9. 抛物线$y= ax^{2}+bx+2的对称轴为直线x= 1$,且过点$(-1,0)$,则其解析式为______.

$y=-\frac {2}{3}x^{2}+\frac {4}{3}x+2$

10. 已知抛物线$y= x^{2}-2x+2与抛物线C关于y$轴对称,则抛物线$C$的解析式为______.

$y=x^{2}+2x+2$

11. 将抛物线$y= -x^{2}平移后经过A(1,-2)$,$B(3,-1)$两点,求平移后的抛物线的解析式.

解：设平移后抛物线的解析式为$y=-x^{2}+bx+c$，
则$\left\{\begin{array}{l} -2=-1+b+c,\\ -1=-9+3b+c,\end{array}\right. $
解得$b=\frac {9}{2}$，$c=-\frac {11}{2}$，
$\therefore y=-x^{2}+\frac {9}{2}x-\frac {11}{2}$。

12. 抛物线$y= ax^{2}+bx+c的顶点坐标为(3,-2)$,与$x$轴两交点间的距离为4,求抛物线的解析式.

解：设抛物线的解析式为$y=a(x-3)^{2}-2$。
∵抛物线的对称轴是直线$x=3$，与$x$轴两交点的距离为4，
∴抛物线$y=a(x-3)^{2}-2$过点$(1,0)$，
$\therefore (1-3)^{2}\cdot a-2=0$，解得$a=\frac {1}{2}$，
∴抛物线的解析式为$y=\frac {1}{2}(x-$
3$)^{2}-2$。

13. (2024武汉外校)已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c的最小值为a+b+c$.
(1)求$a$,$b$之间的数量关系；
(2)若该函数的图象恰好经过$A(-1,5)$,$B(2,5)$,$C(2,2)$中的两个点,求该函数的解析式.

解：(1)∵当$x=1$时，$y=a+b+c$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$，
$\therefore x=-\frac {b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$；
(2)由题意可知，该函数图象只能经过$A(-1,5)$和$C(2,2)$两点，
$\therefore \left\{\begin{array}{l} a-b+c=5,\\ 4a+2b+c=2,\\ b=-2a,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-2,\\ c=2,\end{array}\right. $
∴该函数的解析式为$y=x^{2}-2x+2$。

14. (2025襄阳)已知抛物线$y= x^{2}-ax+b-a经过点A(1,1)$.
(1)求$b与a$的关系式；
(2)将该抛物线平移,平移后的抛物线仍经过点$A(1,1)$,且点$A的对应点为A_{1}(1-m,-2a+1)$,当$m\geqslant -\frac{3}{2}$时,求平移后的抛物线顶点纵坐标$y'$的最大值.

解：(1)将$(1,1)$代入，得$1=1-a+b-a$，$\therefore b=2a$；
(2)∵平移后，点$A(1,1)$的对应点为$A_{1}(1-m,-2a+1)$，
且$y=x^{2}-ax+a$
$=(x-\frac {a}{2})^{2}+a-\frac {a^{2}}{4}$，
∴平移后的抛物线为
$y=(x-\frac {a}{2}+m)^{2}+a-\frac {a^{2}}{4}-2a$，
将$(1,1)$代入，得
$1=(1-\frac {a}{2}+m)^{2}-\frac {a^{2}}{4}-a$，
整理得$(m-a)(m+2)=0$，
$\because m≥-\frac {3}{2}$，$\therefore m+2≠0$，$\therefore a=m$，
∴新抛物线为
$y=(x+\frac {m}{2})^{2}-\frac {1}{4}m^{2}-m$，
$\therefore y'=-\frac {1}{4}m^{2}-m$
$=-\frac {1}{4}(m+2)^{2}+1$，
∵当$m＞-2$时，
$y'$随$m$的增大而减小，
∴当$m=-\frac {3}{2}$时，
$y'$取得最大值为$\frac {15}{16}$。