代表的内容错误的是（
A.①代表CE＝BC
B.②代表CD＝BC
C.③代表DE
D.④代表“SAS”
B
）。A.①代表CE＝BC
B.②代表CD＝BC
C.③代表DE
D.④代表“SAS”
答案
B
解析
【分析】
这道题考查利用全等三角形测量不可直接到达的两点距离的方法，核心是构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等得到AB的长度。解题时先明确要构造△ABC和△DEC全等，若选用SAS判定全等，需要两组对应边相等，且作为夹角的对顶角∠ACB=∠DCE，因此需要CE=BC、CD=AC，全等后对应边DE=AB，就可以通过测量DE的长度得到AB的长度，再对应判断各选项对错即可。
【解析】
我们通过构造全等三角形得到AB的长度，推理过程如下：
1. 取可直接到达A、B的点C后，延长BC到E，使CE=BC，因此①的内容正确，A选项不符合题意；
2. 延长AC到D，需要使CD=AC才能满足全等的边的条件，选项B中②表述为CD=BC，不符合要求，因此B错误，符合题意；
3. 连接DE，因此③的内容正确，C选项不符合题意；
4. 此时在△ABC和△DEC中：
$\{\begin{array}{l}BC=EC\\ ∠ ACB=∠ DCE(\mathrm{对顶角相等})\\ AC=DC\end{array} $
所以$△ ABC≌△ DEC(\mathrm{SAS})$，因此AB=DE，方案依据是SAS，故④的内容正确，D选项不符合题意。
综上，内容错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的应用，解题关键是掌握SAS判定全等的条件，明确构造全等时对应边相等的要求，利用全等三角形对应边相等实现不可测线段到可测线段的转化。
【难度系数】
0.7
这道题考查利用全等三角形测量不可直接到达的两点距离的方法，核心是构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等得到AB的长度。解题时先明确要构造△ABC和△DEC全等，若选用SAS判定全等，需要两组对应边相等，且作为夹角的对顶角∠ACB=∠DCE，因此需要CE=BC、CD=AC，全等后对应边DE=AB，就可以通过测量DE的长度得到AB的长度，再对应判断各选项对错即可。
【解析】
我们通过构造全等三角形得到AB的长度，推理过程如下：
1. 取可直接到达A、B的点C后，延长BC到E，使CE=BC，因此①的内容正确，A选项不符合题意；
2. 延长AC到D，需要使CD=AC才能满足全等的边的条件，选项B中②表述为CD=BC，不符合要求，因此B错误，符合题意；
3. 连接DE，因此③的内容正确，C选项不符合题意；
4. 此时在△ABC和△DEC中：
$\{\begin{array}{l}BC=EC\\ ∠ ACB=∠ DCE(\mathrm{对顶角相等})\\ AC=DC\end{array} $
所以$△ ABC≌△ DEC(\mathrm{SAS})$，因此AB=DE，方案依据是SAS，故④的内容正确，D选项不符合题意。
综上，内容错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的应用，解题关键是掌握SAS判定全等的条件，明确构造全等时对应边相等的要求，利用全等三角形对应边相等实现不可测线段到可测线段的转化。
【难度系数】
0.7
3. 由相同的小正方形组成的网格如图所示，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1+∠2=
90
°。答案
90
解析
【分析】
解题时先观察网格特征，我们可以构造出分别包含∠1、∠2的两个直角三角形，首先验证这两个直角三角形的两条直角边对应相等，且夹角都是直角，满足SAS全等的判定条件；证明三角形全等后得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质，就能推导出∠1+∠2的度数。
【解析】
设∠1所在的直角三角形中，与∠1互余的锐角为∠α，∠2所在的直角三角形中，与∠2互余的锐角为∠β。
观察网格可知：两个直角三角形的两条直角边长度分别为1格、2格，且两边的夹角均为90°，根据SAS三角形全等判定定理，可得这两个直角三角形全等。
由全等三角形对应角相等可知：∠α=∠2。
又因为在直角三角形中，∠1+∠α=90°，所以∠1+∠2=90°。
【答案】
90
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的网格角度计算问题，解题的核心是在网格中找到符合全等条件的直角三角形，通过角的等量代换求解角度和，能有效考查对全等三角形判定及性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察网格特征，我们可以构造出分别包含∠1、∠2的两个直角三角形，首先验证这两个直角三角形的两条直角边对应相等，且夹角都是直角，满足SAS全等的判定条件；证明三角形全等后得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质，就能推导出∠1+∠2的度数。
【解析】
设∠1所在的直角三角形中，与∠1互余的锐角为∠α，∠2所在的直角三角形中，与∠2互余的锐角为∠β。
观察网格可知：两个直角三角形的两条直角边长度分别为1格、2格，且两边的夹角均为90°，根据SAS三角形全等判定定理，可得这两个直角三角形全等。
由全等三角形对应角相等可知：∠α=∠2。
又因为在直角三角形中，∠1+∠α=90°，所以∠1+∠2=90°。
【答案】
90
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的网格角度计算问题，解题的核心是在网格中找到符合全等条件的直角三角形，通过角的等量代换求解角度和，能有效考查对全等三角形判定及性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
4.（教材改编）如图，$AC=DC$，$BC=EC$，$∠ 1 = ∠ 2$，点D在AB边上. 求证：$∠ B = ∠ E$.
答案
证明：$\because ∠ 1=∠ 2$，$\therefore ∠ 1+∠ DCB=∠ 2+∠ DCB$，即$∠ ACB=∠ DCE$.
在$△ ACB$ 和 $△ DCE$ 中，
$\begin{cases}AC=DC,\\∠ ACB=∠ DCE,\\BC=EC,\end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ DCE(\mathrm{SAS}). \ \therefore ∠ B=∠ E.$
在$△ ACB$ 和 $△ DCE$ 中，
$\begin{cases}AC=DC,\\∠ ACB=∠ DCE,\\BC=EC,\end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ DCE(\mathrm{SAS}). \ \therefore ∠ B=∠ E.$
解析
【分析】
要证明∠B=∠E，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察图形可知∠B属于△ACB，∠E属于△DCE，已知两组对应边AC=DC、BC=EC，只需证明两组边的夹角相等即可用SAS判定两三角形全等。已知∠1=∠2，将两个角同时加上公共角∠DCB，即可得到夹角∠ACB=∠DCE，满足SAS判定条件，证得△ACB≌△DCE后，根据全等三角形对应角相等即可得出结论。
【解析】
证明：
$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1+∠ DCB=∠ 2+∠ DCB$，即$∠ ACB=∠ DCE$。
在$△ ACB$ 和 $△ DCE$ 中：
$\begin{cases}AC=DC(\mathrm{已知}),\\∠ ACB=∠ DCE(\mathrm{已证}),\\BC=EC(\mathrm{已知}),\end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ DCE(\mathrm{SAS})$。
由全等三角形对应角相等，可得$∠ B=∠ E$。
【答案】
证明：$\because ∠ 1=∠ 2$，$\therefore ∠ 1+∠ DCB=∠ 2+∠ DCB$，即$∠ ACB=∠ DCE$.
在$△ ACB$ 和 $△ DCE$ 中，
$\begin{cases}AC=DC,\\∠ ACB=∠ DCE,\\BC=EC,\end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ DCE(\mathrm{SAS}). \ \therefore ∠ B=∠ E.$
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，角的和差运算
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题型，解题核心是通过已知等角推导出全等所需的对应夹角相等，熟练掌握SAS判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明∠B=∠E，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察图形可知∠B属于△ACB，∠E属于△DCE，已知两组对应边AC=DC、BC=EC，只需证明两组边的夹角相等即可用SAS判定两三角形全等。已知∠1=∠2，将两个角同时加上公共角∠DCB，即可得到夹角∠ACB=∠DCE，满足SAS判定条件，证得△ACB≌△DCE后，根据全等三角形对应角相等即可得出结论。
【解析】
证明：
$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1+∠ DCB=∠ 2+∠ DCB$，即$∠ ACB=∠ DCE$。
在$△ ACB$ 和 $△ DCE$ 中：
$\begin{cases}AC=DC(\mathrm{已知}),\\∠ ACB=∠ DCE(\mathrm{已证}),\\BC=EC(\mathrm{已知}),\end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ DCE(\mathrm{SAS})$。
由全等三角形对应角相等，可得$∠ B=∠ E$。
【答案】
证明：$\because ∠ 1=∠ 2$，$\therefore ∠ 1+∠ DCB=∠ 2+∠ DCB$，即$∠ ACB=∠ DCE$.
在$△ ACB$ 和 $△ DCE$ 中，
$\begin{cases}AC=DC,\\∠ ACB=∠ DCE,\\BC=EC,\end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ DCE(\mathrm{SAS}). \ \therefore ∠ B=∠ E.$
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，角的和差运算
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题型，解题核心是通过已知等角推导出全等所需的对应夹角相等，熟练掌握SAS判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，点A，D，F，B在一条直线上，AD=BF，AE=BC，且AE//BC. 求证：
(1)△AEF≌△BCD；
(2)EF//CD.
(1)△AEF≌△BCD；
(2)EF//CD.
答案
(1) $\because AE// BC$，$\therefore ∠ A=∠ B. \ \because AD=BF$，$\therefore AD+DF=BF+DF$，即 $AF=BD$. 在$△ AEF$ 和 $△ BCD$ 中，
$\begin{cases}AE=BC,\\∠ A=∠ B,\\AF=BD,\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ BCD(\mathrm{SAS}).$
(2) $\because △ AEF≌△ BCD$，$\therefore ∠ AFE=∠ BDC. \ \therefore EF// CD.$
$\begin{cases}AE=BC,\\∠ A=∠ B,\\AF=BD,\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ BCD(\mathrm{SAS}).$
(2) $\because △ AEF≌△ BCD$，$\therefore ∠ AFE=∠ BDC. \ \therefore EF// CD.$
解析
【分析】
要证明△AEF≌△BCD，先梳理所需条件：已知AE=BC，由AE//BC可推出内错角∠A=∠B，得到一组对应角相等；再由AD=BF，两段相等线段同时加公共线段DF，可得AF=BD，刚好满足SAS全等判定的条件，即可证全等。第二问要证EF//CD，只需证内错角∠AFE=∠BDC，利用第一问的全等结论可得对应角相等，进而根据平行线判定定理推出两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AE// BC$，
∴ $∠ A=∠ B$。
∵ $AD=BF$，
∴ $AD+DF=BF+DF$，即 $AF=BD$。
在$△ AEF$ 和 $△ BCD$ 中，
$\begin{cases}AE=BC,\\∠ A=∠ B,\\AF=BD,\end{cases}$
∴ $△ AEF≌△ BCD(\mathrm{SAS})$。
(2) 证明：
∵ $△ AEF≌△ BCD$，
∴ $∠ AFE=∠ BDC$，
∴ $EF// CD$。
【答案】
(1) $\because AE// BC$，$\therefore ∠ A=∠ B. \ \because AD=BF$，$\therefore AD+DF=BF+DF$，即 $AF=BD$. 在$△ AEF$ 和 $△ BCD$ 中，
$\begin{cases}AE=BC,\\∠ A=∠ B,\\AF=BD,\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ BCD(\mathrm{SAS}).$
(2) $\because △ AEF≌△ BCD$，$\therefore ∠ AFE=∠ BDC. \ \therefore EF// CD.$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形与平行线的综合基础题，核心是先通过平行线性质和线段和差关系凑齐全等判定的条件，再借助全等的对应角相等证明直线平行，是SAS判定全等的典型应用习题。
【难度系数】
0.8
要证明△AEF≌△BCD，先梳理所需条件：已知AE=BC，由AE//BC可推出内错角∠A=∠B，得到一组对应角相等；再由AD=BF，两段相等线段同时加公共线段DF，可得AF=BD，刚好满足SAS全等判定的条件，即可证全等。第二问要证EF//CD，只需证内错角∠AFE=∠BDC，利用第一问的全等结论可得对应角相等，进而根据平行线判定定理推出两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AE// BC$，
∴ $∠ A=∠ B$。
∵ $AD=BF$，
∴ $AD+DF=BF+DF$，即 $AF=BD$。
在$△ AEF$ 和 $△ BCD$ 中，
$\begin{cases}AE=BC,\\∠ A=∠ B,\\AF=BD,\end{cases}$
∴ $△ AEF≌△ BCD(\mathrm{SAS})$。
(2) 证明：
∵ $△ AEF≌△ BCD$，
∴ $∠ AFE=∠ BDC$，
∴ $EF// CD$。
【答案】
(1) $\because AE// BC$，$\therefore ∠ A=∠ B. \ \because AD=BF$，$\therefore AD+DF=BF+DF$，即 $AF=BD$. 在$△ AEF$ 和 $△ BCD$ 中，
$\begin{cases}AE=BC,\\∠ A=∠ B,\\AF=BD,\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ BCD(\mathrm{SAS}).$
(2) $\because △ AEF≌△ BCD$，$\therefore ∠ AFE=∠ BDC. \ \therefore EF// CD.$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形与平行线的综合基础题，核心是先通过平行线性质和线段和差关系凑齐全等判定的条件，再借助全等的对应角相等证明直线平行，是SAS判定全等的典型应用习题。
【难度系数】
0.8
