9. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AB= 5$,$BC= 4$。以点$A$为圆心,$r$为半径作圆,当点$C在\odot A内且点B在\odot A$外时,$r$的取值范围是____。

3＜r＜5

10. (2024广州中考)如图,在$\odot O$中,弦$AB的长为4\sqrt{3}$,点$C在\overparen{AB}$上,$OC\perp AB$,$\angle ABC= 30^{\circ}$。$\odot O所在的平面内有一点P$,若$OP= 5$,则点$P与\odot O$的位置关系是()

A. 点$P在\odot O$上
B. 点$P在\odot O$内
C. 点$P在\odot O$外
D. 无法确定

C

11. $O为\triangle ABC$的外心,$\angle BOC= 110^{\circ}$,则$\angle A$的度数为____。

55°或125°

12. 如图,在平面直角坐标系中,一段圆弧经过格点$A$,$B$,$C$(网格小正方形边长为$1$)。
(1)请写出该圆弧所在圆的圆心$P$的坐标为____；$\odot P$的半径为____(结果保留根号)；
(2)判断点$M(-1,1)与\odot P$的位置关系为____。

(1)(2,-1) $2\sqrt{5}$
(2)点M在⊙P内

13. (原创题)如图,在$5×3$的网格中,小正方形的边长均为$1$。
(1)画$\triangle ABC的外接圆圆心O$；
(2)$\triangle ABC$的外接圆的半径是____。

解:(1)如图所示，点O为△ABC 的外接圆圆心;

(2)在Rt△OBH中,$OH=\frac{1}{2}$,$BH=\frac{5}{2}$,由勾股定理,得$OB=\frac{\sqrt{26}}{2}$,即△ABC的外接圆的半径为$\frac{\sqrt{26}}{2}$.

14. (原创题)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点$O是\triangle ABC$的外心,且$\angle BOC= 60^{\circ}$,底边$BC= 2$,求$\triangle ABC$的面积。

解:①当点O在△ABC内部时,如图1,连接AO并延长,交BC于点E.
∵AB=AC,OB=OC,
∴AE⊥BC,$BE=EC=\frac{1}{2}BC=1$.
∵OB=OC,∠BOC=60°,
∴△OBC为等边三角形,
∴OB=BC=2,∴OA=OB=2,
$OE=\sqrt{OB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{3}$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE=2+\sqrt{3}$.

②当点O在△ABC外部时,如图2,由(1)知$OE=\sqrt{3}$,
∴AE=AO - OE=2 - $\sqrt{3}$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE$
$=\frac{1}{2}\times2\times(2-\sqrt{3})$
$=2-\sqrt{3}$.
综上所述,$S_{△ABC}=2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$.