9. 如图,⊙O 的半径为 5,点 P 在⊙O 上,点 A 在⊙O 内,且 AP=3,过点 A 作 AP 的垂线交⊙O 于点 B,C.设 PB=x,PC=y,则 y 与 x 的函数表达式为.

9.y=$\frac{30}{x}$

证明：连接PO并延长交⊙O于点D，连接BD。
∵PD是⊙O的直径，
∴∠PBD=90°。
∵PA⊥BC，
∴∠PAC=90°，
∴∠PBD=∠PAC。
∵∠PDB=∠PCA（同弧所对的圆周角相等），
∴△PBD∽△PAC，
∴$\frac{PB}{PA}=\frac{PD}{PC}$。
∵⊙O的半径为5，
∴PD=10。
∵AP=3，PB=x，PC=y，
∴$\frac{x}{3}=\frac{10}{y}$，
∴xy=30，
∴y=$\frac{30}{x}$。
故答案为：y=$\frac{30}{x}$

10. 如图,在△ABC 和△DEF 中,已知∠A=∠D=70°,∠B=50°,∠E=30°,作直线 l 和直线 m,使直线 l 将△ABC 分成两个小三角形,使直线 m 将△DEF 分成两个小三角形,并使△ABC 分成的两个小三角形与△DEF 分成的两个小三角形分别相似.(画一种分割方法即可,标出小三角形中各内角的度数)

10.解:如答图所示.(答案不唯一)

11. (2023·常德)如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 是直径,C 是$\overset{\LARGE{\frown}}{BD}$的中点,过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E.
(1)求证:CE 是⊙O 的切线;
(2)若 BC=6,AC=8,求 CE,DE 的长.

11.(1)证明:如答图，连接OC.
∵OA = OC,
∴∠OAC = ∠OCA.
∵C是$\overset{\frown}{BD}$的中点,
∴∠OAC = ∠CAE,
∴∠CAE = ∠OCA,
∴OC//AE.
∵AE⊥CE,
∴OC⊥CE.
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线.
　(2)解:
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB = 90°.
∵BC = 6,AC = 8,
∴AB = $\sqrt{BC^{2} + AC^{2}}$ = $\sqrt{6^{2} + 8^{2}}$ = 10.
　又
∵∠CAE = ∠BAC,∠AEC = ∠ACB = 90°,
∴△AEC∽△ACB,
∴$\frac{EC}{CB}$ = $\frac{AC}{AB}$,即$\frac{EC}{6}$ = $\frac{8}{10}$,
∴EC = $\frac{24}{5}$.
∵C是$\overset{\frown}{BD}$的中点,即$\overset{\frown}{BC}$ = $\overset{\frown}{CD}$,
∴CD = BC = 6,
∴DE = $\sqrt{CD^{2} - EC^{2}}$ = $\sqrt{6^{2} - (\frac{24}{5})^{2}}$ = $\frac{18}{5}$.
　　　　　　　　

12. 如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E 为△ABC 内一点,∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAD,连接 DE,求证:DE//AC.

12.证明:如答图，延长BE交AC于点F.
　　　　　　　
∵∠ABE = ∠C,∠BAE = ∠CAD,
∴△ABE∽△ACD,
∴$\frac{BE}{CD}$ = $\frac{AE}{AD}$.
∵∠BAE = ∠CAD,
∴∠BAE + ∠DAE = ∠CAD + ∠DAE,
∴∠BAD = ∠FAE.
∵∠AEF = ∠ABE + ∠BAE,∠ADB = ∠CAD + ∠C,
∴∠AEF = ∠ADB,
∴△EAF∽△DAB,
∴$\frac{EF}{BD}$ = $\frac{AE}{AD}$,
∴$\frac{BE}{CD}$ = $\frac{EF}{BD}$.
∵D是BC的中点,
∴CD = BD,
∴BE = EF,
∴DE//AC.