1. (2024·通州区月考)如图,在$△ ABC$中,$AB = 24$,$AC = 18$,$D$是$AC$上一点,$AD = 12$.在$AB$上取一点$E$,使$△ ADE$与$△ ABC$相似,则$AE$的长为()

A.16
B.14
C.16 或 14
D.16 或 9

1. D

证明：
∵△ADE与△ABC相似，∠A为公共角，分两种情况：
情况1： 当△ADE∽△ABC时，
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∵AD=12，AB=24，AC=18，
∴$\frac{12}{24}=\frac{AE}{18}$，
解得$AE=9$。
情况2： 当△AED∽△ABC时，
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∵AD=12，AC=18，AB=24，
∴$\frac{12}{18}=\frac{AE}{24}$，
解得$AE=16$。
综上，AE的长为16或9。
答案：D

2. (2024·常熟期中)如图,在$△ ABC$中,点$D$在$AC$边上,$AD:DC = 1:3$,$BO:DO = 1:2$,连接$AO$并延长交$BC$于点$E$,则$BE:EC =$.

2. $ 1:8 $

解：过点$D$作$DF // AE$交$BC$于点$F$。
因为$DF // AE$，所以$\frac{BO}{DO}=\frac{BE}{EF}=\frac{1}{2}$，设$BE = x$，则$EF = 2x$。
因为$AD:DC = 1:3$，$DF // AE$，所以$\frac{CF}{EF}=\frac{CD}{AD}=3$，则$CF = 3EF = 6x$。
所以$EC = EF + FC = 2x + 6x = 8x$，故$BE:EC = x:8x = 1:8$。
$1:8$

3. 如图,在$△ ABC$中,点$D$,$E$分别在边$AB$,$AC$上,$∠ AED = ∠ B$,射线$AG$分别交线段$DE$,$BC$于点$F$,$G$,且$\frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG}$.
(1)求证:$△ ADF ∽ △ ACG$;
(2)若$AC = 3AD$,求$\frac{AF}{FG}$的值.

3. (1) 证明: $ \because ∠ AED = ∠ B, ∠ BAC = ∠ EAD $,
$ \therefore ∠ ADE = ∠ C $.
$ \because \frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG}, \therefore △ ADF ∼ ACG $.
(2) 解: 由(1)可知 $ △ ADF ∼ △ ACG, \therefore \frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG} = \frac{AF}{AG} $.
$ \because AC = 3AD, \therefore \frac{AD}{AC} = \frac{AF}{AG} = \frac{1}{3}, \therefore AG = 3AF $,
$ \therefore FG = AG - AF = 2AF, \therefore \frac{AF}{FG} = \frac{1}{2} $.

4. (2023·雅安)如图,在$□ ABCD$中,$F$是$AD$上一点,$CF$交$BD$于点$E$,$CF$的延长线交$BA$的延长线于点$G$,$EF = 1$,$EC = 3$,则$GF$的长为()

A.4
B.6
C.8
D.10

4. C

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AB// CD$，$AB = CD$。
第一步：证$△ DEF ∼ △ BEC$
∵$AD// BC$，
∴$∠ FDE=∠ CBE$，$∠ DFE=∠ BCE$，
∴$△ DEF ∼ △ BEC$，
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{EF}{EC}=\frac{1}{3}$，设$DF = x$，则$BC = 3x$。
∵$AD = BC = 3x$，
∴$AF=AD - DF=3x - x=2x$。
第二步：证$△ GAF ∼ △ GBC$
∵$AD// BC$，
∴$∠ GAF=∠ GBC$，$∠ AFG=∠ BCG$，
∴$△ GAF ∼ △ GBC$，
∴$\frac{GF}{GC}=\frac{AF}{BC}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$。
设$GF = 2k$，则$GC=3k$，
∵$GC=GF + FE + EC=2k + 1 + 3=2k + 4$，
∴$3k=2k + 4$，解得$k = 4$，
∴$GF=2k=8$。
答案：$\boxed{C}$

5. (2024·宜兴一模)如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 4$,$BC = 5$,$E$为$BC$边延长线上一点,且$CE = 3$.连接$AE$交边$CD$于点$F$,过点$D$作$DH ⊥ AE$于点$H$,则$DH =$.

5. $ \sqrt{5} $

解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AB // CD$，$AD = BC = 5$，$CD = AB = 4$，$∠ DAB = 90°$。
∵ $E$ 在 $BC$ 延长线上，$CE = 3$，
∴ $BE = BC + CE = 5 + 3 = 8$。
∵ $AB // CD$，
∴ $△ ECF ∼ △ EBA$，
∴ $\frac{CF}{AB} = \frac{CE}{BE}$，即 $\frac{CF}{4} = \frac{3}{8}$，解得 $CF = \frac{3}{2}$。
∴ $DF = CD - CF = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，$AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。
∵ $DH ⊥ AE$，
∴ $S_{△ ADE} = \frac{1}{2} · AE · DH = \frac{1}{2} · AD · CD$，
即 $\frac{1}{2} · 4\sqrt{5} · DH = \frac{1}{2} · 5 · 4$，
解得 $DH = \sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$