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9. (2024·常熟期中)某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四项对新投入市场的一款智能手机进行测评,四项得分分别为8分、8分、6分、4分.若将上述四项成绩按3:3:2:2的比计算综合成绩,则该手机的综合成绩为分.
答案
6.8
解析
本题可根据加权平均数的计算公式来计算该手机的综合成绩。
加权平均数的计算公式为$\overline{x}=\frac{x_{1}f_{1} + x_{2}f_{2} + \cdots + x_{n}f_{n}}{f_{1} + f_{2} + \cdots + f_{n}}$，其中$x_{i}$为各数据，$f_{i}$为各数据的权数。
已知四项得分分别为$x_1 = 8$分、$x_2 = 8$分、$x_3 = 6$分、$x_4 = 4$分，对应的权数分别为$f_1 = 3$、$f_2 = 3$、$f_3 = 2$、$f_4 = 2$。
将上述数据代入加权平均数公式可得：
$\overline{x}=\frac{8×3 + 8×3 + 6×2 + 4×2}{3 + 3 + 2 + 2}$
$=\frac{24 + 24 + 12 + 8}{10}$
$=\frac{68}{10}$
$ = 6.8$（分）
加权平均数的计算公式为$\overline{x}=\frac{x_{1}f_{1} + x_{2}f_{2} + \cdots + x_{n}f_{n}}{f_{1} + f_{2} + \cdots + f_{n}}$，其中$x_{i}$为各数据，$f_{i}$为各数据的权数。
已知四项得分分别为$x_1 = 8$分、$x_2 = 8$分、$x_3 = 6$分、$x_4 = 4$分，对应的权数分别为$f_1 = 3$、$f_2 = 3$、$f_3 = 2$、$f_4 = 2$。
将上述数据代入加权平均数公式可得：
$\overline{x}=\frac{8×3 + 8×3 + 6×2 + 4×2}{3 + 3 + 2 + 2}$
$=\frac{24 + 24 + 12 + 8}{10}$
$=\frac{68}{10}$
$ = 6.8$（分）
10. 已知3、m、4、n、5这五个数据,其中m、n是方程$x^{2}-6x-7=0$的两个根,则这组数据的极差为.
答案
8
解析
解方程$x^{2}-6x-7=0$，因式分解得$(x-7)(x+1)=0$，则$x-7=0$或$x+1=0$，解得$x_{1}=7$，$x_{2}=-1$，所以$m$、$n$的值为$7$和$-1$。这组数据为$3$、$7$、$4$、$-1$、$5$（或其他顺序），其中最大值为$7$，最小值为$-1$，极差为$7 - (-1) = 8$。
11. (2024·南充)若一组数据6、6、m、7、7、8的众数为7,则这组数据的中位数为.
答案
7
解析
因为众数为7，所以7出现的次数最多，已知6出现2次，7出现2次，故m=7。此时数据为6、6、7、7、7、8，共6个数，中位数是第3、4个数的平均数，即(7+7)÷2=7。
12. 小夏计算一组数据的方差时,使用公式$s^{2}=\frac {1}{5}[(8-\overline {x})^{2}+(9-\overline {x})^{2}+(11-\overline {x})^{2}+(15-\overline {x})^{2}+(7-\overline {x})^{2}]$,则公式中$\overline {x}$的值为.
答案
$10$
解析
根据方差公式可知，给定数据为$5$个，分别为$8$，$9$，$11$，$15$，$7$。
$\overline{x}$为这组数据的平均数，
$\overline{x}=\frac{8 + 9+11 + 15+7}{5}$
$=\frac{50}{5}$
$= 10$
$\overline{x}$为这组数据的平均数，
$\overline{x}=\frac{8 + 9+11 + 15+7}{5}$
$=\frac{50}{5}$
$= 10$
13. 若一组数据$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$的平均数为4,方差为3,则数据$a_{1}-2$、$a_{2}-2$、$a_{3}-2$的平均数为,方差为.
答案
平均数为 2；
方差为 3；
（填空答案依次为2；3）
方差为 3；
（填空答案依次为2；3）
解析
设数据$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$的平均数为$\overline{a}=4$，方差为$s^2 = 3$。
对于数据$a_{1}-2$、$a_{2}-2$、$a_{3}-2$：
平均数计算：
根据平均数的性质，若每个数据减去一个常数$c$，则新的平均数为原平均数减去该常数。
$新平均数 = \overline{a} - 2 = 4 - 2 = 2$，
方差计算：
根据方差的性质，若每个数据减去一个常数，方差不变。
$新方差 = s^2 = 3$。
对于数据$a_{1}-2$、$a_{2}-2$、$a_{3}-2$：
平均数计算：
根据平均数的性质，若每个数据减去一个常数$c$，则新的平均数为原平均数减去该常数。
$新平均数 = \overline{a} - 2 = 4 - 2 = 2$，
方差计算：
根据方差的性质，若每个数据减去一个常数，方差不变。
$新方差 = s^2 = 3$。
14. (2024·天津)为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间(单位:h),随机调查了该校八年级a名学生,根据统计的结果,绘制出如图①②所示的统计图.
请根据相关信息,解答问题:
(1) 填空:a的值为,图①中m的值为,统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为和;
(2) 统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数为.
请根据相关信息,解答问题:
(1) 填空:a的值为,图①中m的值为,统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为和;
(2) 统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数为.
答案
(1) 50；34；8；8
(2) 8.36
(2) 8.36
15. 已知一组数据$x_{1}$、$x_{2}$、…、$x_{6}$的平均数为1,方差为$\frac {5}{3}$.
(1) 求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+... +x_{6}^{2}$的值;
(2) 若在这组数据中加入另一个数据$x_{7}$,重新计算,平均数无变化,求这7个数据的方差.
(1) 求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+... +x_{6}^{2}$的值;
(2) 若在这组数据中加入另一个数据$x_{7}$,重新计算,平均数无变化,求这7个数据的方差.
答案
(1) 因为数据$x_{1},x_{2},\ldots,x_{6}$的平均数为1，所以$\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{6}}{6}=1$，即$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{6}=6$。
方差$s^{2}=\frac{1}{6}[(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}+\ldots+(x_{6}-1)^{2}]=\frac{5}{3}$，则$(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}+\ldots+(x_{6}-1)^{2}=10$。
展开得$x_{1}^{2}-2x_{1}+1+x_{2}^{2}-2x_{2}+1+\ldots+x_{6}^{2}-2x_{6}+1=10$，即$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{6}^{2})-2(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{6})+6=10$。
将$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{6}=6$代入，得$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{6}^{2})-2×6+6=10$，解得$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{6}^{2}=16$。
(2) 加入$x_{7}$后平均数仍为1，所以$\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{7}}{7}=1$，即$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{7}=7$，则$x_{7}=7-(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{6})=7-6=1$。
原6个数据的$(x_{i}-1)^{2}$之和为10，加入$x_{7}=1$后，新的$(x_{i}-1)^{2}$之和为$10+(1-1)^{2}=10$。
7个数据的方差为$\frac{1}{7}×10=\frac{10}{7}$。
(1) 16；(2) $\frac{10}{7}$
方差$s^{2}=\frac{1}{6}[(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}+\ldots+(x_{6}-1)^{2}]=\frac{5}{3}$，则$(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}+\ldots+(x_{6}-1)^{2}=10$。
展开得$x_{1}^{2}-2x_{1}+1+x_{2}^{2}-2x_{2}+1+\ldots+x_{6}^{2}-2x_{6}+1=10$，即$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{6}^{2})-2(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{6})+6=10$。
将$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{6}=6$代入，得$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{6}^{2})-2×6+6=10$，解得$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{6}^{2}=16$。
(2) 加入$x_{7}$后平均数仍为1，所以$\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{7}}{7}=1$，即$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{7}=7$，则$x_{7}=7-(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{6})=7-6=1$。
原6个数据的$(x_{i}-1)^{2}$之和为10，加入$x_{7}=1$后，新的$(x_{i}-1)^{2}$之和为$10+(1-1)^{2}=10$。
7个数据的方差为$\frac{1}{7}×10=\frac{10}{7}$。
(1) 16；(2) $\frac{10}{7}$
16. (2024·重庆A卷)为了解学生的安全知识掌握情况,某校举办了安全知识竞赛.现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分(成绩用x分表示,共分成四组:A.$60\lt x≤70$;B.$70\lt x≤80$;C.$80\lt x≤90$;D.$90\lt x≤100$),下面给出了部分信息:
七年级20名学生的竞赛成绩数据如下:66、67、68、68、75、83、84、86、86、86、86、87、87、89、95、95、96、98、98、100.
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据如下:81、82、84、87、88、89.
八年级所抽取学生竞赛成绩统计图
根据以上信息,解答下列问题:
(1) 上述图表中$a=$,$b=$,$m=$.
(2) 根据以上数据分析,你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好? 请说明理由(写出一条理由即可).
(3) 该校七年级有400名学生、八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛,估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛的成绩优秀( $90\lt x≤100$)的学生人数是多少.
七年级20名学生的竞赛成绩数据如下:66、67、68、68、75、83、84、86、86、86、86、87、87、89、95、95、96、98、98、100.
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据如下:81、82、84、87、88、89.
八年级所抽取学生竞赛成绩统计图
根据以上信息,解答下列问题:
(1) 上述图表中$a=$,$b=$,$m=$.
(2) 根据以上数据分析,你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好? 请说明理由(写出一条理由即可).
(3) 该校七年级有400名学生、八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛,估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛的成绩优秀( $90\lt x≤100$)的学生人数是多少.
答案
(1) 86；87.5；40
(2) 八年级较好，因为八年级成绩的中位数（87.5分）高于七年级（86分），说明八年级成绩的中间水平更高。
(3) 七年级优秀人数：400×(6÷20)=120（人）；八年级优秀人数：500×(8÷20)=200（人）；总优秀人数：120+200=320（人）。
