1. 给出一列数:1,5,11,19,…. 按此规律排列,第7个数是 ()
A. 37
B. 41
C. 55
D. 71
A. 37
B. 41
C. 55
D. 71
答案
C 解析：$1=1×2-1$，$5=2×3-1$，$11=3×4-1$，$19=4×5-1$，…，第$n$个数为$n(n+1)-1$，所以第$7$个数是$7×(7+1)-1=55$。
2. (2024·云南)按一定规律排列的代数式:$2x,3x^{2},4x^{3},5x^{4},6x^{5},... $,则第n(n为正整数)个代数式为____.
答案
$(n+1)x^{n}$
3. (2023·岳阳)观察下列等式:$1^{2}-1= 1×0;2^{2}-2= 2×1;3^{2}-3= 3×2;4^{2}-4= 4×3;5^{2}-5= 5×4;... $. 依此规律,第n(n为正整数)个等式为____.
答案
$n^{2}-n=n(n-1)$
4. (2024·绵阳)如图,将全体正偶数排成一个三角形数阵,从上向下数有无数多行,其中第1行有1个数为2,第2行有2个数为4,6,…,第n行有n个数. 探究其中规律,则第n($n\geqslant 3$且n为整数)行从左至右第3个数不可能是 ()
A. 36
B. 96
C. 226
D. 426
A. 36
B. 96
C. 226
D. 426
答案
C 解析：因为$2=1×2$，$6=2×3$，$12=3×4$，$20=4×5$，$30=5×6$，…，所以第$n$行的最后一个数可表示为$n(n+1)$。所以从第$3$行起，第$n$行左起的第$3$个数可表示为$n(n-1)+6(n≥3$且$n$为整数)。当$n=6$时，$n(n-1)+6=36$；当$n=10$时，$n(n-1)+6=96$；当$n=21$时，$n(n-1)+6=426$。因为当$n=15$时，$n(n-1)+6=216$；当$n=16$时，$n(n-1)+6=246$，且$216＜226＜246$，所以第$n(n≥3$且$n$为整数)行从左至右第$3$个数不可能是$226$。
5. 如图,将从1开始的自然数按图中规律排列,例如:位于第3行、第4列的数是12,则位于第35行、第4列的数是____.
答案
1222 解析：由题图可知，第$1$行第$1$个数是$1^{2}$，第$2$行第$1$个数是$2^{2}$，第$3$行第$1$个数是$3^{2}$，第$4$行第$1$个数是$4^{2}$，…，则第$n$行第$1$个数为$n^{2}$。所以位于第$35$行的第$1$个数是$35^{2}=1225$。所以第$35$行的数为$1225$，$1224$，$1223$，$1222$，$1221$，$1220$，$1219$，…，即位于第$35$行、第$4$列的数是$1222$。
6. 将正偶数按照如下规律进行分组排列,依次为(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20),…,我们称“4”是第2组第1个数,“16”是第4组第2个数. 若2020是第m组第n个数,求$m+n$的值.
答案
根据题意可知，第$m$组有$m$个连续的正偶数。因为$2020=2×1010$，所以$2020$是第$1010$个正偶数。因为$1+2+3+... +44=\frac {1}{2}×(44+1)×44=990$，$1+2+3+... +45=\frac {1}{2}×(45+1)×45=1035$，所以$2020$是第$45$组第$1010-990=20$(个)数。所以$m=45$，$n=20$。所以$m+n=65$
7. 如图,圆环内直径为a cm,外直径为b cm,将100个这样的圆环一个接一个连成一条锁链,则这条锁链拉直后的长度为____cm.
答案
$(99a+b)$ 解析：当圆环个数为$n$时，链长为$na+2×\frac {b-a}{2}=[(n-1)a+b]cm$。
