例2:如图,AD,CE都是$△ABC$的高,$∠BAC= 70^{\circ },∠ACB= 50^{\circ }$,求$∠AFC$的度数.
分析:$∠AFC既是△AFC$的一个内角,也是$△FDC或△AEF$的一个外角,两种方法均可求出$∠AFC$的度数.
解:方法一:因为AD,CE都是$△ABC$的高,所以$∠ADC= ∠AEC= 90^{\circ }$,因为$∠BAC= 70^{\circ },∠ACB= 50^{\circ }$,在$△ADC$中,$∠DAC= 180^{\circ }-90^{\circ }-50^{\circ }=40^{\circ }$,在$△AEC$中,$∠ACE= 180^{\circ }-70^{\circ }-90^{\circ }=20^{\circ }$,在$△AFC$中,$∠AFC= 180^{\circ }-20^{\circ }-40^{\circ }=120^{\circ }.$
方法二:在$△ABC$中,$∠BAC= 70^{\circ },∠ACB= 50^{\circ }$,所以$∠B= 180^{\circ }-70^{\circ }-50^{\circ }=60^{\circ }$,因为AD,CE是$△ABC$的高,所以$∠BEC= ∠ADC= 90^{\circ }$,所以$∠BCE= 180^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$,所以$∠AFC= ∠ADC+∠BCE= 90^{\circ }+30^{\circ }=120^{\circ }.$

$\angle AFC$的度数为$120^{\circ}$。

例3:如图,P是$△ABC$内任意一点,$∠BPC一定比∠A$大吗? 为什么?
分析:$∠BPC是△BPC$的一个内角,$∠A是△ABC$的一个内角,要比较$∠BPC与∠A$的大小,可以先比较两个三角形中另外两个内角之和的大小,由于点P是$△ABC$内部一点,则有$∠PBC＜∠ABC$,$∠PCB＜∠ACB$,所以$∠PBC+∠PCB＜∠ABC+∠ACB$,于是可得$∠BPC＞∠A$.
运用三角形外角的知识,将$∠BPC$看成是某个三角形的一个外角,利用外角的性质也能判断大小关系,由于在图中不能直接看出$∠BPC$是哪个三角形的外角,于是可以通过添辅助线,延长BP交AC于点Q,则$∠BPC是△PQC$的一个外角,而$∠PQC又是△ABQ$的一个外角,于是$∠BPC＞∠PQC,∠PQC＞∠A$,所以$∠BPC＞∠A$.
解:方法一:如图,因为点P是$△ABC$内任意一点,所以$∠PBC＜∠ABC$,$∠PCB＜∠ACB$,所以$∠PBC+∠PCB＜∠ABC+∠ACB$,因为$∠PBC+∠PCB+∠BPC= 180^{\circ },∠ABC+∠ACB+∠A= 180^{\circ }$,所以$∠BPC＞∠A$.
方法二:如图,延长BP交AC于点Q,则$∠BPC是△PQC$的一个外角,所以$∠BPC＞∠PQC$,因为$∠PQC是△ABQ$的一个外角,所以$∠PQC＞∠A$,所以$∠BPC＞∠A$.

$\angle BPC$一定比$\angle A$大。