6. 如图，已知点 D 在 AC 上，$AC=AE=10$，$∠ CDE=∠ BAE$，$AB=DE$，$CD=6$，则 BC 的长为().

A.2
B.3
C.4
D.5

C

【分析】
要计算BC的长，已知两组边相等AC=AE、AB=DE，可尝试证明BC所在的△ABC与另一个三角形全等，结合全等对应边相等求解。要使用SAS判定全等，需要先证明两边的夹角相等：已知∠CDE=∠BAE，结合三角形外角性质和角的和的关系，推导得到两组等边的夹角相等，即可证明三角形全等，进而求出BC的长度。
【解析】
解：
∵∠CDE是△ADE的外角，
∴$∠ CDE = ∠ DAE + ∠ E$，
又
∵$∠ BAE = ∠ DAE + ∠ BAC$，且已知$∠ CDE = ∠ BAE$，
∴$∠ DAE + ∠ E = ∠ DAE + ∠ BAC$，
化简得$∠ BAC = ∠ E$。
在△ABC和△EDA中：
$\begin{cases}AB = DE (\mathrm{已知}) \\∠ BAC = ∠ E (\mathrm{已证}) \\AC = AE (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ EDA (\mathrm{SAS})$，
∴$BC = AD$（全等三角形对应边相等）。
∵$AC=10$，$CD=6$，
∴$AD = AC - CD = 10 - 6 = 4$，
∴$BC=4$。
【答案】
C
【知识点】
SAS判定三角形全等；三角形外角性质；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等判定的典型应用题型，解题核心是通过角的转化得到全等所需的等角条件，再结合全等性质求解线段长度，有助于巩固全等三角形的判定和性质的应用。
【难度系数】
0.7

7. 如图，已知 $AB = AC$，$AD = AE$，$∠ BAC = ∠ DAE = α$，$∠ ACE = β$，且点 $B$，$D$，$F$，$E$ 在同一条直线上，则 $∠ AFE$ 的度数是________。

$α+β$

【分析】
解题时先观察已知条件：已知两组边相等$AB=AC$、$AD=AE$，且有共顶点的等角$∠ BAC=∠ DAE$，首先考虑证明三角形全等。第一步通过等式性质，将两个等角同时减去公共角$∠ DAC$，得到夹角$∠ BAD=∠ CAE$，即可用SAS判定$△ BAD≌△ CAE$，得到对应角$∠ ABD=∠ ACE=β$。第二步利用三角形外角性质，$∠ AFE$是$△ ABF$的外角，等于不相邻两个内角的和，代入角度即可求出结果。
【解析】
$\because ∠ BAC=∠ DAE=α$
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAD=∠ CAE \\AD=AE\end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ ABD=∠ ACE=β$
$\because$点$B,D,F,E$共线，$∠ AFE$是$△ ABF$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
$\therefore ∠ AFE=∠ BAC+∠ ABD=α+β$
【答案】
$α+β$
【知识点】
SAS判定全等，全等三角形的性质，三角形外角定理
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题型，核心是通过角的和差关系得到全等所需的相等夹角，再结合外角性质推导所求角度，能较好地考查学生对全等判定和角度推导的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

8. 如图，点C在线段AB上，AD//BE，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE. 试探究CF和DE的位置关系，并说明理由.

解：$CF⊥ DE$. 理由如下：$\because AD// BE$，$\therefore ∠ A=∠ B$.
在$△ ACD$ 和 $△ BEC$ 中，
$\begin{cases}AC=BE,\\∠ A=∠ B,\\AD=BC,\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ BEC \ (\mathrm{SAS}). \ \therefore CD = EC. \ \because CF$ 平分 $∠ DCE$，$\therefore ∠ DCF = ∠ ECF$. 在 $△ DCF$ 和 $△ ECF$ 中，
$\begin{cases}CD=CE,\\∠ DCF=∠ ECF,\\CF=CF,\end{cases}$
$\therefore △ DCF ≌ △ ECF \ (\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ CFD = ∠ CFE. \ \because ∠ CFD + ∠ CFE = 180°$，$\therefore ∠ CFD=∠ CFE=90°. \ \therefore CF⊥ DE.$

【分析】
要探究CF与DE的位置关系，结合图形可初步猜测为垂直关系，解题思路如下：首先利用平行线的性质得到一组相等的角，结合已知的两组等边，通过SAS判定证明△ACD和△BEC全等，得到CD=CE；再结合CF平分∠DCE的条件，可通过再次证明△DCF和△ECF全等，得到对应角相等，结合平角的性质推出夹角为90°，即可得到二者的位置关系。
【解析】
$CF⊥ DE$，理由如下：
$\because AD// BE$，$\therefore ∠ A=∠ B$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ACD$ 和 $△ BEC$ 中，
$\begin{cases}AC=BE,\\∠ A=∠ B,\\AD=BC,\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ BEC \ (\mathrm{SAS})$。
$\therefore CD = EC$（全等三角形对应边相等）。
$\because CF$ 平分 $∠ DCE$，$\therefore ∠ DCF = ∠ ECF$（角平分线的定义）。
在 $△ DCF$ 和 $△ ECF$ 中，
$\begin{cases}CD=CE,\\∠ DCF=∠ ECF,\\CF=CF,\end{cases}$
$\therefore △ DCF ≌ △ ECF \ (\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ CFD = ∠ CFE$（全等三角形对应角相等）。
$\because ∠ CFD + ∠ CFE = 180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ CFD=∠ CFE=90°$，
$\therefore CF⊥ DE$。
【答案】
$CF⊥ DE$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形应用的基础典型题，解题时需要结合已知条件层层推导，先通过全等得到等边，再结合角平分线的条件推出垂直关系，能较好地锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

9. 如图，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，$∠ B=∠ C$，$E$为线段$AB$的中点。若点$P$在线段$BC$上以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$B$向点$C$运动，同时，点$Q$在线段$CD$上由点$C$向点$D$运动。
(1)若点$Q$的运动速度与点$P$的相等，经过$1\ \mathrm{s}$后，$△ BPE$与$△ CQP$是否全等？请说明理由；
(2)当点$Q$的运动速度为多少时，存在某一时刻使得$△ BPE$与$△ CQP$全等？

解：(1)$△ BPE$ 与$△ CQP$ 全等. 理由如下：由题意知，经过1 s 后，$BP=CQ=3\ \mathrm{cm}$，$\therefore CP=BC-BP=8-3=5(\mathrm{cm}). \ \because E$ 是 $AB$ 的中点，$\therefore BE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}× 10=5\ (\mathrm{cm}). \ \therefore BE = CP$. 在 $△ BPE$ 与 $△ CQP$ 中，
$\begin{cases}BE=CP,\\∠ B=∠ C,\\BP=CQ,\end{cases}$
$\therefore △ BPE≌△ CQP(\mathrm{SAS}).$
(2) 设运动时间为 $t$ s，分以下两种情况讨论：
① 当$△ BPE≌△ CPQ$ 时，$CQ=BE=5\ \mathrm{cm}$，$BP=CP$，$\therefore 3t=8-3t$，解得 $t=\dfrac{4}{3}$. $\therefore$ 点 $Q$ 的运动速度为 $5÷ \dfrac{4}{3}=\dfrac{15}{4}(\mathrm{cm/s}).$
② 当$△ BPE≌△ CQP$ 时，由(1)知，点 $Q$ 的运动速度与点 $P$ 的相等，$\therefore$ 点 $Q$ 的运动速度为 $3\ \mathrm{cm/s}$.
综上所述，当点 $Q$ 的运动速度为 $\dfrac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$ 或 $3\ \mathrm{cm/s}$ 时，存在某一时刻使得$△ BPE$ 与$△ CQP$ 全等.

【分析】
(1) 要判断1s后两个三角形是否全等，已知∠B=∠C，已经具备一组对应角相等，只需验证夹这组角的两组对应边是否相等即可。先根据运动速度和时间计算BP、CQ的长度，再结合E是AB中点算出BE长度，同时求出CP长度，验证对应边相等后用SAS判定即可。
(2) 两个三角形全等时，∠B和∠C是固定对应角，但对应边有两种情况：①△BPE≌△CQP，此时BP=CQ，BE=CP；②△BPE≌△CPQ，此时BP=CP，BE=CQ。分别设运动时间为t，根据两种对应关系列方程求出t，再用Q的运动路程除以时间得到运动速度即可。
【解析】
(1) $△ BPE$ 与$△ CQP$ 全等，理由如下：
由题意知，经过1 s 后，$BP=CQ=3×1=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CP=BC-BP=8-3=5(\mathrm{cm})$。
$\because E$ 是 $AB$ 的中点，$\therefore BE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}× 10=5\ (\mathrm{cm})$，$\therefore BE = CP$。
在 $△ BPE$ 与 $△ CQP$ 中，
$\begin{cases}BE=CP,\\∠ B=∠ C,\\BP=CQ,\end{cases}$
$\therefore △ BPE≌△ CQP(\mathrm{SAS})$。
(2) 设运动时间为 $t$ s，分以下两种情况讨论：
① 当$△ BPE≌△ CPQ$ 时，$CQ=BE=5\ \mathrm{cm}$，$BP=CP$，
$\therefore 3t=8-3t$，解得 $t=\dfrac{4}{3}$。
$\therefore$ 点 $Q$ 的运动速度为 $5÷ \dfrac{4}{3}=\dfrac{15}{4}(\mathrm{cm/s})$。
② 当$△ BPE≌△ CQP$ 时，由(1)知，点 $Q$ 的运动速度与点 $P$ 的相等，$\therefore$ 点 $Q$ 的运动速度为 $3\ \mathrm{cm/s}$。
综上所述，当点 $Q$ 的运动速度为 $\dfrac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$ 或 $3\ \mathrm{cm/s}$ 时，存在某一时刻使得$△ BPE$ 与$△ CQP$ 全等。
【答案】
(1) 全等，理由见解析；
(2) $3\ \mathrm{cm/s}$ 或 $\dfrac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 分类讨论思想
3. 动点行程计算
【点评】
本题是全等三角形与动点问题结合的典型习题，第一问较为基础，直接结合行程数据用SAS判定即可；第二问需要注意全等三角形对应边不唯一，要分情况讨论，避免漏解，能够有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6