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【例1】若$m＞n$，则下列不等式正确的是 （）
A.$m-2 ＜ n-2$
B.$-\dfrac{1}{2}m ＞ -\dfrac{1}{2}n$
C.$n - m ＞ 0$
D.$1 - 2m ＜ 1 - 2n$
A.$m-2 ＜ n-2$
B.$-\dfrac{1}{2}m ＞ -\dfrac{1}{2}n$
C.$n - m ＞ 0$
D.$1 - 2m ＜ 1 - 2n$
答案
D
解析
根据不等式的基本性质逐一判断：
1. 对A：已知$m＞n$，两边同时减2，不等号方向不变，得$m-2＞n-2$，A错误；
2. 对B：已知$m＞n$，两边同时乘负数$-\frac{1}{2}$，不等号方向改变，得$-\frac{1}{2}m＜-\frac{1}{2}n$，B错误；
3. 对C：已知$m＞n$，移项得$n-m＜0$，C错误；
4. 对D：已知$m＞n$，两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得$-2m＜-2n$，再两边同时加1，不等号方向不变，得$1-2m＜1-2n$，D正确。
1. 对A：已知$m＞n$，两边同时减2，不等号方向不变，得$m-2＞n-2$，A错误；
2. 对B：已知$m＞n$，两边同时乘负数$-\frac{1}{2}$，不等号方向改变，得$-\frac{1}{2}m＜-\frac{1}{2}n$，B错误；
3. 对C：已知$m＞n$，移项得$n-m＜0$，C错误；
4. 对D：已知$m＞n$，两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得$-2m＜-2n$，再两边同时加1，不等号方向不变，得$1-2m＜1-2n$，D正确。
练习1 若$m＞n$，且$am＜an$，则$a$的取值应满足的条件是 （）
A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$a=0$
D.$a≥0$
A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$a=0$
D.$a≥0$
答案
B
解析
根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以同一个数，若不等号的方向发生改变，则所乘的这个数是负数。已知$m＞n$，两边同乘$a$后得到$am＜an$，不等号方向反向，因此可得$a＜0$。
【例2】解不等式：$\dfrac{2x}{3}+\dfrac{1}{2}≥\dfrac{1}{2}x$，并在数轴上表示其解集.
答案
解：
去分母，不等式两边同时乘以6，得：
$4x + 3 ≥ 3x$
移项，得：
$4x - 3x ≥ -3$
合并同类项，得：
$x ≥ -3$
解集在数轴上的表示：在数轴上对应-3的位置画实心圆点，再从该点出发沿数轴向右画射线，所得图形即为该不等式的解集。
去分母，不等式两边同时乘以6，得：
$4x + 3 ≥ 3x$
移项，得：
$4x - 3x ≥ -3$
合并同类项，得：
$x ≥ -3$
解集在数轴上的表示：在数轴上对应-3的位置画实心圆点，再从该点出发沿数轴向右画射线，所得图形即为该不等式的解集。
练习2把不等式$x-1＜2$的解集在数轴上表示出来，正确的是（
）
）答案
$\boldsymbol{D}$
解析
解：对不等式$x-1＜2$移项，得
$x＜2+1$
即$x＜3$。
将解集$x＜3$在数轴上表示时，在数3对应的点处画空心圆圈，折线方向向左，符合该特征的是选项D。
$x＜2+1$
即$x＜3$。
将解集$x＜3$在数轴上表示时，在数3对应的点处画空心圆圈，折线方向向左，符合该特征的是选项D。
【例3】解不等式组：$\begin{cases} 3x ＞ -8 - x ①, \\ 2(x - 1) ≤ 6 ②. \end{cases}$
答案
解：
解不等式①，移项得：$3x + x ＞ -8$，
合并同类项得：$4x ＞ -8$，
系数化为1得：$x ＞ -2$。
解不等式②，去括号得：$2x - 2 ≤ 6$，
移项得：$2x ≤ 6 + 2$，
合并同类项得：$2x ≤ 8$，
系数化为1得：$x ≤ 4$。
所以原不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 4$。
解不等式①，移项得：$3x + x ＞ -8$，
合并同类项得：$4x ＞ -8$，
系数化为1得：$x ＞ -2$。
解不等式②，去括号得：$2x - 2 ≤ 6$，
移项得：$2x ≤ 6 + 2$，
合并同类项得：$2x ≤ 8$，
系数化为1得：$x ≤ 4$。
所以原不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 4$。
练习3关于$x$的不等式组$\begin{cases}-\dfrac{1}{3}x ＞ \dfrac{2}{3} - x, \\ \dfrac{1}{2}x - 1 ＜ \dfrac{1}{2}(a - 2)\end{cases}$有且只有3个整数解，则$a$的最大值是（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$-\dfrac{1}{3}x＞\dfrac{2}{3}-x$：
两边同乘3得$-x＞2-3x$，移项合并得$2x＞2$，解得$x＞1$。
2. 解不等式$\dfrac{1}{2}x-1＜\dfrac{1}{2}(a-2)$：
两边同乘2得$x-2＜a-2$，化简得$x＜a$。
因此不等式组的解集为$1＜x＜a$。
已知不等式组有且只有3个整数解，这3个整数解只能是2、3、4，由此可得$4＜a≤5$，即$a$的最大值是5。
1. 解不等式$-\dfrac{1}{3}x＞\dfrac{2}{3}-x$：
两边同乘3得$-x＞2-3x$，移项合并得$2x＞2$，解得$x＞1$。
2. 解不等式$\dfrac{1}{2}x-1＜\dfrac{1}{2}(a-2)$：
两边同乘2得$x-2＜a-2$，化简得$x＜a$。
因此不等式组的解集为$1＜x＜a$。
已知不等式组有且只有3个整数解，这3个整数解只能是2、3、4，由此可得$4＜a≤5$，即$a$的最大值是5。
