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10. 已知二次函数$y=ax^2+2x+c$，当$x=-1$时，函数值是0，当$x=1$时，函数值是4，则这个二次函数的表达式可以为（
A.$y=-3x^2+2x+1$
B.$y=3x^2+2x+1$
C.$y=-3x^2+2x-1$
D.$y=3x^2+2x-1$
D
）A.$y=-3x^2+2x+1$
B.$y=3x^2+2x+1$
C.$y=-3x^2+2x-1$
D.$y=3x^2+2x-1$
答案
10. D
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：①待定系数法：二次函数解析式中仅a、c为未知系数，已知两组x与对应函数值，将其分别代入解析式可得到关于a、c的关系式，再结合选项验证即可确定表达式；②代入验证法：将题干给出的两组x、y值逐一代入选项，排除不符合的选项即可快速得到答案。
【解析】
这里采用更快捷的代入验证法求解：
1. 先代入$x=-1,y=0$逐一验证选项：
A选项：$y=-3×(-1)^2 + 2×(-1) +1=-4≠0$，排除；
B选项：$y=3×(-1)^2 + 2×(-1) +1=2≠0$，排除；
C选项：$y=-3×(-1)^2 + 2×(-1) +(-1)=-6≠0$，排除；
D选项：$y=3×(-1)^2 + 2×(-1) +(-1)=0$，符合条件。
2. 再代入$x=1,y=4$验证D选项：
$y=3×1^2 + 2×1 +(-1)=4$，完全符合题干条件，因此D为正确选项。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数值计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，代入验证法适配选择题型，能有效提升解题速度，解题核心是理解函数自变量与函数值的对应关系。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：①待定系数法：二次函数解析式中仅a、c为未知系数，已知两组x与对应函数值，将其分别代入解析式可得到关于a、c的关系式，再结合选项验证即可确定表达式；②代入验证法：将题干给出的两组x、y值逐一代入选项，排除不符合的选项即可快速得到答案。
【解析】
这里采用更快捷的代入验证法求解：
1. 先代入$x=-1,y=0$逐一验证选项：
A选项：$y=-3×(-1)^2 + 2×(-1) +1=-4≠0$，排除；
B选项：$y=3×(-1)^2 + 2×(-1) +1=2≠0$，排除；
C选项：$y=-3×(-1)^2 + 2×(-1) +(-1)=-6≠0$，排除；
D选项：$y=3×(-1)^2 + 2×(-1) +(-1)=0$，符合条件。
2. 再代入$x=1,y=4$验证D选项：
$y=3×1^2 + 2×1 +(-1)=4$，完全符合题干条件，因此D为正确选项。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数值计算
【点评】
本题是二次函数的基础题型，代入验证法适配选择题型，能有效提升解题速度，解题核心是理解函数自变量与函数值的对应关系。
【难度系数】
0.8
11. 如图，利用一面墙(墙的最大可用长度a为10米)和长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x之间的函数表达式为
$S=-3x^2+24x$
，自变量x的取值范围为$\frac{14}{3}≤x＜8$
。答案
11. $S=-3x^2+24x$，$\frac{14}{3}≤x＜8$
解析
【分析】
首先根据篱笆总长度表示出长方形花圃平行于墙的边的长度：已知宽AB为x米，垂直于墙的篱笆共有3段（两侧边+中间隔栏），总篱笆长24米，因此平行于墙的边长为$(24-3x)$米。再利用长方形面积公式即可得到S与x的函数表达式。求自变量取值范围时，需结合两个实际限制：一是平行于墙的边长不能超过墙的最大可用长度10米，二是平行于墙的边长必须为正数，据此列不等式组求解即可。
【解析】
设花圃的宽AB为x米，则垂直于墙的3段篱笆总长度为3x米，因此平行于墙的BC边长度为$(24-3x)$米。
根据长方形面积公式：
$S = AB × BC = x(24-3x) = -3x^2 + 24x$
接下来求自变量x的取值范围：
1. 墙的最大可用长度为10米，因此BC的长度不能超过10米：
$24 - 3x ≤ 10$
移项得：$-3x ≤ -14$，两边同时除以-3（不等号方向改变），解得$x ≥ \frac{14}{3}$
2. 边长为正数，因此BC的长度大于0：
$24 - 3x ＞ 0$
解得$x ＜ 8$
综上，自变量x的取值范围为$\frac{14}{3} ≤ x ＜ 8$
【答案】
$S=-3x^2+24x$，$\frac{14}{3}≤x＜8$
【知识点】
二次函数实际应用，不等式组求解，长方形面积计算
【点评】
本题考查二次函数在实际几何问题中的应用，解题的核心是正确用含x的式子表示出长方形的长，同时要注意结合实际场景的限制条件求解自变量范围，避免出现无实际意义的取值。
【难度系数】
0.7
首先根据篱笆总长度表示出长方形花圃平行于墙的边的长度：已知宽AB为x米，垂直于墙的篱笆共有3段（两侧边+中间隔栏），总篱笆长24米，因此平行于墙的边长为$(24-3x)$米。再利用长方形面积公式即可得到S与x的函数表达式。求自变量取值范围时，需结合两个实际限制：一是平行于墙的边长不能超过墙的最大可用长度10米，二是平行于墙的边长必须为正数，据此列不等式组求解即可。
【解析】
设花圃的宽AB为x米，则垂直于墙的3段篱笆总长度为3x米，因此平行于墙的BC边长度为$(24-3x)$米。
根据长方形面积公式：
$S = AB × BC = x(24-3x) = -3x^2 + 24x$
接下来求自变量x的取值范围：
1. 墙的最大可用长度为10米，因此BC的长度不能超过10米：
$24 - 3x ≤ 10$
移项得：$-3x ≤ -14$，两边同时除以-3（不等号方向改变），解得$x ≥ \frac{14}{3}$
2. 边长为正数，因此BC的长度大于0：
$24 - 3x ＞ 0$
解得$x ＜ 8$
综上，自变量x的取值范围为$\frac{14}{3} ≤ x ＜ 8$
【答案】
$S=-3x^2+24x$，$\frac{14}{3}≤x＜8$
【知识点】
二次函数实际应用，不等式组求解，长方形面积计算
【点评】
本题考查二次函数在实际几何问题中的应用，解题的核心是正确用含x的式子表示出长方形的长，同时要注意结合实际场景的限制条件求解自变量范围，避免出现无实际意义的取值。
【难度系数】
0.7
12. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度$h(\mathrm{m})$与运动时间$t(\mathrm{s})$之间的函数关系式为$h=30t-5t^2$，则当小球的高度为$40\ \mathrm{m}$时，运动时间$t$为
2 s或4 s
。答案
12. 2 s或4 s
解析
【分析】
已知小球高度h与运动时间t的函数关系式，要求高度为40m时的运动时间，解题思路为：①将h=40代入给定的二次函数解析式，得到关于t的一元二次方程；②求解该一元二次方程；③结合时间t的实际意义（t≥0）检验方程的根，舍去不符合题意的解，最终得到符合要求的t值。
【解析】
将h=40代入函数关系式$h=30t-5t^2$，可得：
$40=30t-5t^2$
整理方程：
移项得$5t^2-30t+40=0$，两边同时除以5化简为$t^2-6t+8=0$
因式分解得$(t-2)(t-4)=0$
解得$t_1=2$，$t_2=4$
由于运动时间t为非负数，两个解均符合实际意义，因此运动时间为2s或4s。
【答案】
2 s或4 s
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的解法，实际问题验根
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心考查将函数值代入解析式转化为方程求解的能力，解题时需注意结合实际场景判断解的合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.8
已知小球高度h与运动时间t的函数关系式，要求高度为40m时的运动时间，解题思路为：①将h=40代入给定的二次函数解析式，得到关于t的一元二次方程；②求解该一元二次方程；③结合时间t的实际意义（t≥0）检验方程的根，舍去不符合题意的解，最终得到符合要求的t值。
【解析】
将h=40代入函数关系式$h=30t-5t^2$，可得：
$40=30t-5t^2$
整理方程：
移项得$5t^2-30t+40=0$，两边同时除以5化简为$t^2-6t+8=0$
因式分解得$(t-2)(t-4)=0$
解得$t_1=2$，$t_2=4$
由于运动时间t为非负数，两个解均符合实际意义，因此运动时间为2s或4s。
【答案】
2 s或4 s
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的解法，实际问题验根
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心考查将函数值代入解析式转化为方程求解的能力，解题时需注意结合实际场景判断解的合理性，避免漏解。
【难度系数】
0.8
13. 已知函数$y=(m^2 - m)x^2 + (m - 1)x - 2$（$m$为常数）。
(1)若这个函数是关于$x$的一次函数，求$m$的值。
(2)若这个函数是关于$x$的二次函数，求$m$的取值范围。
(1)若这个函数是关于$x$的一次函数，求$m$的值。
(2)若这个函数是关于$x$的二次函数，求$m$的取值范围。
答案
13. 解:(1)依题意$m^2-m=0$且$m-1≠0$,所以$m=0$。
(2)依题意$m^2-m≠0$,所以$m≠1$且$m≠0$。
(2)依题意$m^2-m≠0$,所以$m≠1$且$m≠0$。
解析
【分析】
本题考查一次函数和二次函数的定义，解题思路如下：
（1）若函数是一次函数，需满足最高次项次数为1且一次项系数不为0，因此首先要令二次项系数等于0，再排除一次项系数为0的情况，即可求出m的值；
（2）若函数是二次函数，需满足最高次项次数为2，即二次项系数不为0，解对应的不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）若该函数是关于x的一次函数，根据一次函数的定义：
二次项系数为0，即$m^2 - m = 0$，且一次项系数不为0，即$m - 1 ≠ 0$
解方程$m^2 - m = 0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$
结合$m - 1 ≠ 0$即$m≠1$，最终得$m=0$
（2）若该函数是关于x的二次函数，根据二次函数的定义：
二次项系数不为0，即$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得$m(m-1)≠0$，因此$m≠0$且$m≠1$
【答案】
(1)$m=0$；(2)$m≠1$且$m≠0$
【知识点】
一次函数的定义、二次函数的定义、因式分解解不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是明确不同类型函数对应最高次项系数的限制条件，尤其要注意一次函数需同时满足二次项系数为0、一次项系数不为0两个条件，避免漏写限制条件导致出错，掌握基础定义即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数和二次函数的定义，解题思路如下：
（1）若函数是一次函数，需满足最高次项次数为1且一次项系数不为0，因此首先要令二次项系数等于0，再排除一次项系数为0的情况，即可求出m的值；
（2）若函数是二次函数，需满足最高次项次数为2，即二次项系数不为0，解对应的不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）若该函数是关于x的一次函数，根据一次函数的定义：
二次项系数为0，即$m^2 - m = 0$，且一次项系数不为0，即$m - 1 ≠ 0$
解方程$m^2 - m = 0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$
结合$m - 1 ≠ 0$即$m≠1$，最终得$m=0$
（2）若该函数是关于x的二次函数，根据二次函数的定义：
二次项系数不为0，即$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得$m(m-1)≠0$，因此$m≠0$且$m≠1$
【答案】
(1)$m=0$；(2)$m≠1$且$m≠0$
【知识点】
一次函数的定义、二次函数的定义、因式分解解不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是明确不同类型函数对应最高次项系数的限制条件，尤其要注意一次函数需同时满足二次项系数为0、一次项系数不为0两个条件，避免漏写限制条件导致出错，掌握基础定义即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
14. 如图，矩形$DEFG$的四个顶点分别在正三角形$ABC$的边上。已知$△ ABC$的边长为4，记矩形$DEFG$的面积为$S$，线段$BE$的长为$x$。
(1)求$S$关于$x$的函数表达式。
(2)当$S=\sqrt{3}$时，求$x$的值。
(1)求$S$关于$x$的函数表达式。
(2)当$S=\sqrt{3}$时，求$x$的值。
答案
14. 解:(1)因为三角形$ABC$为正三角形,所以$∠B=60°$。
因为矩形$DEFG$的四个顶点分别在正三角形$ABC$的边上，
所以$∠BED=90°,BE=CF=x,EF=4-2x$，
易得$DE=\sqrt{3} BE=\sqrt{3} x$，
所以$S=DE·EF=\sqrt{3} x(4-2x)=-2\sqrt{3}x^2+4\sqrt{3}x(0＜x＜2)$。
(2)因为$S=\sqrt{3}$,所以$-2\sqrt{3}x^2+4\sqrt{3}x=\sqrt{3}$，
所以$2x^2-4x+1=0$,解得$x=1±\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$0＜x＜2$,所以$x=1±\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为矩形$DEFG$的四个顶点分别在正三角形$ABC$的边上，
所以$∠BED=90°,BE=CF=x,EF=4-2x$，
易得$DE=\sqrt{3} BE=\sqrt{3} x$，
所以$S=DE·EF=\sqrt{3} x(4-2x)=-2\sqrt{3}x^2+4\sqrt{3}x(0＜x＜2)$。
(2)因为$S=\sqrt{3}$,所以$-2\sqrt{3}x^2+4\sqrt{3}x=\sqrt{3}$，
所以$2x^2-4x+1=0$,解得$x=1±\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$0＜x＜2$,所以$x=1±\frac{\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
(1)要求矩形DEFG的面积S，需先求出矩形的两条邻边DE、EF的长度。首先利用正三角形的性质得∠B=60°，在Rt△BED中可推出DE与BE的数量关系，进而用x表示DE；再结合矩形和正三角形的对称性可知CF=BE=x，即可用BC的长度减去2x得到EF的长度，最后根据矩形面积公式写出S关于x的函数表达式，同时确定x的取值范围。
(2)将S=√3代入(1)中得到的函数表达式，得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的取值范围筛选出符合要求的x的值即可。
【解析】
(1)
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°。
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEB=90°，且BE=CF=x，
∴EF=BC-BE-CF=4-2x，
在Rt△BED中，DE=BE·tan60°=√3 x，
∴矩形面积S=DE·EF=√3 x·(4-2x)=-2√3 x² + 4√3 x，
又
∵x＞0且4-2x＞0，
∴自变量x的取值范围是0＜x＜2，
即S关于x的函数表达式为S=-2√3 x² + 4√3 x(0＜x＜2)。
(2)当S=√3时，代入函数表达式得：
-2√3 x² + 4√3 x = √3，
两边同时除以√3得：-2x² +4x =1，整理得2x² -4x +1=0，
由求根公式解得$x=\frac{4±\sqrt{16-8}}{2×2}=1±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$0＜1+\frac{\sqrt{2}}{2}＜2$，$0＜1-\frac{\sqrt{2}}{2}＜2$，两个解均符合取值范围，
∴x的值为$1±\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $S=-2\sqrt{3}x^2+4\sqrt{3}x(0＜x＜2)$
(2) $x=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次函数的应用；解一元二次方程；等边三角形的性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形、矩形的性质，二次函数表达式的求解以及一元二次方程的解法，解题的核心是结合几何图形的性质用含x的代数式正确表示出矩形的邻边长度，同时注意结合实际意义确定自变量的取值范围，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
(1)要求矩形DEFG的面积S，需先求出矩形的两条邻边DE、EF的长度。首先利用正三角形的性质得∠B=60°，在Rt△BED中可推出DE与BE的数量关系，进而用x表示DE；再结合矩形和正三角形的对称性可知CF=BE=x，即可用BC的长度减去2x得到EF的长度，最后根据矩形面积公式写出S关于x的函数表达式，同时确定x的取值范围。
(2)将S=√3代入(1)中得到的函数表达式，得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x的取值范围筛选出符合要求的x的值即可。
【解析】
(1)
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°。
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEB=90°，且BE=CF=x，
∴EF=BC-BE-CF=4-2x，
在Rt△BED中，DE=BE·tan60°=√3 x，
∴矩形面积S=DE·EF=√3 x·(4-2x)=-2√3 x² + 4√3 x，
又
∵x＞0且4-2x＞0，
∴自变量x的取值范围是0＜x＜2，
即S关于x的函数表达式为S=-2√3 x² + 4√3 x(0＜x＜2)。
(2)当S=√3时，代入函数表达式得：
-2√3 x² + 4√3 x = √3，
两边同时除以√3得：-2x² +4x =1，整理得2x² -4x +1=0，
由求根公式解得$x=\frac{4±\sqrt{16-8}}{2×2}=1±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$0＜1+\frac{\sqrt{2}}{2}＜2$，$0＜1-\frac{\sqrt{2}}{2}＜2$，两个解均符合取值范围，
∴x的值为$1±\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $S=-2\sqrt{3}x^2+4\sqrt{3}x(0＜x＜2)$
(2) $x=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次函数的应用；解一元二次方程；等边三角形的性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形、矩形的性质，二次函数表达式的求解以及一元二次方程的解法，解题的核心是结合几何图形的性质用含x的代数式正确表示出矩形的邻边长度，同时注意结合实际意义确定自变量的取值范围，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
