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6. 将一张宽度相等的纸条按如图所示的方法折叠一下，则∠1的度数为
65°
。答案
6.$65°$
解析
【分析】
解题时先明确纸条的对边互相平行，结合折叠前后对应角相等的性质梳理角度关系。首先根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得图中130°的角与折叠后两个重合角的和相等；再根据折叠的性质，这两个重合的角都等于∠1，由此建立角度等量关系计算即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ 纸条的上下两条边互相平行
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得折叠后两个重合角的和为130°
又
∵ 折叠前后对应角相等，两个重合的角均等于∠1
∴ $2∠ 1=130°$
∴ $∠ 1=130°÷2=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活中的折叠场景考查角度计算，属于基础常考题，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的性质梳理角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确纸条的对边互相平行，结合折叠前后对应角相等的性质梳理角度关系。首先根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得图中130°的角与折叠后两个重合角的和相等；再根据折叠的性质，这两个重合的角都等于∠1，由此建立角度等量关系计算即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ 纸条的上下两条边互相平行
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得折叠后两个重合角的和为130°
又
∵ 折叠前后对应角相等，两个重合的角均等于∠1
∴ $2∠ 1=130°$
∴ $∠ 1=130°÷2=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活中的折叠场景考查角度计算，属于基础常考题，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的性质梳理角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图,将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D,C分别落在点D',C'的位置,若∠1=40°,则∠D'EF的度数为
65°
。答案
7.$65°$
解析
【分析】
本题属于折叠类角度计算问题，解题思路如下：1. 首先利用折叠的性质，明确折叠前后对应角相等，得到∠D'=∠D=90°、∠DEF=∠D'EF、∠EFC=∠EFC'；2. 结合长方形对边平行的特征，可利用平行线的性质得到角的等量关系；3. 先在含∠1的直角三角形中，用三角形内角和求出∠D'FG的度数，再结合平角定义建立角的等式，求出对应角的度数即可。
【解析】
设D'E与BC的交点为G。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，∠D=90°。
由折叠的性质可得：∠D'=∠D=90°，∠DEF=∠D'EF，∠EFC=∠EFC'。
在△D'GF中，已知∠1=40°，∠D'=90°，根据三角形内角和为180°，得：
∠D'FG=180°-∠D'-∠1=180°-90°-40°=50°。
∵ BC为直线，即∠EFC+∠EFB=180°（平角的定义），
又
∵ ∠EFC'=∠EFB+∠D'FG，且∠EFC=∠EFC'，
∴ 将∠EFC替换为∠EFB+50°代入平角等式，得：
∠EFB+50°+∠EFB=180°，
解得∠EFB=65°。
∵ AD//BC，
∴ ∠DEF=∠EFB（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DEF=65°。
结合折叠性质∠D'EF=∠DEF，得∠D'EF=65°。
【答案】
65°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和
【点评】
本题是平面几何角度计算的常见题型，解题核心是抓住折叠前后对应角不变的特点，结合平行线性质、三角形内角和找到各角之间的数量关系，建立等式求解即可。
【难度系数】
0.7
本题属于折叠类角度计算问题，解题思路如下：1. 首先利用折叠的性质，明确折叠前后对应角相等，得到∠D'=∠D=90°、∠DEF=∠D'EF、∠EFC=∠EFC'；2. 结合长方形对边平行的特征，可利用平行线的性质得到角的等量关系；3. 先在含∠1的直角三角形中，用三角形内角和求出∠D'FG的度数，再结合平角定义建立角的等式，求出对应角的度数即可。
【解析】
设D'E与BC的交点为G。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，∠D=90°。
由折叠的性质可得：∠D'=∠D=90°，∠DEF=∠D'EF，∠EFC=∠EFC'。
在△D'GF中，已知∠1=40°，∠D'=90°，根据三角形内角和为180°，得：
∠D'FG=180°-∠D'-∠1=180°-90°-40°=50°。
∵ BC为直线，即∠EFC+∠EFB=180°（平角的定义），
又
∵ ∠EFC'=∠EFB+∠D'FG，且∠EFC=∠EFC'，
∴ 将∠EFC替换为∠EFB+50°代入平角等式，得：
∠EFB+50°+∠EFB=180°，
解得∠EFB=65°。
∵ AD//BC，
∴ ∠DEF=∠EFB（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DEF=65°。
结合折叠性质∠D'EF=∠DEF，得∠D'EF=65°。
【答案】
65°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和
【点评】
本题是平面几何角度计算的常见题型，解题核心是抓住折叠前后对应角不变的特点，结合平行线性质、三角形内角和找到各角之间的数量关系，建立等式求解即可。
【难度系数】
0.7
8. 如图，已知点A,B,D,E在同一直线上，AD=EB，AC=EF，AC//EF。
求证：BC=DF。
求证：BC=DF。
答案
8. 证明:因为 AD=EB，
所以 AD-BD=EB-BD,即 AB=ED。
因为 AC//EF，
所以∠A=∠E。
在△ABC 和△EDF 中，
$\begin{cases}AB=ED,\\∠A=∠E,\\AC=EF,\end{cases}$
所以△ABC≌△EDF(SAS)，
所以 BC=DF。
所以 AD-BD=EB-BD,即 AB=ED。
因为 AC//EF，
所以∠A=∠E。
在△ABC 和△EDF 中，
$\begin{cases}AB=ED,\\∠A=∠E,\\AC=EF,\end{cases}$
所以△ABC≌△EDF(SAS)，
所以 BC=DF。
解析
【分析】
要证明BC=DF，可通过证明两条线段所在的△ABC和△EDF全等来推导。首先根据已知AD=EB，两边同时减去公共线段BD，即可得到一组对应边AB=ED；再由AC//EF，利用平行线的内错角相等，得到一组对应角∠A=∠E；结合题目给出的AC=EF，即可通过SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等，就能得到BC=DF。
【解析】
证明:
因为 AD=EB，
所以 AD-BD=EB-BD，即 AB=ED。
因为 AC//EF，
所以∠A=∠E。
在△ABC 和△EDF 中：
$\begin{cases}AB=ED,\\∠A=∠E,\\AC=EF\end{cases}$
所以△ABC≌△EDF（SAS），
所以 BC=DF。
【答案】
BC=DF
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心考查全等三角形相关知识的应用，解题时需要先从已知条件出发，推导得到三角形全等所需的边角条件，再利用全等的性质得到待证的线段相等，能有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明BC=DF，可通过证明两条线段所在的△ABC和△EDF全等来推导。首先根据已知AD=EB，两边同时减去公共线段BD，即可得到一组对应边AB=ED；再由AC//EF，利用平行线的内错角相等，得到一组对应角∠A=∠E；结合题目给出的AC=EF，即可通过SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等，就能得到BC=DF。
【解析】
证明:
因为 AD=EB，
所以 AD-BD=EB-BD，即 AB=ED。
因为 AC//EF，
所以∠A=∠E。
在△ABC 和△EDF 中：
$\begin{cases}AB=ED,\\∠A=∠E,\\AC=EF\end{cases}$
所以△ABC≌△EDF（SAS），
所以 BC=DF。
【答案】
BC=DF
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心考查全等三角形相关知识的应用，解题时需要先从已知条件出发，推导得到三角形全等所需的边角条件，再利用全等的性质得到待证的线段相等，能有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
9. 已知直线$AB// CD$，$P$为平面内一点，连接$PA$，$PD$。
(1)如图①，若$∠ A=50°$，$∠ D=150°$，求$∠ P$的度数。
(2)如图②，点$P$在$AB$上方，则$∠ A$，$∠ D$，$∠ APD$之间有何数量关系？请说明理由。
(1)如图①，若$∠ A=50°$，$∠ D=150°$，求$∠ P$的度数。
(2)如图②，点$P$在$AB$上方，则$∠ A$，$∠ D$，$∠ APD$之间有何数量关系？请说明理由。
答案
9. 解:(1)过点 P 作 PE//AB,如图①
。所以∠A=∠APE=50°。
因为 AB//CD，
所以 PE//CD，
所以∠EPD+∠CDP=180°。
因为∠D=150°，
所以∠EPD=30°，
所以∠APD=∠APE+∠EPD=
50°+30°=80°。
(2)∠A,∠D,∠APD之间的数量关系：
∠BAP+∠D-∠P=180°。
理由:延长 BA 交 PD 于点 E,如图②
。因为 AB//CD，
所以∠BED=∠D。
因为∠BED+∠PEB=180°，
所以∠PEB=180°-∠D，
所以∠BAP=180°-∠PAE=180°-
(180°-∠P-∠BEP)=∠P+∠BEP=
∠P+180°-∠D，
即∠BAP+∠D-∠P=180°。
解析
【分析】
(1) 图①属于平行线间的拐点类问题，解题思路为过拐点P作AB的平行线，将待求的∠APD拆分为两个角，再分别利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质计算两个角的度数，相加即可得到∠P的度数。
(2) 图②中点P在AB上方，解题思路为延长BA交PD于一点，构造三角形与平行线的同位角关系，结合平行线的性质和三角形内角和相关知识，即可推导出∠A、∠D、∠APD的数量关系。
【解析】
(1) 过点 P 作 PE//AB,如图①。
所以∠A=∠APE=50°。
因为 AB//CD，
所以 PE//CD，
所以∠EPD+∠CDP=180°。
因为∠D=150°，
所以∠EPD=30°，
所以∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°。
(2) ∠A,∠D,∠APD之间的数量关系：∠BAP+∠D-∠APD=180°。
理由:延长 BA 交 PD 于点 E,如图②。
因为 AB//CD，
所以∠BED=∠D。
因为∠BED+∠PEB=180°，
所以∠PEB=180°-∠D，
所以∠BAP=180°-∠PAE=180°-(180°-∠APD-∠PEB)=∠APD+∠PEB=∠APD+180°-∠D，
即∠BAP+∠D-∠APD=180°。
【答案】
(1) ∠P的度数为80°；
(2) 数量关系为$\boldsymbol{∠BAP+∠D-∠APD=180°}$，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质，辅助线构造，三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，针对不同位置的拐点，选择过拐点作平行线、延长线段构造角的关系是解题的核心，能很好地考查对平行线性质的灵活运用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
(1) 图①属于平行线间的拐点类问题，解题思路为过拐点P作AB的平行线，将待求的∠APD拆分为两个角，再分别利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质计算两个角的度数，相加即可得到∠P的度数。
(2) 图②中点P在AB上方，解题思路为延长BA交PD于一点，构造三角形与平行线的同位角关系，结合平行线的性质和三角形内角和相关知识，即可推导出∠A、∠D、∠APD的数量关系。
【解析】
(1) 过点 P 作 PE//AB,如图①
。所以∠A=∠APE=50°。
因为 AB//CD，
所以 PE//CD，
所以∠EPD+∠CDP=180°。
因为∠D=150°，
所以∠EPD=30°，
所以∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°。
(2) ∠A,∠D,∠APD之间的数量关系：∠BAP+∠D-∠APD=180°。
理由:延长 BA 交 PD 于点 E,如图②
。因为 AB//CD，
所以∠BED=∠D。
因为∠BED+∠PEB=180°，
所以∠PEB=180°-∠D，
所以∠BAP=180°-∠PAE=180°-(180°-∠APD-∠PEB)=∠APD+∠PEB=∠APD+180°-∠D，
即∠BAP+∠D-∠APD=180°。
【答案】
(1) ∠P的度数为80°；
(2) 数量关系为$\boldsymbol{∠BAP+∠D-∠APD=180°}$，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质，辅助线构造，三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，针对不同位置的拐点，选择过拐点作平行线、延长线段构造角的关系是解题的核心，能很好地考查对平行线性质的灵活运用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
