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4. 六(1)班12名同学分成6个小队进行乒乓球双打比赛,每2个小队之间都要打一场,一共要打多少场？已知第一小队已打了5场,第二小队已打了4场,第三小队已打了3场,第四小队已打了2场,第五小队已打了1场。第六小队打了几场？分别和哪个小队打的？
答案
一共要打15场；第六小队打了3场，分别和第一、第二、第三小队打。
解析
第一问：一共要打的场数
6个小队，每2个小队之间比赛一场，比赛场数为组合数 $ C_{6}^{2} $。
$ C_{6}^{2} = \frac{6 × 5}{2} = 15 $
第二问：第六小队的比赛场数及对手
记6个小队为①②③④⑤⑥。
1. ①打了5场：与②③④⑤⑥均比赛过。
2. ⑤打了1场：仅与①比赛（因⑤不可能与其他小队比赛，否则场数超过1）。
3. ②打了4场：已与①比赛，剩余3场只能与③④⑥比赛（⑤未与②比赛），故②与①③④⑥比赛过。
4. ④打了2场：已与①（①与所有人比赛）和②（②与④比赛）比赛，共2场，不再与其他小队比赛。
5. ③打了3场：已与①（①与所有人比赛）和②（②与③比赛）比赛，剩余1场只能与⑥比赛（④⑤未与③比赛），故③与①②⑥比赛过。
综上，⑥与①②③比赛过，共3场。
6个小队，每2个小队之间比赛一场，比赛场数为组合数 $ C_{6}^{2} $。
$ C_{6}^{2} = \frac{6 × 5}{2} = 15 $
第二问：第六小队的比赛场数及对手
记6个小队为①②③④⑤⑥。
1. ①打了5场：与②③④⑤⑥均比赛过。
2. ⑤打了1场：仅与①比赛（因⑤不可能与其他小队比赛，否则场数超过1）。
3. ②打了4场：已与①比赛，剩余3场只能与③④⑥比赛（⑤未与②比赛），故②与①③④⑥比赛过。
4. ④打了2场：已与①（①与所有人比赛）和②（②与④比赛）比赛，共2场，不再与其他小队比赛。
5. ③打了3场：已与①（①与所有人比赛）和②（②与③比赛）比赛，剩余1场只能与⑥比赛（④⑤未与③比赛），故③与①②⑥比赛过。
综上，⑥与①②③比赛过，共3场。
5. 某消防联队一共有126人,为保持联络方便,设计了这样一种联络方式：一旦有险情,由指导员通知2名队员,这2名队员再分别通知2名队员,以此类推。假定每同时通知2名队员需要1分钟,6分钟能通知到所有的队员吗？用列表或画图的方法找出规律,求出结果。
答案
| 时间（分钟） | 新通知人数 | 累计通知人数 |
|--------------|------------|--------------|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 4 | 2+4=6 |
| 3 | 8 | 6+8=14 |
| 4 | 16 | 14+16=30 |
| 5 | 32 | 30+32=62 |
| 6 | 64 | 62+64=126 |
6分钟累计通知人数为126人，等于消防联队总人数。
答：6分钟能通知到所有的队员。
|--------------|------------|--------------|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 4 | 2+4=6 |
| 3 | 8 | 6+8=14 |
| 4 | 16 | 14+16=30 |
| 5 | 32 | 30+32=62 |
| 6 | 64 | 62+64=126 |
6分钟累计通知人数为126人，等于消防联队总人数。
答：6分钟能通知到所有的队员。
6. 观察下面各数,找一找有什么规律,解决问题。
(1)第7行有多少个数？最后一个数是多少？
(2)第1行到第9行共有多少个数？
(1)第7行有多少个数？最后一个数是多少？
(2)第1行到第9行共有多少个数？
答案
答题卡：
(1)
解题步骤：
第1行：1个数，最后一个数为1；
第2行：3个数，最后一个数为4；
第3行：5个数，最后一个数为9；
第n行：$2n - 1$个数，最后一个数为$n^{2}$。
当$n = 7$时，$2×7 - 1=13$，$7^{2}=49$。
结论：第7行有13个数，最后一个数是49。
(2)
解题步骤：
第1行到第n行总个数为$S_{n}=\sum_{i = 1}^{n}(2i - 1)=n^{2}$。
当$n = 9$时，$S_{9}=9^{2}=81$。
结论：第1行到第9行共有81个数。
(1)
解题步骤：
第1行：1个数，最后一个数为1；
第2行：3个数，最后一个数为4；
第3行：5个数，最后一个数为9；
第n行：$2n - 1$个数，最后一个数为$n^{2}$。
当$n = 7$时，$2×7 - 1=13$，$7^{2}=49$。
结论：第7行有13个数，最后一个数是49。
(2)
解题步骤：
第1行到第n行总个数为$S_{n}=\sum_{i = 1}^{n}(2i - 1)=n^{2}$。
当$n = 9$时，$S_{9}=9^{2}=81$。
结论：第1行到第9行共有81个数。
7. 仔细观察下面的式子,填空并计算。
$\frac{1}{1 × 2} = 1 - \frac{1}{2}$ $\frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3 × 4} =$ (
……
根据以上规律,计算下面的算式。
$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + … + \frac{1}{99 × 100}$
原式 $= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \ldots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$
$= 1 - \frac{1}{100}$
$= \frac{99}{100}$
$\frac{1}{1 × 2} = 1 - \frac{1}{2}$ $\frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3 × 4} =$ (
$\frac{1}{3}$
) - ($\frac{1}{4}$
) $\frac{1}{4 × 5} =$ ($\frac{1}{4}$
) - ($\frac{1}{5}$
)……
根据以上规律,计算下面的算式。
$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + … + \frac{1}{99 × 100}$
原式 $= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \ldots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$
$= 1 - \frac{1}{100}$
$= \frac{99}{100}$
答案
$\frac{1}{3 × 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$；
$\frac{1}{4 × 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$；
原式 $= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \ldots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$
$= 1 - \frac{1}{100}$
$= \frac{99}{100}$
$\frac{1}{4 × 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$；
原式 $= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \ldots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$
$= 1 - \frac{1}{100}$
$= \frac{99}{100}$
