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11. (★★)(2023·宿迁)在同一平面内,已知⊙O的半径为2,圆心O到直线l的距离为3,P为圆上的一个动点,则点P到直线l的最大距离是【
A.2
B.5
C.6
D.8
B
】A.2
B.5
C.6
D.8
答案
B
解析
过圆心O作直线l的垂线，垂足为A，则OA=3。圆上点P到直线l的距离最大时，P在OA的延长线上且在圆的外部一侧，此时最大距离为OA+半径=3+2=5。
12. (★★)(2023·河南)如图24.2-14,PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点B,点C在PA上,且CB= CA.若OA= 5,PA= 12,则CA的长为
10/3
.答案
10/3
解析
连接OA，由切线性质得OA⊥PA，∠OAP=90°。在Rt△OAP中，OA=5，PA=12，由勾股定理得PO=√(OA²+PA²)=13。则PB=PO-OB=13-5=8。设CA=x，则CB=x，PC=12-x。过B作BD⊥PA于D，由BD//OA得△PBD∽△POA，相似比PB/PO=8/13，故BD=5×8/13=40/13，PD=12×8/13=96/13。AD=PA-PD=60/13，CD=AD-CA=60/13 - x。在Rt△CBD中，x²=(60/13 - x)²+(40/13)²，解得x=10/3。
13. (★★)在Rt△ABC中,∠C= 90°.
(1)如图24.2-15①,点O在斜边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,与边AC相切于点F.求证:∠1= ∠2.
(2)在图24.2-15②中作⊙M,使它满足以下条件:①圆心在边AB上;②经过点B;③与边AC相切.(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)
(1)如图24.2-15①,点O在斜边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,与边AC相切于点F.求证:∠1= ∠2.
(2)在图24.2-15②中作⊙M,使它满足以下条件:①圆心在边AB上;②经过点B;③与边AC相切.(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)
答案
(1) 证明：连接OF。
∵AC与⊙O相切于点F，∴OF⊥AC（切线垂直于过切点的半径）。
∵∠C=90°，∴FC⊥AC，∴OF//BC（垂直于同一直线的两直线平行）。
∴∠OFB=∠1（两直线平行，内错角相等）。
∵OF=OB（⊙O半径），∴∠OFB=∠2（等边对等角）。
∴∠1=∠2。
(2) 作图如图所示
