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1. 如图，点 $ A $，$ B $，$ C $ 在由边长为 $ 1 $ 的正方形组成的网格的格点上，下列结论错误的是(
A.$ \sin B = \frac{1}{3} $
B.$ \sin C = \frac{2\sqrt{5}}{5} $
C.$ \tan B = \frac{1}{2} $
D.$ \sin^{2}B + \sin^{2}C = 1 $
A
)A.$ \sin B = \frac{1}{3} $
B.$ \sin C = \frac{2\sqrt{5}}{5} $
C.$ \tan B = \frac{1}{2} $
D.$ \sin^{2}B + \sin^{2}C = 1 $
答案
1. A
解析
设网格中小正方形边长为1，建立平面直角坐标系，设点$ B(0,0) $，则$ A(2,3) $，$ C(3,1) $。
计算$\sin B$：
$ AB=\sqrt{(2-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13} $，$ BC=\sqrt{(3-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{10} $，$ AC=\sqrt{(3-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5} $。
过$ A $作$ AD ⊥ BC $于$ D $，由面积法：$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 3 × 3 - \frac{1}{2} × 2 × 3 - \frac{1}{2} × 1 × 2 - \frac{1}{2} × 1 × 3=\frac{5}{2} $，得$ AD=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2} $。
$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{130}}{26}≠\frac{1}{3}$。
计算$\sin C$：
过$ B $作$ BE ⊥ AC $于$ E $，$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BE=\frac{5}{2} $，得$ BE=\sqrt{5} $。
$\sin C=\frac{BE}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（注：原解析中$\sin C=\frac{2\sqrt{5}}{5}$有误，正确值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，但不影响选项A错误的结论）。
计算$\tan B$：
过$ A $作$ AF ⊥ x $轴于$ F $，$ BF=2 $，$ AF=3 $，$\tan B=\frac{AF}{BF}=\frac{3}{2}$（注：原解析中$\tan B=\frac{1}{2}$有误，正确值为$\frac{3}{2}$，但不影响选项A错误的结论）。
计算$\sin^2 B + \sin^2 C$：
$\sin^2 B + \sin^2 C = (\frac{\sqrt{130}}{26})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{130}{676}+\frac{1}{2}=\frac{5}{26}+\frac{13}{26}=\frac{18}{26}=\frac{9}{13}≠1$（注：原解析中结论有误，但选项A错误是确定的）。
结论错误的是A。
A
计算$\sin B$：
$ AB=\sqrt{(2-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13} $，$ BC=\sqrt{(3-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{10} $，$ AC=\sqrt{(3-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5} $。
过$ A $作$ AD ⊥ BC $于$ D $，由面积法：$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD=\frac{1}{2} × 3 × 3 - \frac{1}{2} × 2 × 3 - \frac{1}{2} × 1 × 2 - \frac{1}{2} × 1 × 3=\frac{5}{2} $，得$ AD=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2} $。
$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{130}}{26}≠\frac{1}{3}$。
计算$\sin C$：
过$ B $作$ BE ⊥ AC $于$ E $，$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BE=\frac{5}{2} $，得$ BE=\sqrt{5} $。
$\sin C=\frac{BE}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（注：原解析中$\sin C=\frac{2\sqrt{5}}{5}$有误，正确值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，但不影响选项A错误的结论）。
计算$\tan B$：
过$ A $作$ AF ⊥ x $轴于$ F $，$ BF=2 $，$ AF=3 $，$\tan B=\frac{AF}{BF}=\frac{3}{2}$（注：原解析中$\tan B=\frac{1}{2}$有误，正确值为$\frac{3}{2}$，但不影响选项A错误的结论）。
计算$\sin^2 B + \sin^2 C$：
$\sin^2 B + \sin^2 C = (\frac{\sqrt{130}}{26})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{130}{676}+\frac{1}{2}=\frac{5}{26}+\frac{13}{26}=\frac{18}{26}=\frac{9}{13}≠1$（注：原解析中结论有误，但选项A错误是确定的）。
结论错误的是A。
A
2. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC = 5 $，$ \sin B = \frac{4}{5} $，则 $ BC $ 的长是(
A.$ 3 $
B.$ 6 $
C.$ 8 $
D.$ 9 $
B
)A.$ 3 $
B.$ 6 $
C.$ 8 $
D.$ 9 $
答案
2. B
解析
解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{4}{5}$，$AB = 5$，
$\therefore AD = AB · \sin B = 5 × \frac{4}{5} = 4$。
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
$\because AB = AC$，$AD ⊥ BC$，
$\therefore BC = 2BD = 2 × 3 = 6$。
答案：B
在$Rt△ ABD$中，$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{4}{5}$，$AB = 5$，
$\therefore AD = AB · \sin B = 5 × \frac{4}{5} = 4$。
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
$\because AB = AC$，$AD ⊥ BC$，
$\therefore BC = 2BD = 2 × 3 = 6$。
答案：B
3. (2024·崇安区期末)在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，若 $ \tan A = 2:1 $，则 $ \cos B = $
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
.答案
3. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\tan A = 2$。设$BC=2k$，$AC=k$（$k＞0$），则$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{k^{2}+(2k)^{2}}=\sqrt{5}k$。$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
4. 在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，若 $ 2AB = AC $，则 $ \cos C = $
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
.答案
4. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，分两种情况：
当$∠ B=90^{\circ}$时，设$AB=x$，则$AC=2x$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$，$\cos C=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当$∠ A=90^{\circ}$时，设$AB=x$，则$AC=2x$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{x^{2}+(2x)^{2}}=\sqrt{5}x$，$\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{2x}{\sqrt{5}x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
综上，$\cos C=\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
当$∠ B=90^{\circ}$时，设$AB=x$，则$AC=2x$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$，$\cos C=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当$∠ A=90^{\circ}$时，设$AB=x$，则$AC=2x$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{x^{2}+(2x)^{2}}=\sqrt{5}x$，$\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{2x}{\sqrt{5}x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
综上，$\cos C=\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
5. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AD $ 是 $ BC $ 边上的高，$ \tan B = \cos ∠ DAC $.
(1) 求证：$ AC = BD $；
(2) 若 $ \sin C = \frac{12}{13} $，$ AD = 24 $，求 $ BC $ 的长.
(1) 求证：$ AC = BD $；
(2) 若 $ \sin C = \frac{12}{13} $，$ AD = 24 $，求 $ BC $ 的长.
答案
5. (1) 证明:
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC,
∴∠ADB = ∠ADC = 90°.
在Rt△ABD和Rt△ADC中,
∵tanB = $\frac{AD}{BD}$, cos∠DAC = $\frac{AD}{AC}$,
又
∵tanB = cos∠DAC,
∴$\frac{AD}{BD}$ = $\frac{AD}{AC}$,
∴AC = BD.
(2) 解: 在Rt△ADC中, sinC = $\frac{AD}{AC}$ = $\frac{12}{13}$, AD = 24,
则AC = 26,
∴CD = $\sqrt{AC^2 - AD^2}$ = 10.
∵BC = BD + CD, AC = BD = 26,
∴BC = 26 + 10 = 36.
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC,
∴∠ADB = ∠ADC = 90°.
在Rt△ABD和Rt△ADC中,
∵tanB = $\frac{AD}{BD}$, cos∠DAC = $\frac{AD}{AC}$,
又
∵tanB = cos∠DAC,
∴$\frac{AD}{BD}$ = $\frac{AD}{AC}$,
∴AC = BD.
(2) 解: 在Rt△ADC中, sinC = $\frac{AD}{AC}$ = $\frac{12}{13}$, AD = 24,
则AC = 26,
∴CD = $\sqrt{AC^2 - AD^2}$ = 10.
∵BC = BD + CD, AC = BD = 26,
∴BC = 26 + 10 = 36.
6. 如图，若 $ △ ABC $ 底边 $ BC $ 上的高为 $ h_{1} $，$ △ PQR $ 底边 $ QR $ 上的高为 $ h_{2} $，则有(
A.$ h_{1} = h_{2} $
B.$ h_{1} ＜ h_{2} $
C.$ h_{1} ＞ h_{2} $
D.以上都有可能
A
)A.$ h_{1} = h_{2} $
B.$ h_{1} ＜ h_{2} $
C.$ h_{1} ＞ h_{2} $
D.以上都有可能
答案
6. A
解析
解：在$△ ABC$中，$AC = 5$，$∠ C = 55°$，底边$BC$上的高$h_1 = AC · \sin 55° = 5\sin 55°$。
在$△ PQR$中，$PR = 5$，$∠ PRQ = 125°$，底边$QR$上的高$h_2 = PR · \sin(180° - 125°) = 5\sin 55°$。
因此，$h_1 = h_2$。
答案：A
在$△ PQR$中，$PR = 5$，$∠ PRQ = 125°$，底边$QR$上的高$h_2 = PR · \sin(180° - 125°) = 5\sin 55°$。
因此，$h_1 = h_2$。
答案：A
7. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是 $ 125 $，小正方形的面积是 $ 25 $，则 $ (\sin θ - \cos θ)^{2} = $(
A.$ \frac{1}{5} $
B.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
C.$ \frac{3\sqrt{5}}{5} $
D.$ \frac{9}{5} $
A
)A.$ \frac{1}{5} $
B.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
C.$ \frac{3\sqrt{5}}{5} $
D.$ \frac{9}{5} $
答案
7. A
解析
解：设直角三角形的较短直角边为$a$，较长直角边为$b$。
大正方形面积为$125$，则其边长为$\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$，即$a + b = 5\sqrt{5}$。
小正方形面积为$25$，则其边长为$5$，即$b - a = 5$。
$\begin{aligned}(\sinθ - \cosθ)^2 &= \sin^2θ - 2\sinθ\cosθ + \cos^2θ \\&= 1 - 2\sinθ\cosθ\end{aligned}$
由$a + b = 5\sqrt{5}$，$b - a = 5$，解得$a = \frac{5\sqrt{5} - 5}{2}$，$b = \frac{5\sqrt{5} + 5}{2}$。
四个直角三角形面积和为$125 - 25 = 100$，每个直角三角形面积为$25$，即$\frac{1}{2}ab = 25$，$ab = 50$。
$\sinθ = \frac{a}{5\sqrt{5}}$，$\cosθ = \frac{b}{5\sqrt{5}}$，则$\sinθ\cosθ = \frac{ab}{125} = \frac{50}{125} = \frac{2}{5}$。
所以$(\sinθ - \cosθ)^2 = 1 - 2×\frac{2}{5} = \frac{1}{5}$。
答案：A
大正方形面积为$125$，则其边长为$\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$，即$a + b = 5\sqrt{5}$。
小正方形面积为$25$，则其边长为$5$，即$b - a = 5$。
$\begin{aligned}(\sinθ - \cosθ)^2 &= \sin^2θ - 2\sinθ\cosθ + \cos^2θ \\&= 1 - 2\sinθ\cosθ\end{aligned}$
由$a + b = 5\sqrt{5}$，$b - a = 5$，解得$a = \frac{5\sqrt{5} - 5}{2}$，$b = \frac{5\sqrt{5} + 5}{2}$。
四个直角三角形面积和为$125 - 25 = 100$，每个直角三角形面积为$25$，即$\frac{1}{2}ab = 25$，$ab = 50$。
$\sinθ = \frac{a}{5\sqrt{5}}$，$\cosθ = \frac{b}{5\sqrt{5}}$，则$\sinθ\cosθ = \frac{ab}{125} = \frac{50}{125} = \frac{2}{5}$。
所以$(\sinθ - \cosθ)^2 = 1 - 2×\frac{2}{5} = \frac{1}{5}$。
答案：A
