知识梳理
1. 线段是轴对称图形,它的对称轴是.
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2. 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到.
3. 线段垂直平分线的判定定理:到线段两端距离相等的点在.
4. 线段垂直平分线的性质定理与判定定理(填“是”或“不是”)互逆定理.
5. 三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这点到相等.

1. 线段的垂直平分线
2. 线段两端的距离相等
3. 线段的垂直平分线上
4. 是
5. 三角形三个顶点的距离

例题 定义:三角形三边的垂直平分线相交于一点,这个点叫做三角形的外心.
如图1,直线$l_1$、$l_2$、$l_3$分别是边AB、BC、AC的垂直平分线.
求证:直线$l_1$、$l_2$、$l_3$相交于一点.
证明:如图2,设直线$l_1$、$l_2$相交于点O,连结OA、OB、OC.
∵ 直线$l_1$是AB的垂直平分线,
∴ $OA=OB$. (依据1)
∵ 直线$l_2$是BC的垂直平分线,
∴ $OB=OC$.
∴ $OA=OC$. (依据2)
∵ 直线$l_3$是AC的垂直平分线,
∴ 点O在直线$l_3$上. (依据3)
∴ 直线$l_1$、$l_2$、$l_3$相交于一点.

(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别指什么?
(2)如图3,直线$l_1$、$l_2$分别是AB、AC的垂直平分线,直线$l_1$、$l_2$相交于点O,点O是$△ ABC$的外心,直线$l_1$交BC于点M,直线$l_2$交BC于点N,分别连结AM、AN、OA、OB、OC,若$OA=6\ \mathrm{cm}$,$△ OBC$的周长为22 cm,求$△ AMN$的周长.
答案:(1)依据1:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;依据2:等量代换;依据3:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
(2)∵ 直线$l_1$是AB的垂直平分线,
∴ $AM=BM,OA=OB$.
∵ 直线$l_2$是AC的垂直平分线,
∴ $AN=CN,OA=OC$.
∴ $OB=OC=OA=6\ \mathrm{cm}$,
$△ AMN$的周长$=AM+MN+AN=BC$.
∵ $△ OBC$的周长为22 cm,
∴ $BC =22-(OB+OC)$
$=22-12=10(\mathrm{cm})$.
∴ $△ AMN$的周长为10 cm.
【解析】(1)此题实际上是要证明点O在直线$l_3$上,所以先利用线段垂直平分线的性质定理证得$OA=OB,OB=OC$,从而得到$OA=OC$.再根据线段垂直平分线的判定定理进行推理论证得到结论;(2)由线段AB的垂直平分线的性质定理可得$AM=BM,OA=OB$,同理得$AN=CN,OA=OC$,所以$OB=OC=OA=6\ \mathrm{cm}$.
所以求$△ AMN$的周长$AM+AN+MN$就可转化为求线段BC的长度的问题,根据$△ OBC$的周长的计算方法求得BC的长度即可.
【方法点拨】本题在主要考查线段垂直平分线的性质定理与判定定理的基础上,以“外心”为新知识点引发学生思考,同时要体会数形结合和分类讨论的数学思想(图2,图3中的三角形分别为锐角三角形和钝角三角形,外心分别在三角形内和三角形外).

解：
(1) 依据1：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
依据2：等量代换；
依据3：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
(2)
∵ 直线$l_1$是$AB$的垂直平分线，
∴ $AM=BM$，$OA=OB$。
∵ 直线$l_2$是$AC$的垂直平分线，
∴ $AN=CN$，$OA=OC$。
∵ $OA=6\ \mathrm{cm}$，
∴ $OB=OC=OA=6\ \mathrm{cm}$。
$△ AMN$的周长$=AM+MN+AN$，
将$AM=BM$、$AN=CN$代入得：
$△ AMN$的周长$=BM+MN+CN=BC$。
∵ $△ OBC$的周长为22 cm，
∴ $OB+OC+BC=22\ \mathrm{cm}$，
∴ $BC=22-(OB+OC)=22-(6+6)=10\ \mathrm{cm}$。
∴ $△ AMN$的周长为$10\ \mathrm{cm}$。