9. 如图,在矩形$ABCD$中,点$F$是$BC$延长线上一点.
(1) 在$AD$边上找一点$E$,使$BE$平分$\angle AEF$,用尺规作出点$E$(已知$AD$边上这样的点$E$是存在的),并说明理由;
(2) 在(1)的基础上,$EF$交$CD$于点$G$,且$G$为$CD$的中点.若$AB = 8,AE = 4$,求$BC$的长.

9.(1)如图，以点F为圆心FB为半径作圆交AD于E.点E就是所求作的点.理由如下:矩形ABCD，∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵EF=BF，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BE平分∠AEF.

(2)∵G为CD中点，且∠D=∠BCD=90°，∠EGD=∠FGC，∴△EGD≌△FGC，
∴ED=FC，GF=GE
设ED=x，解得$(x + 2)^{2}=4^{2}+x^{2}$，∴BC=7

10. 【回顾课本】浙教版八年级下册数学教材“4.5三角形的中位线”一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路,如图1,因为点$E$是$AC$的中点,考虑把$\triangle ADE$绕点$E$按顺时针方向旋转$180^{\circ}$,得到$\triangle CFE$,这样只要证明了四边形$BCFD$是平行四边形即可得到$DE// BC$,。
【探究发现】如图2,等边$\triangle ABC$的边长为2,点$D,E$分别为$AB,AC$的中点,点$F$为$BC$上任意一点(不与$B,C$重合),沿$DE,DF$剪开分成①②③三块后,将②绕点$D$顺时针、③绕点$E$逆时针旋转$180^{\circ}$恰好能与①拼成$\square DIHG$,求$\square DIHG$周长的最小值。
【拓展作图】如图3,已知四边形$ABCD$,现要求只剪两次将其剪成四块,使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形,请在图3中画出两条剪痕,并对剪痕作适当的说明。

【解析】：
### 探究发现
- 因为点$D$、$E$分别为$AB$、$AC$的中点，等边$\triangle ABC$的边长为$2$，所以$DE = \dfrac{1}{2}BC = 1$。
- 由旋转可知$DI = BH$，$HG = 2DE = 2$。
- 设$BF = x$，则$CF = 2 - x$，$BH = BF = x$，$CG = CF = 2 - x$，所以$DI = x$，$IG = 2 - x$。
- 则$\square DIHG$的周长$C = 2(HG + DI)=2(2 + x)$，当$x$最小时，周长最小。
- 因为点$F$不与$B$、$C$重合，所以当$F$为$BC$中点时，$x$最小，此时$x = 1$。
- 所以$\square DIHG$周长的最小值为$2\times(2 + 1)=6$。
### 拓展作图
- 取$AB$、$CD$的中点$E$、$F$，连接$DE$、$BF$，沿$DE$、$BF$剪开，将$\triangle ADE$绕点$E$旋转$180^{\circ}$，$\triangle BCF$绕点$F$旋转$180^{\circ}$，可拼成平行四边形。
【答案】：
探究发现：$6$
拓展作图：取$AB$、$CD$的中点$E$、$F$，连接$DE$、$BF$，沿$DE$、$BF$剪开（答案不唯一）。