登录
1. 下列方程中，解为 $ x=4 $ 的是（
A.$ x - 3 = -1 $
B.$ 6 - \frac{x}{2} = x $
C.$ \frac{1}{2}x + 3 = 7 $
D.$ \frac{x - 4}{5} = 2x - 4 $
B
）A.$ x - 3 = -1 $
B.$ 6 - \frac{x}{2} = x $
C.$ \frac{1}{2}x + 3 = 7 $
D.$ \frac{x - 4}{5} = 2x - 4 $
答案
1. B 解析 A项，当 $x=4$ 时，方程左边$=4-3=1$不等于右边，故错误；B项，当 $x=4$ 时，方程左边$=6-2=4=$右边，故正确；C项，当 $x=4$ 时，方程左边$=2+3=5$不等于右边，故错误；D项，当 $x=4$ 时，方程左边$=0$，方程右边$=4$，左边不等于右边，故错误.
解析
【分析】
要判断哪个方程的解是$x=4$，最简便的方法是代入检验法：将$x=4$分别代入每个选项的方程中，计算方程左右两边的结果，若左边等于右边，说明$x=4$是该方程的解，对应的选项就是正确答案。
【解析】
我们将$x=4$逐一代入各选项验证：
A. 把$x=4$代入方程，左边$=4-3=1$，右边$=-1$，左边≠右边，故A错误；
B. 把$x=4$代入方程，左边$=6 - \frac{4}{2}=6-2=4$，右边$=4$，左边=右边，故B正确；
C. 把$x=4$代入方程，左边$=\frac{1}{2}×4 +3=2+3=5$，右边$=7$，左边≠右边，故C错误；
D. 把$x=4$代入方程，左边$=\frac{4-4}{5}=0$，右边$=2×4 -4=4$，左边≠右边，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的检验
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的概念，代入检验法是解决这类题型的常用技巧，解题时注意计算准确即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要判断哪个方程的解是$x=4$，最简便的方法是代入检验法：将$x=4$分别代入每个选项的方程中，计算方程左右两边的结果，若左边等于右边，说明$x=4$是该方程的解，对应的选项就是正确答案。
【解析】
我们将$x=4$逐一代入各选项验证：
A. 把$x=4$代入方程，左边$=4-3=1$，右边$=-1$，左边≠右边，故A错误；
B. 把$x=4$代入方程，左边$=6 - \frac{4}{2}=6-2=4$，右边$=4$，左边=右边，故B正确；
C. 把$x=4$代入方程，左边$=\frac{1}{2}×4 +3=2+3=5$，右边$=7$，左边≠右边，故C错误；
D. 把$x=4$代入方程，左边$=\frac{4-4}{5}=0$，右边$=2×4 -4=4$，左边≠右边，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的检验
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的概念，代入检验法是解决这类题型的常用技巧，解题时注意计算准确即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
2. 在①$2y+1$；②$1+7=15-7$；③$\frac{1}{3}x^2 + x = 0$；④$m + 2n = 3$中，是方程的有
③④
.（填序号）答案
2. ③④ 解析 ①根据方程的定义，$2y+1$不是等式，所以①不是方程；②$1+7=15-7$中不含有未知数，根据方程的定义，②不是方程；③$\frac{1}{3}x^2 + x = 0$是含有未知数的等式，根据方程的定义，③是方程；④$m + 2n = 3$ 是含有未知数的等式，根据方程的定义，④是方程. 综上，是方程的有③④.
解析
【分析】
要判断所给式子是否为方程，首先要明确方程的判定标准：一是必须为等式（含有等号），二是必须含有未知数，两个条件缺一不可。接下来对照这两个标准逐个分析每个式子，即可得出正确结论。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，逐个判断如下：
① $2y+1$是含有未知数的代数式，没有等号，不属于等式，因此不是方程；
② $1+7=15-7$是等式，但式子中不含未知数，因此不是方程；
③ $\frac{1}{3}x^2 + x = 0$既含有未知数$x$，又是等式，符合方程的定义，因此是方程；
④ $m + 2n = 3$既含有未知数$m、n$，又是等式，符合方程的定义，因此是方程。
综上，是方程的有③④。
【答案】
③④
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，解题核心是牢记方程需同时满足“是等式”“含未知数”两个条件，判断时注意不要遗漏任意一个条件，避免将仅含未知数的代数式或不含未知数的等式误判为方程。
【难度系数】
0.9
要判断所给式子是否为方程，首先要明确方程的判定标准：一是必须为等式（含有等号），二是必须含有未知数，两个条件缺一不可。接下来对照这两个标准逐个分析每个式子，即可得出正确结论。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，逐个判断如下：
① $2y+1$是含有未知数的代数式，没有等号，不属于等式，因此不是方程；
② $1+7=15-7$是等式，但式子中不含未知数，因此不是方程；
③ $\frac{1}{3}x^2 + x = 0$既含有未知数$x$，又是等式，符合方程的定义，因此是方程；
④ $m + 2n = 3$既含有未知数$m、n$，又是等式，符合方程的定义，因此是方程。
综上，是方程的有③④。
【答案】
③④
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，解题核心是牢记方程需同时满足“是等式”“含未知数”两个条件，判断时注意不要遗漏任意一个条件，避免将仅含未知数的代数式或不含未知数的等式误判为方程。
【难度系数】
0.9
3. 下列方程是一元一次方程的是 （
A.$x^2 + 2 = 6$
B.$2y + 3 = 0$
C.$x + y = 9$
D.$\frac{2}{x} + 5 = 8$
B
）A.$x^2 + 2 = 6$
B.$2y + 3 = 0$
C.$x + y = 9$
D.$\frac{2}{x} + 5 = 8$
答案
3. B 解析 A项，方程 $x^2 + 2 = 6$ 的未知数的次数是2，不符合题意；B项，方程 $2y+3=0$ 是一元一次方程，符合题意；C项，方程 $x + y = 9$ 的未知数的个数是2，不符合题意；D项，方程 $\frac{2}{x}+5=8$ 中含有未知数的项不是整式，不符合题意.
解析
【分析】
要判断哪个是一元一次方程，首先需牢记一元一次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③方程两边都为整式（即分母中不含未知数）。解题时只需用这三个条件逐一核对每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，对各选项逐一分析：
A选项：方程$x^2 + 2 = 6$中未知数$x$的最高次数是2，不满足“未知数最高次数为1”的要求，不符合题意；
B选项：方程$2y + 3 = 0$只含有1个未知数$y$，$y$的最高次数为1，且两边均为整式，符合一元一次方程的定义，符合题意；
C选项：方程$x + y = 9$中含有$x$、$y$两个未知数，不满足“只含有1个未知数”的要求，不符合题意；
D选项：方程$\frac{2}{x} + 5 = 8$的分母中含有未知数$x$，不属于整式方程，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1.一元一次方程的定义 2.整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考察题，核心是对一元一次方程判定标准的理解与运用，解题时需同时关注“一元”“一次”“整式”三个要点，避免因遗漏某个判定条件出错。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是一元一次方程，首先需牢记一元一次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③方程两边都为整式（即分母中不含未知数）。解题时只需用这三个条件逐一核对每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，对各选项逐一分析：
A选项：方程$x^2 + 2 = 6$中未知数$x$的最高次数是2，不满足“未知数最高次数为1”的要求，不符合题意；
B选项：方程$2y + 3 = 0$只含有1个未知数$y$，$y$的最高次数为1，且两边均为整式，符合一元一次方程的定义，符合题意；
C选项：方程$x + y = 9$中含有$x$、$y$两个未知数，不满足“只含有1个未知数”的要求，不符合题意；
D选项：方程$\frac{2}{x} + 5 = 8$的分母中含有未知数$x$，不属于整式方程，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1.一元一次方程的定义 2.整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考察题，核心是对一元一次方程判定标准的理解与运用，解题时需同时关注“一元”“一次”“整式”三个要点，避免因遗漏某个判定条件出错。
【难度系数】
0.8
4. 关于$x$的方程$(k+1)x^{|k|}-5=0$是一元一次方程，则$k$值等于（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
C
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
4. C 解析 根据题意，可知$|k|=1$，且$k+1$不等于0，解得$k=1$.
解析
【分析】
要确定k的值，需先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时未知数的系数不为0的整式方程叫做一元一次方程。结合本题的方程，我们需要满足两个条件：一是x的指数等于1，二是x的系数不等于0，分别列出对应式子求解，再筛选出同时符合两个条件的k值即可。
【解析】
∵ 方程$(k+1)x^{|k|}-5=0$是一元一次方程
∴ 需同时满足两个条件：
1. 未知数的次数为1：$|k|=1$，解得$k=1$或$k=-1$
2. 一次项系数不为0：$k+1≠0$，解得$k≠-1$
综合两个条件，可得$k=1$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的要求，误选k=-1，解题时需完整匹配一元一次方程的所有定义条件，避免漏看限制条件出错。
【难度系数】
0.7
要确定k的值，需先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时未知数的系数不为0的整式方程叫做一元一次方程。结合本题的方程，我们需要满足两个条件：一是x的指数等于1，二是x的系数不等于0，分别列出对应式子求解，再筛选出同时符合两个条件的k值即可。
【解析】
∵ 方程$(k+1)x^{|k|}-5=0$是一元一次方程
∴ 需同时满足两个条件：
1. 未知数的次数为1：$|k|=1$，解得$k=1$或$k=-1$
2. 一次项系数不为0：$k+1≠0$，解得$k≠-1$
综合两个条件，可得$k=1$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的要求，误选k=-1，解题时需完整匹配一元一次方程的所有定义条件，避免漏看限制条件出错。
【难度系数】
0.7
5. 某公司选聘员工，需要员工做一份试卷.
试卷共20道选择题，每道题都给出了4个选项，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣2分.
已知应聘者小雅得了65分，设小雅做对了x道题，则下列所列方程正确的是
（
A.$2x + 5(20 - x) = 65$
B.$5x + 2(20 - x) = 65$
C.$5x - 2(20 - x) = 65$
D.$5x - 2(20 + x) = 65$
试卷共20道选择题，每道题都给出了4个选项，其中只有一个正确选项，每道题选对得5分，不选或错选倒扣2分.
已知应聘者小雅得了65分，设小雅做对了x道题，则下列所列方程正确的是
（
C
）A.$2x + 5(20 - x) = 65$
B.$5x + 2(20 - x) = 65$
C.$5x - 2(20 - x) = 65$
D.$5x - 2(20 + x) = 65$
答案
5. C 解析 小雅做对了 $x$ 道题，则不选或错选（20－x）道题，由题意可得$5x - 2(20 - x) = 65$.
解析
【分析】
解本题的核心是找准等量关系：最终总得分=做对题目获得的分数 - 不选或错选倒扣的分数。第一步先明确各未知量：已知做对题数为x，总题数为20，因此不选或错选的题数为(20-x)；第二步分别计算两部分分数：做对1题得5分，因此做对题总得分是5x，不选或错选1题扣2分，因此总共倒扣的分数是2×(20-x)；第三步将两部分分数代入等量关系，即可得到对应方程，再匹配选项即可得出答案。
【解析】
已知小雅做对了x道题，则不选或错选的题数为(20-x)道。
做对题目获得的总分数为：$5x$ 分
不选或错选倒扣的总分数为：$2(20-x)$ 分
根据“最终得分=做对得分 - 倒扣得分”的等量关系，可列方程：
$5x - 2(20 - x) = 65$
因此所列方程正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；积分问题求解
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，重点考查对等量关系的梳理能力，解题时要注意区分加分、扣分的计算规则，避免加减符号使用错误。
【难度系数】
0.8
解本题的核心是找准等量关系：最终总得分=做对题目获得的分数 - 不选或错选倒扣的分数。第一步先明确各未知量：已知做对题数为x，总题数为20，因此不选或错选的题数为(20-x)；第二步分别计算两部分分数：做对1题得5分，因此做对题总得分是5x，不选或错选1题扣2分，因此总共倒扣的分数是2×(20-x)；第三步将两部分分数代入等量关系，即可得到对应方程，再匹配选项即可得出答案。
【解析】
已知小雅做对了x道题，则不选或错选的题数为(20-x)道。
做对题目获得的总分数为：$5x$ 分
不选或错选倒扣的总分数为：$2(20-x)$ 分
根据“最终得分=做对得分 - 倒扣得分”的等量关系，可列方程：
$5x - 2(20 - x) = 65$
因此所列方程正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；积分问题求解
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，重点考查对等量关系的梳理能力，解题时要注意区分加分、扣分的计算规则，避免加减符号使用错误。
【难度系数】
0.8
6. 某公园计划在一块长为10 m、宽为8 m的长方形草坪中央划分出一块30 m²的长方形区域作为宠物乐园. 若宠物乐园四周草坪的宽度都一样，记为x m，根据题意，请列出方程：
（不化简、不解答）
$(8-2x)(10-2x)=30$
.（不化简、不解答）
答案
6. $(8-2x)(10-2x)=30$
解析
【分析】
解题时首先要找准等量关系，本题的核心等量关系为：宠物乐园的面积=30 m²。接下来推导宠物乐园的长和宽：由于宠物乐园在长方形草坪中央，四周草坪宽度均为x m，因此原草坪的长需要减去左右两侧各x m的宽度，得到宠物乐园的长；原草坪的宽需要减去上下两侧各x m的宽度，得到宠物乐园的宽。最后根据长方形面积公式，将对应量代入等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 推导宠物乐园的长：原草坪长为10 m，左右各留宽度x m，因此宠物乐园的长为$(10-2x)$ m；
2. 推导宠物乐园的宽：原草坪宽为8 m，上下各留宽度x m，因此宠物乐园的宽为$(8-2x)$ m；
3. 根据长方形面积=长×宽，结合宠物乐园面积为30 m²，代入得方程：$(8-2x)(10-2x)=30$。
【答案】
$\boldsymbol{(8-2x)(10-2x)=30}$
【知识点】
长方形面积计算；实际问题列方程；几何边长表示
【点评】
本题是基础的面积类实际应用题，解题关键是准确梳理所求区域与原图形的边长关系，抓住面积等量关系即可列式，需注意不要遗漏两侧的宽度，避免出现只减1个x的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要找准等量关系，本题的核心等量关系为：宠物乐园的面积=30 m²。接下来推导宠物乐园的长和宽：由于宠物乐园在长方形草坪中央，四周草坪宽度均为x m，因此原草坪的长需要减去左右两侧各x m的宽度，得到宠物乐园的长；原草坪的宽需要减去上下两侧各x m的宽度，得到宠物乐园的宽。最后根据长方形面积公式，将对应量代入等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 推导宠物乐园的长：原草坪长为10 m，左右各留宽度x m，因此宠物乐园的长为$(10-2x)$ m；
2. 推导宠物乐园的宽：原草坪宽为8 m，上下各留宽度x m，因此宠物乐园的宽为$(8-2x)$ m；
3. 根据长方形面积=长×宽，结合宠物乐园面积为30 m²，代入得方程：$(8-2x)(10-2x)=30$。
【答案】
$\boldsymbol{(8-2x)(10-2x)=30}$
【知识点】
长方形面积计算；实际问题列方程；几何边长表示
【点评】
本题是基础的面积类实际应用题，解题关键是准确梳理所求区域与原图形的边长关系，抓住面积等量关系即可列式，需注意不要遗漏两侧的宽度，避免出现只减1个x的错误。
【难度系数】
0.8
7. 某公司计划购买一批标价为2 500元/台的饮水机，因为购买量较大，所以商家打八折出售. 已知购买该饮水机共花了60 000元，则该公司购买了多少台饮水机？根据题意设未知数并列出方程.
答案
7. 解 设该公司购买了 $x$ 台饮水机，根据题意，列得方程 $2\ 500×80\%x = 60\ 000$.
解析
【分析】
解决这道列方程的实际问题，首先要找准题目中的核心等量关系：购买饮水机的总花费=打折后的单台价格×购买台数。先明确单台饮水机的折后价：标价2500元，打八折即按标价的80%出售，因此折后单价为$2500×80\%$。接下来设购买的台数为未知数$x$，将已知总花费60000元代入等量关系，即可列出对应方程。
【解析】
解：设该公司购买了$x$台饮水机。
单台饮水机打折后的售价为$2500×80\%$元，根据“总花费=单台售价×购买数量”的等量关系，列得方程：
$2500×80\%x = 60000$
【答案】
设该公司购买了$x$台饮水机，列方程为$2500×80\%x = 60000$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售打折问题
【点评】
本题属于基础的销售类实际应用题，解题关键是准确计算打折后的商品单价，抓住总价、单价、数量三者的等量关系即可顺利列方程，主要考查学生从实际问题中提取等量关系的能力。
【难度系数】
0.9
解决这道列方程的实际问题，首先要找准题目中的核心等量关系：购买饮水机的总花费=打折后的单台价格×购买台数。先明确单台饮水机的折后价：标价2500元，打八折即按标价的80%出售，因此折后单价为$2500×80\%$。接下来设购买的台数为未知数$x$，将已知总花费60000元代入等量关系，即可列出对应方程。
【解析】
解：设该公司购买了$x$台饮水机。
单台饮水机打折后的售价为$2500×80\%$元，根据“总花费=单台售价×购买数量”的等量关系，列得方程：
$2500×80\%x = 60000$
【答案】
设该公司购买了$x$台饮水机，列方程为$2500×80\%x = 60000$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售打折问题
【点评】
本题属于基础的销售类实际应用题，解题关键是准确计算打折后的商品单价，抓住总价、单价、数量三者的等量关系即可顺利列方程，主要考查学生从实际问题中提取等量关系的能力。
【难度系数】
0.9
