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11.（湛江期末）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法.我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$（如图①）.
(1)观察图②，直接写出$(a+b)^2$，$(a-b)^2$，$ab$之间的等量关系；
【拓展应用】根据(1)中的等量关系及所学的完全平方公式知识，解决下列问题：
(2)若$x+y=4$，$xy=\frac{7}{4}$，且$x＞y$，求$x-y$的值；
(3)若$(2026 - m)^2 + (m - 2025)^2 =7$，求$(2026 - m)(m - 2025)$的值；
(4)如图③，在$△ BCE$中，$∠ BCE=90°$，$CE=8$，点$M$在边$BC$上，$CM=3$.在边$CE$上取一点$Q$，使$BM=EQ$，分别以$BC$，$CQ$为边在$△ BCE$外部作正方形$ABCD$和正方形$COPQ$，连接$BQ$.若$△ BCQ$的面积等于$\frac{21}{2}$，设$BM=x(x＞0)$，求正方形$ABCD$和正方形$COPQ$的面积和.
(1)观察图②，直接写出$(a+b)^2$，$(a-b)^2$，$ab$之间的等量关系；
【拓展应用】根据(1)中的等量关系及所学的完全平方公式知识，解决下列问题：
(2)若$x+y=4$，$xy=\frac{7}{4}$，且$x＞y$，求$x-y$的值；
(3)若$(2026 - m)^2 + (m - 2025)^2 =7$，求$(2026 - m)(m - 2025)$的值；
(4)如图③，在$△ BCE$中，$∠ BCE=90°$，$CE=8$，点$M$在边$BC$上，$CM=3$.在边$CE$上取一点$Q$，使$BM=EQ$，分别以$BC$，$CQ$为边在$△ BCE$外部作正方形$ABCD$和正方形$COPQ$，连接$BQ$.若$△ BCQ$的面积等于$\frac{21}{2}$，设$BM=x(x＞0)$，求正方形$ABCD$和正方形$COPQ$的面积和.
答案
解：(1)$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$.
(2)由(1)可得$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，$\therefore (x-y)^2=4^2-4×\frac{7}{4}=9$. $\because x＞y$，$\therefore x-y=3$.
(3)$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$\therefore 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$. $\because (2026-m)^2+(m-2025)^2=7$，
$\therefore 2(2026-m)(m-2025)=(2026-m+m-2025)^2-[(2026-m)^2+(m-2025)^2]=1-7=-6$.
$\therefore (2026-m)(m-2025)=\frac{-6}{2}=-3$.
(4)由题意知 $BM=EQ=x$，$CM=3$，$CE=8$，
$\therefore CQ=CE-EQ=8-x$，$BC=BM+CM=x+3$.
$\because S_{△ BCQ}=\frac{1}{2}CQ·BC=\frac{21}{2}$，$\therefore (8-x)(x+3)=21$.
令$8-x=a$，$x+3=b$，$\therefore a+b=11$，$ab=21$. $\therefore$ 正方形$ABCD$和正方形$COPQ$的面积和为$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=11^2-2×21=121-42=79$.
(2)由(1)可得$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，$\therefore (x-y)^2=4^2-4×\frac{7}{4}=9$. $\because x＞y$，$\therefore x-y=3$.
(3)$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$\therefore 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$. $\because (2026-m)^2+(m-2025)^2=7$，
$\therefore 2(2026-m)(m-2025)=(2026-m+m-2025)^2-[(2026-m)^2+(m-2025)^2]=1-7=-6$.
$\therefore (2026-m)(m-2025)=\frac{-6}{2}=-3$.
(4)由题意知 $BM=EQ=x$，$CM=3$，$CE=8$，
$\therefore CQ=CE-EQ=8-x$，$BC=BM+CM=x+3$.
$\because S_{△ BCQ}=\frac{1}{2}CQ·BC=\frac{21}{2}$，$\therefore (8-x)(x+3)=21$.
令$8-x=a$，$x+3=b$，$\therefore a+b=11$，$ab=21$. $\therefore$ 正方形$ABCD$和正方形$COPQ$的面积和为$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=11^2-2×21=121-42=79$.
解析
【分析】
(1) 观察图②的面积构成：边长为$(a+b)$的大正方形面积 = 边长为$(a-b)$的中间小正方形面积 + 4个长为$a$、宽为$b$的长方形面积，据此可直接推导三者等量关系。
(2) 直接套用(1)得到的变形公式$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，代入已知的$x+y$和$xy$的值计算，再结合$x＞y$的条件取正根即可。
(3) 设$a=2026-m$，$b=m-2025$，可快速得到$a+b=1$，再结合已知$a^2+b^2=7$，利用完全平方公式的变形$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$即可求出$ab$的值。
(4) 先用含$x$的式子表示出$BC$和$CQ$的长度，根据$△ BCQ$的面积得到$BC$与$CQ$的乘积，两个正方形的面积和即为$BC^2+CQ^2$，再利用完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算即可。
【解析】
(1) 由图②的面积关系可得：$\boxed{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$。
(2) 由(1)的结论得：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，
将$x+y=4$，$xy=\frac{7}{4}$代入得：
$(x-y)^2=4^2-4×\frac{7}{4}=16-7=9$，
$\because x＞y$，$\therefore x-y＞0$，
$\therefore x-y=\sqrt{9}=3$。
(3) 设$a=2026-m$，$b=m-2025$，则$a+b=2026-m+m-2025=1$，已知$a^2+b^2=7$，
根据完全平方公式变形得：$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$，
代入数值得：$2ab=1^2-7=-6$，
$\therefore ab=\frac{-6}{2}=-3$，即$(2026-m)(m-2025)=-3$。
(4) 由题意得：$BM=EQ=x$，$CM=3$，$CE=8$，
$\therefore BC=BM+CM=x+3$，$CQ=CE-EQ=8-x$，
$\because S_{△ BCQ}=\frac{1}{2}× BC× CQ=\frac{21}{2}$，
$\therefore \frac{1}{2}(x+3)(8-x)=\frac{21}{2}$，即$(x+3)(8-x)=21$，
设$a=x+3$，$b=8-x$，则$a+b=x+3+8-x=11$，$ab=21$，
两个正方形的面积和为$a^2+b^2$，代入完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=11^2-2×21=121-42=79$。
【答案】
(1) $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2) $3$
(3) $-3$
(4) $79$
【知识点】
完全平方公式的变形、换元法、代数式求值
【点评】
本题以图形面积为载体考查完全平方公式的推导与灵活应用，题目设置由浅入深，从基础公式推导到实际场景应用，要求学生熟练掌握完全平方公式的各类变形，能运用换元法简化复杂计算，培养数形结合的数学思维。
【难度系数】
0.6
(1) 观察图②的面积构成：边长为$(a+b)$的大正方形面积 = 边长为$(a-b)$的中间小正方形面积 + 4个长为$a$、宽为$b$的长方形面积，据此可直接推导三者等量关系。
(2) 直接套用(1)得到的变形公式$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，代入已知的$x+y$和$xy$的值计算，再结合$x＞y$的条件取正根即可。
(3) 设$a=2026-m$，$b=m-2025$，可快速得到$a+b=1$，再结合已知$a^2+b^2=7$，利用完全平方公式的变形$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$即可求出$ab$的值。
(4) 先用含$x$的式子表示出$BC$和$CQ$的长度，根据$△ BCQ$的面积得到$BC$与$CQ$的乘积，两个正方形的面积和即为$BC^2+CQ^2$，再利用完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算即可。
【解析】
(1) 由图②的面积关系可得：$\boxed{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$。
(2) 由(1)的结论得：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，
将$x+y=4$，$xy=\frac{7}{4}$代入得：
$(x-y)^2=4^2-4×\frac{7}{4}=16-7=9$，
$\because x＞y$，$\therefore x-y＞0$，
$\therefore x-y=\sqrt{9}=3$。
(3) 设$a=2026-m$，$b=m-2025$，则$a+b=2026-m+m-2025=1$，已知$a^2+b^2=7$，
根据完全平方公式变形得：$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$，
代入数值得：$2ab=1^2-7=-6$，
$\therefore ab=\frac{-6}{2}=-3$，即$(2026-m)(m-2025)=-3$。
(4) 由题意得：$BM=EQ=x$，$CM=3$，$CE=8$，
$\therefore BC=BM+CM=x+3$，$CQ=CE-EQ=8-x$，
$\because S_{△ BCQ}=\frac{1}{2}× BC× CQ=\frac{21}{2}$，
$\therefore \frac{1}{2}(x+3)(8-x)=\frac{21}{2}$，即$(x+3)(8-x)=21$，
设$a=x+3$，$b=8-x$，则$a+b=x+3+8-x=11$，$ab=21$，
两个正方形的面积和为$a^2+b^2$，代入完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=11^2-2×21=121-42=79$。
【答案】
(1) $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2) $3$
(3) $-3$
(4) $79$
【知识点】
完全平方公式的变形、换元法、代数式求值
【点评】
本题以图形面积为载体考查完全平方公式的推导与灵活应用，题目设置由浅入深，从基础公式推导到实际场景应用，要求学生熟练掌握完全平方公式的各类变形，能运用换元法简化复杂计算，培养数形结合的数学思维。
【难度系数】
0.6
