1. 某路口南北方向信号灯的设置时间为：红灯$25s$,绿灯$30s$,黄灯$5s$。王老师随机地由南向北开车行驶到达该路口,他遇到绿灯的概率是()
A.$\frac{6}{11}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{2}$

D

信号灯一个周期的总时间为：$25 + 30 + 5 = 60\,s$
遇到绿灯的概率为：$\frac{30}{60} = \frac{1}{2}$
D

2. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次,规定正面向上得$1$分,反面向上得$0$分,那么最终得$2$分的概率为()
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

B

抛掷一枚质地均匀的硬币两次，所有可能的结果为：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)，共4种。
得2分即两次均为正面向上，只有(正,正)1种情况。
最终得2分的概率为$\frac{1}{4}$。
B

3. 有一首《对子歌》中唱到：天对地,雨对风,大陆对长空。现将“天、雨、大、空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上,在暗箱搅匀后,随机抽取两张,恰为“天”“空”二字的概率为()
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{6}$

D

所有可能的抽取情况：(天,雨)、(天,大)、(天,空)、(雨,大)、(雨,空)、(大,空)，共6种。
恰为“天”“空”二字的情况有1种。
概率为$\frac{1}{6}$。
D

4. 如图25-2-1-1所示的转盘被分成面积相等的四个扇形,分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色。固定指针,自由转动转盘两次,每次停止后,记下指针所指区域(指针指向区域分界线时,忽略不计)的颜色,则两次颜色相同的概率是。

$\frac{1}{4}$

转盘被分成面积相等的四个扇形，颜色分别为红、黄、蓝、绿。自由转动转盘两次，所有可能的结果有：(红,红)、(红,黄)、(红,蓝)、(红,绿)、(黄,红)、(黄,黄)、(黄,蓝)、(黄,绿)、(蓝,红)、(蓝,黄)、(蓝,蓝)、(蓝,绿)、(绿,红)、(绿,黄)、(绿,蓝)、(绿,绿)，共16种。其中两次颜色相同的结果有4种，所以两次颜色相同的概率是$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$

5. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的$2个黑球和1$个白球,搅匀后随机从中摸出$1$个球,放回搅匀,再随机摸出第$2$个球,求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率。请用列表的方法进行说明。

$\frac{4}{9}$

列表如下：
|第一次|黑1|黑2|白|
|----|----|----|----|
|黑1|(黑1,黑1)|(黑2,黑1)|(白,黑1)|
|黑2|(黑1,黑2)|(黑2,黑2)|(白,黑2)|
|白|(黑1,白)|(黑2,白)|(白,白)|
共有9种等可能的结果，其中摸到一个白球和一个黑球的结果有4种，分别是(白,黑1)、(白,黑2)、(黑1,白)、(黑2,白)。
两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率为$\frac{4}{9}$。

6. 一个盒子里装有完全相同的三个小球,球上分别标有数字$-2$,$1$,$4$。随机摸出一个小球(不放回),其数字记为$p$,再随机摸出一个小球,其数字记为$q$,则满足关于$x的方程x^{2}+px+q = 0$有实数根的概率是()
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

D

所有可能的(p,q)组合：(-2,1),(-2,4),(1,-2),(1,4),(4,-2),(4,1)，共6种。
方程$x^2 + px + q = 0$有实数根需满足$\Delta = p^2 - 4q \geq 0$。
1. 当$p=-2$，$q=1$时，$\Delta = (-2)^2 - 4×1 = 0$，满足；
2. 当$p=-2$，$q=4$时，$\Delta = (-2)^2 - 4×4 = -12 ＜ 0$，不满足；
3. 当$p=1$，$q=-2$时，$\Delta = 1^2 - 4×(-2) = 9 ＞ 0$，满足；
4. 当$p=1$，$q=4$时，$\Delta = 1^2 - 4×4 = -15 ＜ 0$，不满足；
5. 当$p=4$，$q=-2$时，$\Delta = 4^2 - 4×(-2) = 24 ＞ 0$，满足；
6. 当$p=4$，$q=1$时，$\Delta = 4^2 - 4×1 = 12 ＞ 0$，满足。
满足条件的组合有4种，概率为$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。
D

7. 有三张质地均匀、形状相同的卡片,正面分别写有数字$-2$,$-3$,$3$。将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面的数字作为$m$的值,放回卡片洗匀,再从三张卡片中随机抽取一张,以其正面的数字作为$n$的值,两次结果记为$(m,n)$。
(1)表示出$(m,n)$所有可能出现的结果；
(2)化简分式$\frac{1}{m + n}-\frac{2n}{n^{2}-m^{2}}$,并求使分式的值为自然数的$(m,n)$的概率。

(1)略
(2)$\frac{1}{9}$