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9.【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则称BD，BE为∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”。
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，若∠A=45°，∠ABC=75°，∠ABC的“邻AB三分线”BD交AC于点D，则∠BDC=
【继续探索】
（2）如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的“邻AB三分线”，CP是∠ACB的“邻AC三分线”。若∠A=45°，求∠BPC的度数；
【拓展应用】
（3）如图④，在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线与∠ACD的“邻AC三分线”交于点P。若∠A=m°，∠ABC=n°，求∠BPC的度数.（用含m，n的代数式表示）
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，若∠A=45°，∠ABC=75°，∠ABC的“邻AB三分线”BD交AC于点D，则∠BDC=
70
°；【继续探索】
（2）如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的“邻AB三分线”，CP是∠ACB的“邻AC三分线”。若∠A=45°，求∠BPC的度数；
【拓展应用】
（3）如图④，在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线与∠ACD的“邻AC三分线”交于点P。若∠A=m°，∠ABC=n°，求∠BPC的度数.（用含m，n的代数式表示）
答案
9. (1)70
解：(2)由题意得，$∠ABC+∠ACB=180°-∠A=135°$，$∠PBC=\frac{2}{3}∠ABC$，$∠PCB=\frac{2}{3}∠ACB$，
$\therefore ∠PBC+ ∠PCB = \frac{2}{3}(∠ABC+∠ACB)=\frac{2}{3}×135°=90°.$ $\therefore ∠BPC = 180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-90°=90°.$
(3)$\because ∠ACD$ 是$△ ABC$ 的外角，$\therefore ∠ACD = ∠A + ∠ABC = m° + n°.$ $\therefore ∠PCD = \frac{2}{3}∠ACD = (\frac{2m+2n}{3})°.$ 分以下两种情况讨论：① 当 $BP$ 是$∠ABC$ 的 “邻 $BC$ 三分线” 时，$∠PBC=\frac{1}{3}∠ABC=(\frac{n}{3})°,$ $\therefore ∠BPC = ∠PCD - ∠PBC = (\frac{2m}{3}+\frac{n}{3})°.$
②当 $BP$ 是$∠ABC$ 的 “邻 $AB$ 三分线” 时，$∠PBC=\frac{2}{3}∠ABC=(\frac{2n}{3})°,$ $\therefore ∠BPC = ∠PCD - ∠PBC = (\frac{2m+2n}{3})°-(\frac{2n}{3})°=(\frac{2m}{3})°.$ 综上所述，$∠BPC$ 的度数为$(\frac{2m}{3}+\frac{n}{3})°$或$(\frac{2m}{3})°.$
解：(2)由题意得，$∠ABC+∠ACB=180°-∠A=135°$，$∠PBC=\frac{2}{3}∠ABC$，$∠PCB=\frac{2}{3}∠ACB$，
$\therefore ∠PBC+ ∠PCB = \frac{2}{3}(∠ABC+∠ACB)=\frac{2}{3}×135°=90°.$ $\therefore ∠BPC = 180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-90°=90°.$
(3)$\because ∠ACD$ 是$△ ABC$ 的外角，$\therefore ∠ACD = ∠A + ∠ABC = m° + n°.$ $\therefore ∠PCD = \frac{2}{3}∠ACD = (\frac{2m+2n}{3})°.$ 分以下两种情况讨论：① 当 $BP$ 是$∠ABC$ 的 “邻 $BC$ 三分线” 时，$∠PBC=\frac{1}{3}∠ABC=(\frac{n}{3})°,$ $\therefore ∠BPC = ∠PCD - ∠PBC = (\frac{2m}{3}+\frac{n}{3})°.$
②当 $BP$ 是$∠ABC$ 的 “邻 $AB$ 三分线” 时，$∠PBC=\frac{2}{3}∠ABC=(\frac{2n}{3})°,$ $\therefore ∠BPC = ∠PCD - ∠PBC = (\frac{2m+2n}{3})°-(\frac{2n}{3})°=(\frac{2m}{3})°.$ 综上所述，$∠BPC$ 的度数为$(\frac{2m}{3}+\frac{n}{3})°$或$(\frac{2m}{3})°.$
解析
【分析】
（1）先根据“邻AB三分线”的定义求出∠ABD的度数，再利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可求出∠BDC的度数。
（2）先根据三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再结合三分线的定义求出∠PBC与∠PCB的和，最后再次利用三角形内角和定理计算∠BPC的度数。
（3）首先利用三角形外角的性质求出∠ACD的度数，再根据三分线定义求出∠PCD的度数；由于∠ABC的三分线有“邻AB三分线”和“邻BC三分线”两种情况，需分类讨论求出∠PBC的度数，最后利用外角性质变形求出∠BPC即可。
【解析】
（1）
∵BD是∠ABC的“邻AB三分线”，∠ABC=75°，
∴$∠ ABD=\frac{1}{3}∠ ABC=\frac{1}{3}×75°=25°$，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=45°+25°=70°$。
（2）在△ABC中，∠A=45°，
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-45°=135°$，
∵BP是∠ABC的“邻AB三分线”，CP是∠ACB的“邻AC三分线”，
∴$∠ PBC=\frac{2}{3}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{2}{3}∠ ACB$，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{2}{3}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{2}{3}×135°=90°$，
在△PBC中，$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-90°=90°$。
（3）
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴$∠ ACD=∠ A+∠ ABC=m°+n°$，
∵CP是∠ACD的“邻AC三分线”，
∴$∠ PCD=\frac{2}{3}∠ ACD=\frac{2}{3}(m°+n°)$，
分两种情况讨论：
①当BP是∠ABC的“邻BC三分线”时，$∠ PBC=\frac{1}{3}∠ ABC=\frac{1}{3}n°$，
∵∠PCD是△PBC的外角，
∴$∠ BPC=∠ PCD-∠ PBC=\frac{2}{3}(m°+n°)-\frac{1}{3}n°=(\frac{2m}{3}+\frac{n}{3})°$；
②当BP是∠ABC的“邻AB三分线”时，$∠ PBC=\frac{2}{3}∠ ABC=\frac{2}{3}n°$，
同理可得$∠ BPC=∠ PCD-∠ PBC=\frac{2}{3}(m°+n°)-\frac{2}{3}n°=(\frac{2m}{3})°$；
综上所述，∠BPC的度数为$(\frac{2m}{3}+\frac{n}{3})°$或$(\frac{2m}{3})°$。
【答案】
(1) $\boxed{70}$；(2) $\boxed{90°}$；(3) $\boxed{(\frac{2m}{3}+\frac{n}{3})°}$或$\boxed{(\frac{2m}{3})°}$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义“三分线”考查三角形内角与外角的相关性质，解题核心是准确理解新定义的含义，灵活运用内角和、外角性质进行角度计算，第三问需注意对三分线的两种情况分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）先根据“邻AB三分线”的定义求出∠ABD的度数，再利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可求出∠BDC的度数。
（2）先根据三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再结合三分线的定义求出∠PBC与∠PCB的和，最后再次利用三角形内角和定理计算∠BPC的度数。
（3）首先利用三角形外角的性质求出∠ACD的度数，再根据三分线定义求出∠PCD的度数；由于∠ABC的三分线有“邻AB三分线”和“邻BC三分线”两种情况，需分类讨论求出∠PBC的度数，最后利用外角性质变形求出∠BPC即可。
【解析】
（1）
∵BD是∠ABC的“邻AB三分线”，∠ABC=75°，
∴$∠ ABD=\frac{1}{3}∠ ABC=\frac{1}{3}×75°=25°$，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=45°+25°=70°$。
（2）在△ABC中，∠A=45°，
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-45°=135°$，
∵BP是∠ABC的“邻AB三分线”，CP是∠ACB的“邻AC三分线”，
∴$∠ PBC=\frac{2}{3}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{2}{3}∠ ACB$，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{2}{3}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{2}{3}×135°=90°$，
在△PBC中，$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-90°=90°$。
（3）
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴$∠ ACD=∠ A+∠ ABC=m°+n°$，
∵CP是∠ACD的“邻AC三分线”，
∴$∠ PCD=\frac{2}{3}∠ ACD=\frac{2}{3}(m°+n°)$，
分两种情况讨论：
①当BP是∠ABC的“邻BC三分线”时，$∠ PBC=\frac{1}{3}∠ ABC=\frac{1}{3}n°$，
∵∠PCD是△PBC的外角，
∴$∠ BPC=∠ PCD-∠ PBC=\frac{2}{3}(m°+n°)-\frac{1}{3}n°=(\frac{2m}{3}+\frac{n}{3})°$；
②当BP是∠ABC的“邻AB三分线”时，$∠ PBC=\frac{2}{3}∠ ABC=\frac{2}{3}n°$，
同理可得$∠ BPC=∠ PCD-∠ PBC=\frac{2}{3}(m°+n°)-\frac{2}{3}n°=(\frac{2m}{3})°$；
综上所述，∠BPC的度数为$(\frac{2m}{3}+\frac{n}{3})°$或$(\frac{2m}{3})°$。
【答案】
(1) $\boxed{70}$；(2) $\boxed{90°}$；(3) $\boxed{(\frac{2m}{3}+\frac{n}{3})°}$或$\boxed{(\frac{2m}{3})°}$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义“三分线”考查三角形内角与外角的相关性质，解题核心是准确理解新定义的含义，灵活运用内角和、外角性质进行角度计算，第三问需注意对三分线的两种情况分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
