12. (★★)如图$21 - 1$,一农户要建一个矩形鸡舍,鸡舍的一边利用长为$12 m$的住房墙,另外三边用$25 m$长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个$1 m$宽的门。所围矩形鸡舍的长、宽分别为多少时,鸡舍面积为$80 m^{2}$？
]

长为$10m$，宽为$8m$。

设垂直于住房墙的边长为$x$米（宽），平行于住房墙的边长为$y$米（长）。
由题意得：
建筑材料总长：$2x - 1 + y = 25$，即$y = 26 - 2x$；
面积：$x \cdot y = 80$。
将$y = 26 - 2x$代入面积公式：
$x(26 - 2x) = 80$，
整理得：$x^2 - 13x + 40 = 0$，
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = 5$。
当$x = 8$时，$y = 26 - 2×8 = 10$，$10 \leq 12$（符合墙长限制）；
当$x = 5$时，$y = 26 - 2×5 = 16$，$16 ＞ 12$（舍去）。
故所围矩形鸡舍的长为$10$米，宽为$8$米。

13. (★)下列命题正确的是 【】
A.$x^{2} - 6x = 0$不是一元二次方程
B.把一元二次方程$(2x - 1)^{2} = 3x - 7化成一般形式为(2x - 1)^{2} - 3x - 7 = 0$
C.$x^{2} = 5的两个根是\sqrt{5}和-\sqrt{5}$
D.$2x^{2} - 1 = 0$不是一元二次方程

C

A选项：$x^{2} - 6x = 0$ 是一个一元二次方程，因为它满足一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0的整式方程），所以A选项错误。
B选项：将方程 $(2x - 1)^{2} = 3x - 7$ 化为一般形式，应得到 $(2x - 1)^{2} - 3x + 7 = 0$，即$4x^{2} - 4x -3x+1+7=0$，即$4x^{2} - 7x + 8 = 0$，与B选项给出的 $(2x - 1)^{2} - 3x - 7 = 0$ 不符，所以B选项错误。
C选项：方程 $x^{2} = 5$ 的解为 $x = \sqrt{5}$ 或 $x = -\sqrt{5}$，这与C选项的描述一致，所以C选项正确。
D选项：$2x^{2} - 1 = 0$ 是一个一元二次方程，因为它满足一元二次方程的定义，所以D选项错误。

14. (★★)(2023·绵阳)若$x = 3是关于x的一元二次方程x^{2} - \frac{5}{3}ax - a^{2} = 0(a ＞ 0)$的一个根,则下列对$a$的值估计正确的是 【】
A.$\frac{1}{2} ＜ a ＜ 1$
B.$1 ＜ a ＜ \frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2} ＜ a ＜ 2$
D.$2 ＜ a ＜ \frac{5}{2}$

B

将$x=3$代入方程$x^{2}-\frac{5}{3}ax - a^{2}=0$，得$3^{2}-\frac{5}{3}a×3 - a^{2}=0$，化简得$9 - 5a - a^{2}=0$，即$a^{2}+5a - 9=0$。解得$a=\frac{-5\pm\sqrt{25 + 36}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{2}$，因为$a＞0$，所以$a=\frac{-5+\sqrt{61}}{2}$。由于$\sqrt{49}=7$，$\sqrt{64}=8$，所以$7＜\sqrt{61}＜8$，则$2＜\frac{-5+\sqrt{61}}{2}＜\frac{3}{2}$，即$1＜a＜\frac{3}{2}$。

15. (★★)若一元二次方程$x^{2} - (a + 2)x + 2a = 0的两个实数根分别是3$,$b$,则$a + b = $。

5

根据题意，方程 $x^{2} - (a + 2)x + 2a = 0$ 的两个实数根分别是 $3$ 和 $b$。
根据一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）可得：
$\begin{cases}3 + b = a + 2, \\3b = 2a.\end{cases}$
由$3 + b = a + 2$，可得$a = b + 1$，
将$a = b + 1$代入$3b = 2a$中，可得：
$3b = 2(b + 1)$，
$3b = 2b + 2$，
$3b - 2b = 2$，
$b = 2$，
将$b = 2$代入$a = b + 1$，可得：
$a = 2 + 1$，
$a = 3$，
所以，$a + b = 3 + 2 = 5$。

16. (★★)写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：。

$x^2 - 1 = 0$

设一元二次方程为$x^2 + bx + c = 0$，根据韦达定理，两根之积为$c$。要使两实数根符号相反，则两根之积$c ＜ 0$。
取$c = -1$，$b = 0$，则方程为$x^2 - 1 = 0$。
此时方程的根为$x_1 = 1$，$x_2 = -1$，符号相反，符合题意。

17. (★)用配方法解方程$x^{2} + 6x + 6 = 0$时,配方后的结果为 【】
A.$(x + 6)^{2} = 3$
B.$(x + 3)^{2} = 0$
C.$(x + 3)^{2} = 3$
D.$(x + 3)^{2} = -3$

C

原方程为$x^{2} + 6x + 6 = 0$，移项得$x^{2} + 6x = -6$。
配方时，添加并平衡$(\frac{6}{2})^2 = 9$，即：
$x^{2} + 6x + 9 = -6 + 9$，
$(x + 3)^{2} = 3$。
故选C。

18. (★★)用适当的方法解下列方程：
(1)$3x^{2} - 1 = 4x$；
(2)$x^{2} - 2x - 8 = 0$；
(3)$2(x - 1)^{2} - 16 = 0$；
(4)$(x - 3)^{2} + 2x(x - 3) = 0$；
(5)$x^{2} + 2\sqrt{2}x + 4 = 2$；
(6)$t^{2} - \sqrt{5}t - 5 = 0$。

(1)
原方程 $3x^{2} - 1 = 4x$ 可化为 $3x^{2} - 4x - 1 = 0$。
$a=3,b=-4,c=-1$，
$x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4×3×(-1)}}{2×3}=\frac{4\pm\sqrt{16+12}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{6}$，
$x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$。
(2)
原方程 $x^{2} - 2x - 8 = 0$ 可因式分解为 $(x - 4)(x + 2) = 0$。
解得 $x_1 = 4$，$x_2 = -2$。
(3)
原方程 $2(x - 1)^{2} - 16 = 0$ 可化为 $(x - 1)^{2} = 8$。
解得$x - 1 = \pm 2\sqrt{2}$，
即 $x_1 = 1 + 2\sqrt{2}$，$x_2 = 1 - 2\sqrt{2}$。
(4)
原方程 $(x - 3)^{2} + 2x(x - 3) = 0$ 可提取公因式 $x - 3$，得 $(x - 3)(x - 3 + 2x) = 0$，即 $(x - 3)(3x - 3) = 0$。
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = 1$。
(5)
原方程 $x^{2} + 2\sqrt{2}x + 4 = 2$ 可化为 $x^{2} + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$，即 $(x + \sqrt{2})^{2} = 0$。
解得 $x_1 = x_2 = -\sqrt{2}$。
(6)
原方程 $t^{2} - \sqrt{5}t - 5 = 0$，
$a=1,b=-\sqrt{5},c=-5$，
$t=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{(-\sqrt{5})^2-4×1×(-5)}}{2×1}=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{5+20}}{2}=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{\sqrt{5}\pm5}{2}$，
即 $t_1 = \frac{\sqrt{5} + 5}{2}$，$t_2 = \frac{\sqrt{5} - 5}{2}$。