1. 下列函数中是二次函数的是 （）

A.$y=3x+1$
B.$x=x^2-2$
C.$y=x^2-1$
D.$y=\frac{3}{x}$

1. C

【分析】
要判断选项中的函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定规则：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，判定时需同时满足三个条件：①是关于自变量$x$的整式函数；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。我们可按照该规则逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
依据二次函数的判定标准对各选项逐一分析：
选项A：$y=3x+1$中$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$x=x^2-2$仅含一个变量$x$，是一元二次方程，不是$y$关于$x$的函数，排除；
选项C：$y=x^2-1$符合$y=ax^2+bx+c$的形式，其中$a=1≠0$，$b=0$，$c=-1$，$x$最高次数为2且是整式函数，满足二次函数的全部判定条件；
选项D：$y=\frac{3}{x}$的分母含$x$，是分式函数，属于反比例函数，不符合整式要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义、一次函数的定义、反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢记二次函数的判定要点，同时要注意区分函数与方程、不同类型初等函数的特征，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

2. 二次函数$y=-x^2 -2x +1$的二次项系数是（）

A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$

2. B

【分析】
解题时首先回忆二次函数的基本构成：二次函数的一般形式中，未知数次数为2的项是二次项，二次项的数字因数（包含正负号）就是二次项系数。解题步骤为：先从给出的函数解析式中找出二次项，再提取该项的系数即可，要特别注意不要遗漏项前面的负号。
【解析】
解：二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），其中$a$为二次项系数。
在二次函数$y=-x^2 -2x +1$中，二次项为$-x^2$，它的系数为$-1$，因此该二次函数的二次项系数是$-1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的一般形式；二次项系数识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确识别二次项，尤其要注意不要漏看二次项前面的负号，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.9

3. 若$y=(a-2)x^2 -3x +2$是二次函数，则a的取值范围是（）

A.$a≠0$
B.$a＞0$
C.$a＞2$
D.$a≠2$

3. D

【分析】
判断函数为二次函数的核心是紧扣二次函数的定义，关键要点是：整理后的函数解析式最高次项为二次，且二次项的系数不能为0。本题给出的函数已经是标准形式，只需找到二次项系数，令其不等于0，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
在$y=(a-2)x^2 -3x +2$中，二次项系数为$a-2$，要使该函数为二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$a-2≠0$
解得$a≠2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数定义中“二次项系数不为0”的限制条件，避免忽略该条件导致错误。
【难度系数】
0.9

4. 已知二次函数 $ y = ax^2 - 2c $，当 $ x = 2 $ 时，函数值等于8，则下列关于 $ a,c $ 的关系式中，正确的是（）

A.$ a + c = 8 $
B.$ a - c = 4 $
C.$ a - 2c = 8 $
D.$ 2a - c = 4 $

4. D

【分析】
本题考查利用函数值推导参数间的关系式，解题思路为：根据函数值的定义，将已知的自变量x和对应函数值y代入二次函数解析式，再对得到的等式做简单化简变形，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
已知当$x=2$时，二次函数$y=ax^2-2c$的函数值为8，将$x=2$、$y=8$代入函数解析式，可得：
$8=a×2^2-2c$
整理得：$4a-2c=8$
等式两边同时除以2，化简得：$2a-c=4$
对比选项可知D选项符合推导结果。
【答案】
D
【知识点】
1. 函数值代入求值
2. 等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对自变量与函数值对应关系的理解，只要掌握代入求值的方法，对等式做简单变形即可快速得到答案，是对二次函数基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.9

5. 下列变量具有二次函数关系的是（）

A.正方形的周长$ y $与边长$ x $
B.速度$ v $一定时，路程$ s $与时间$ t $
C.正方形的面积$ y $与边长$ x $
D.三角形的高$ h $一定时，面积$ y $与垂直于高$ h $的底边长$ x $

5. C

【分析】
解题时首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们的解题思路是：先根据每个选项对应的实际意义，列出两个变量之间的函数关系式，再对照二次函数、一次函数的定义逐一判断，最终选出符合二次函数关系的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正方形周长=4×边长，可得函数关系式为$y=4x$，这是正比例函数（属于一次函数），不符合二次函数关系；
B. 路程=速度×时间，速度v为常数，可得函数关系式为$s=vt$，这是正比例函数（属于一次函数），不符合二次函数关系；
C. 正方形面积=边长×边长，可得函数关系式为$y=x^2$，符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a=1≠0$，$b=0$，$c=0$）的形式，属于二次函数关系；
D. 三角形面积=$\frac{1}{2}$×底×高，高h为常数，可得函数关系式为$y=\frac{1}{2}hx$，这是正比例函数（属于一次函数），不符合二次函数关系。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义；函数关系式的列写
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查不同实际情境下函数类型的识别，解题的核心是先根据题意写出变量间的函数表达式，再结合对应函数的定义判定即可，掌握各类函数的定义是得分关键。
【难度系数】
0.9

6. 若函数$y=x^{2m}+x-1$是二次函数，
则$m=$。

6. 1

【分析】
要解这道题，首先要回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，核心特征是最高次项的次数为2，且二次项系数不为0。观察给出的函数$y=x^{2m}+x-1$，其中$x$是一次项，$-1$是常数项，因此要让该函数为二次函数，需让$x^{2m}$这一项为二次项，其次数需等于2，且该项系数为1，天然满足不为0的要求，因此只需列方程求解$m$即可。
【解析】
根据二次函数的定义，二次函数最高次项的次数为2，且二次项系数不为0。
在函数$y=x^{2m}+x-1$中，一次项$x$的次数为1，因此最高次项为$x^{2m}$，可列方程：
$2m=2$
解得$m=1$
此时二次项系数为$1≠0$，符合二次函数的定义要求。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题考查二次函数的基础概念，解题关键是抓住二次函数最高次项次数为2、二次项系数不为0的核心特征，本题中二次项系数天然符合要求，只需根据次数列方程求解即可，属于基础概念题，熟练掌握定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

7. 判断表中的函数是否为二次函数，如果是二次函数，请写出它的二次项系数a，一次项系数b和常数项c。

7.
|函数表达式|是否为二次函数|a|b|c|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|$y=-0.9x^2+2x-3$|是|$-0.9$|2|$-3$|
|$y=2x^2-7$|是|2|0|$-7$|
|$y=-x^2+x$|是|$-1$|1|0|
|$y=(x+1)(x-1)-x^2$|不是|/|/|/|

【分析】
要判断函数是否为二次函数，首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。解题时先将每个函数表达式整理为整式的一般形式，先看最高次项的次数是否为2，再验证二次项系数是否不为0，满足两个条件即为二次函数，再对应提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，缺少某一项时对应系数为0；若化简后无二次项，则不属于二次函数。
【解析】
1. 对于$y=-0.9x^2+2x-3$：已是二次函数一般形式，最高次为2次，且二次项系数$-0.9≠0$，属于二次函数，其中$a=-0.9$，$b=2$，$c=-3$。
2. 对于$y=2x^2-7$：整理为一般形式为$y=2x^2+0x-7$，最高次为2次，二次项系数$2≠0$，属于二次函数，其中$a=2$，$b=0$，$c=-7$。
3. 对于$y=-x^2+x$：整理为一般形式为$y=-x^2+1x+0$，最高次为2次，二次项系数$-1≠0$，属于二次函数，其中$a=-1$，$b=1$，$c=0$。
4. 对于$y=(x+1)(x-1)-x^2$：先化简表达式，利用平方差公式展开得$y=x^2-1-x^2=-1$，化简后无二次项，最高次为0次，不属于二次函数，$a、b、c$无意义。
【答案】
|函数表达式|是否为二次函数|a|b|c|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|$y=-0.9x^2+2x-3$|是|$-0.9$|2|$-3$|
|$y=2x^2-7$|是|2|0|$-7$|
|$y=-x^2+x$|是|$-1$|1|0|
|$y=(x+1)(x-1)-x^2$|不是|/|/|/|
【知识点】
二次函数的定义，二次函数的一般形式，整式的化简
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数的判定方法，解题时需先将函数表达式化简为一般形式再判断，要注意函数缺少一次项或常数项时对应的系数为0，若化简后二次项系数为0，则该函数不是二次函数。
【难度系数】
0.85

8. 已知正方形的边长为3，设边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数表达式为。

8. $y=x^2+6x$

【分析】
解题的核心等量关系为：面积增加量y=边长增加后的正方形面积 - 原正方形面积。思考步骤如下：第一步先确定边长增加x后的新正方形边长；第二步分别计算新正方形和原正方形的面积；第三步代入等量关系作差，最后化简得到y关于x的函数表达式。
【解析】
已知原正方形边长为3，边长增加x后，新正方形的边长为$3+x$。
原正方形的面积为：$3×3=9$
边长增加后新正方形的面积为：$(3+x)^2$
根据面积增加量=新面积-原面积，可得：
$y=(3+x)^2 - 9$
展开并化简：
$y=9+6x+x^2 - 9 = x^2+6x$
【答案】
$y=x^2+6x$
【知识点】
正方形面积计算，列函数关系式，整式化简
【点评】
本题属于基础题，考查根据实际问题的等量关系列函数表达式，解题的关键是找准面积增加量的计算逻辑，展开完全平方公式时注意不要漏项。
【难度系数】
0.9

9. 已知二次函数$y=ax^2+bx-1(a≠0)$中，$x,y$的值满足下表：

(1)求这个二次函数的表达式。
(2)求$m$的值。

9. 解:(1)把$x=-1,y=0;x=2,y=9$分别代入二次函数$y=ax^2+bx-1(a≠0)$,得$\begin{cases} a-b-1=0, \\ 4a+2b-1=9, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=2, \\ b=1, \end{cases}$
所以这个二次函数的表达式为$y=2x^2+x-1$。
(2)当$x=1$时,$m=2+1-1=2$。

【分析】
(1) 要确定二次函数的表达式，已知函数形式为$y=ax^2+bx-1$，仅需求出系数$a$、$b$的值即可。我们可以选取表格中两组已知的$x$、$y$对应值代入函数式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$a$、$b$，进而得到完整的函数表达式。
(2) $m$是$x=1$时对应的函数值，只需将$x=1$代入第一问求出的二次函数表达式中，计算就能得到$m$的值。
【解析】
(1) 把$x=-1,y=0$和$x=2,y=9$分别代入二次函数$y=ax^2+bx-1(a≠0)$，可得：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) -1 = 0 \\a×2^2 + b×2 -1 =9\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a-b-1=0 \\4a+2b-1=9\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$a=b+1$，代入第二个方程得$4(b+1)+2b-1=9$，解得$b=1$，则$a=1+1=2$。
因此这个二次函数的表达式为$y=2x^2+x-1$。
(2) 当$x=1$时，代入$y=2x^2+x-1$计算得：
$m=2×1^2+1-1=2$
【答案】
(1) $y=2x^2+x-1$；(2) $m=2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、二次函数求值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，求出解析式后代入对应自变量值即可得到函数值，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9