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1. 在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，$\odot A$的半径为2.下列说法中不正确的是（
A.当$a＜5$时，点B在$\odot A$内
B.当$1＜a＜5$时，点B在$\odot A$内
C.当$a＜1$时，点B在$\odot A$外
D.当$a＞5$时，点B在$\odot A$外
A
）A.当$a＜5$时，点B在$\odot A$内
B.当$1＜a＜5$时，点B在$\odot A$内
C.当$a＜1$时，点B在$\odot A$外
D.当$a＞5$时，点B在$\odot A$外
答案
1. A
解析
【分析】
要判断点B和⊙A的位置关系，首先回忆点与圆的位置关系判定规则：设圆半径为r，点到圆心的距离为d，d＜r时点在圆内，d=r时点在圆上，d＞r时点在圆外。本题中圆心A对应数轴上的3，半径为2，先求出点B分别在圆内、圆上、圆外时a的取值范围，再逐一比对选项即可找到错误说法。
【解析】
已知⊙A的圆心为点A（对应实数3），半径r=2，数轴上点B（对应实数a）到圆心A的距离为$\left|a-3\right|$。
根据点与圆的位置关系判定：
1. 若点B在⊙A内，则$\left|a-3\right|＜2$，解不等式得$1＜a＜5$；
2. 若点B在⊙A上，则$\left|a-3\right|=2$，解得$a=1$或$a=5$；
3. 若点B在⊙A外，则$\left|a-3\right|＞2$，解得$a＜1$或$a＞5$。
逐一分析选项：
A选项：当$a＜5$时，若$a＜1$，点B在⊙A外，并非一定在⊙A内，该说法错误；
B选项：当$1＜a＜5$时，满足$\left|a-3\right|＜2$，点B在⊙A内，说法正确；
C选项：当$a＜1$时，满足$\left|a-3\right|＞2$，点B在⊙A外，说法正确；
D选项：当$a＞5$时，满足$\left|a-3\right|＞2$，点B在⊙A外，说法正确。
综上，不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系、数轴两点距离计算、绝对值不等式求解
【点评】
本题结合数轴考查点与圆的位置关系，解题核心是将位置关系转化为数量关系（距离与半径的大小比较），求出参数的取值范围后再验证选项，注意分析范围时不要漏记边界和另一侧的取值情况。
【难度系数】
0.75
要判断点B和⊙A的位置关系，首先回忆点与圆的位置关系判定规则：设圆半径为r，点到圆心的距离为d，d＜r时点在圆内，d=r时点在圆上，d＞r时点在圆外。本题中圆心A对应数轴上的3，半径为2，先求出点B分别在圆内、圆上、圆外时a的取值范围，再逐一比对选项即可找到错误说法。
【解析】
已知⊙A的圆心为点A（对应实数3），半径r=2，数轴上点B（对应实数a）到圆心A的距离为$\left|a-3\right|$。
根据点与圆的位置关系判定：
1. 若点B在⊙A内，则$\left|a-3\right|＜2$，解不等式得$1＜a＜5$；
2. 若点B在⊙A上，则$\left|a-3\right|=2$，解得$a=1$或$a=5$；
3. 若点B在⊙A外，则$\left|a-3\right|＞2$，解得$a＜1$或$a＞5$。
逐一分析选项：
A选项：当$a＜5$时，若$a＜1$，点B在⊙A外，并非一定在⊙A内，该说法错误；
B选项：当$1＜a＜5$时，满足$\left|a-3\right|＜2$，点B在⊙A内，说法正确；
C选项：当$a＜1$时，满足$\left|a-3\right|＞2$，点B在⊙A外，说法正确；
D选项：当$a＞5$时，满足$\left|a-3\right|＞2$，点B在⊙A外，说法正确。
综上，不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系、数轴两点距离计算、绝对值不等式求解
【点评】
本题结合数轴考查点与圆的位置关系，解题核心是将位置关系转化为数量关系（距离与半径的大小比较），求出参数的取值范围后再验证选项，注意分析范围时不要漏记边界和另一侧的取值情况。
【难度系数】
0.75
2. 如图，$∠ ABC=80°$，$O$为射线$BC$上一点，以点$O$为圆心，$\frac{1}{2}OB$长为半径作$\odot O$，要使射线$BA$与$\odot O$相切，应将射线$BA$绕点$B$按顺时针方向旋转 （
A.$40°$或$80°$
B.$50°$或$100°$
C.$50°$或$110°$
D.$60°$或$120°$
C
）A.$40°$或$80°$
B.$50°$或$100°$
C.$50°$或$110°$
D.$60°$或$120°$
答案
2. C
解析
【分析】
解决本题首先要回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。射线BA绕B顺时针旋转后与⊙O相切存在两种情况，分别是切线在BC上方、切线在BC下方，需分类讨论求解。我们先通过切线与半径的垂直关系构造直角三角形，结合半径是OB的一半，求出切线与BC的夹角，再结合原∠ABC的度数，分别计算两种情况的旋转角度即可。
【解析】
设旋转后射线BA与$\odot O$相切于点D，连接OD，则$OD⊥ BD$（圆的切线垂直于过切点的半径）。
由题意得$OD=\frac{1}{2}OB$，在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，$\sin∠ OBD=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$，因此$∠ OBD=30°$。
分两种情况讨论：
1. 当切线在BC上方时：
原$∠ ABC=80°$，此时顺时针旋转的角度为$∠ ABC-∠ OBD=80°-30°=50°$；
2. 当切线在BC下方时：
此时顺时针旋转的角度为$∠ ABC+∠ OBD=80°+30°=110°$。
综上，应将射线BA绕点B顺时针旋转$50°$或$110°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易漏解，忽略切线在BC下方的情况，解题时要结合图形的可能性全面分析，同时要熟练掌握切线性质和特殊直角三角形的边角关系，是几何中典型的分类讨论类题型。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。射线BA绕B顺时针旋转后与⊙O相切存在两种情况，分别是切线在BC上方、切线在BC下方，需分类讨论求解。我们先通过切线与半径的垂直关系构造直角三角形，结合半径是OB的一半，求出切线与BC的夹角，再结合原∠ABC的度数，分别计算两种情况的旋转角度即可。
【解析】
设旋转后射线BA与$\odot O$相切于点D，连接OD，则$OD⊥ BD$（圆的切线垂直于过切点的半径）。
由题意得$OD=\frac{1}{2}OB$，在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，$\sin∠ OBD=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$，因此$∠ OBD=30°$。
分两种情况讨论：
1. 当切线在BC上方时：
原$∠ ABC=80°$，此时顺时针旋转的角度为$∠ ABC-∠ OBD=80°-30°=50°$；
2. 当切线在BC下方时：
此时顺时针旋转的角度为$∠ ABC+∠ OBD=80°+30°=110°$。
综上，应将射线BA绕点B顺时针旋转$50°$或$110°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易漏解，忽略切线在BC下方的情况，解题时要结合图形的可能性全面分析，同时要熟练掌握切线性质和特殊直角三角形的边角关系，是几何中典型的分类讨论类题型。
【难度系数】
0.6
3.（山西中考）如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D是$\odot O$上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则$∠ D$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
3. B
解析
【分析】
解题思路如下：首先由AB是$\odot O$的直径，可得弧AB是半圆，度数为$180°$；再结合$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，可求出弧AC的度数；最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，即可算出$∠ D$的度数。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$。
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数$=\frac{1}{2}×180°=90°$。
∵$∠ D$是$\odot O$的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，根据圆周角定理，
∴$∠ D=\frac{1}{2}×90°=45°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等弧性质，直径性质
【点评】
本题属于圆的基础性质考查题，熟练掌握圆周角与对应弧的度数关系、直径的相关特征，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先由AB是$\odot O$的直径，可得弧AB是半圆，度数为$180°$；再结合$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，可求出弧AC的度数；最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，即可算出$∠ D$的度数。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$。
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数$=\frac{1}{2}×180°=90°$。
∵$∠ D$是$\odot O$的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，根据圆周角定理，
∴$∠ D=\frac{1}{2}×90°=45°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等弧性质，直径性质
【点评】
本题属于圆的基础性质考查题，熟练掌握圆周角与对应弧的度数关系、直径的相关特征，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB=2$，以$B$为圆心、$BC$的长为半径画弧交$AB$于点$D$，以$A$为圆心、$AC$的长为半径画弧交$AB$于点$E$，则阴影部分的面积为（
A.$\dfrac{5π}{3} - 2\sqrt{3}$
B.$\dfrac{5π}{12} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{5π}{3} + 2\sqrt{3}$
D.$\dfrac{5π}{12} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D
）A.$\dfrac{5π}{3} - 2\sqrt{3}$
B.$\dfrac{5π}{12} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{5π}{3} + 2\sqrt{3}$
D.$\dfrac{5π}{12} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案
4. D
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知，阴影部分是两个扇形的重叠区域，因此阴影面积等于以B为圆心的扇形BCD面积、以A为圆心的扇形ACE面积之和减去Rt△ABC的面积。解题步骤为：首先利用直角三角形的性质和勾股定理求出△ABC的两个锐角角度、AC和BC的边长；其次分别计算两个扇形的面积和△ABC的面积；最后代入面积关系即可求出阴影面积。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB=2$，
$\therefore ∠ A=180°-90°-30°=60°$，$AC=\frac{1}{2}AB=1$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
扇形ACE的面积：$S_{扇形ACE}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}$，
扇形BCD的面积：$S_{扇形BCD}=\frac{30π × (\sqrt{3})^2}{360}=\frac{30π × 3}{360}=\frac{π}{4}$，
$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC × BC=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore$阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形ACE}+S_{扇形BCD}-S_{△ABC}=\frac{π}{6}+\frac{π}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5π}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算；含30°角的直角三角形性质；割补法求阴影面积
【点评】
本题属于阴影面积计算的常规题型，解题核心是通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积和差计算，需熟练掌握扇形面积公式和直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察图形可知，阴影部分是两个扇形的重叠区域，因此阴影面积等于以B为圆心的扇形BCD面积、以A为圆心的扇形ACE面积之和减去Rt△ABC的面积。解题步骤为：首先利用直角三角形的性质和勾股定理求出△ABC的两个锐角角度、AC和BC的边长；其次分别计算两个扇形的面积和△ABC的面积；最后代入面积关系即可求出阴影面积。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB=2$，
$\therefore ∠ A=180°-90°-30°=60°$，$AC=\frac{1}{2}AB=1$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
扇形ACE的面积：$S_{扇形ACE}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}$，
扇形BCD的面积：$S_{扇形BCD}=\frac{30π × (\sqrt{3})^2}{360}=\frac{30π × 3}{360}=\frac{π}{4}$，
$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC × BC=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore$阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形ACE}+S_{扇形BCD}-S_{△ABC}=\frac{π}{6}+\frac{π}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5π}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算；含30°角的直角三角形性质；割补法求阴影面积
【点评】
本题属于阴影面积计算的常规题型，解题核心是通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积和差计算，需熟练掌握扇形面积公式和直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
5. 如图，等边三角形ABC的周长为6π，半径为1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（
A.2周
B.3周
C.4周
D.5周
C
）A.2周
B.3周
C.4周
D.5周
答案
5. C
解析
【分析】
要解决圆沿等边三角形外侧滚动的自转周数问题，需分两部分计算：①圆沿三角形各边滚动时的自转周数；②圆经过三角形顶点时额外转动的周数。首先根据三角形周长算出边长，结合圆的周长算出沿边滚动的周数；再利用多边形外角和的性质算出顶点处转动的总角度，换算为周数后两部分相加即可得到总自转周数。
【解析】
1. 计算等边三角形的边长：已知等边$△ ABC$周长为$6π$，因此每条边长为$6π ÷ 3 = 2π$。
2. 计算$\odot O$的周长：$\odot O$半径$r=1$，根据圆的周长公式$C=2π r$，得$\odot O$周长为$2π × 1 = 2π$。
3. 计算沿三边滚动的自转周数：圆沿一条边滚动时，滚动距离等于边长，因此每条边对应的自转周数为$2π ÷ 2π =1$周，三条边共自转$3 × 1 = 3$周。
4. 计算顶点处额外自转的周数：等边三角形每个内角为$60°$，因此每个外角为$180° -60°=120°$，凸多边形外角和恒为$360°$，即三个外角总和为$360°$，对应自转周数为$360° ÷ 360° =1$周。
5. 总自转周数：$3+1=4$周。
【答案】
C
【知识点】
圆的周长计算；多边形外角和；圆的滚动规律
【点评】
本题是圆滚动类的典型题型，解题的核心是不要忽略圆经过多边形顶点时额外转动的周数，仅计算沿边滚动的周数是常见的失分原因。
【难度系数】
0.6
要解决圆沿等边三角形外侧滚动的自转周数问题，需分两部分计算：①圆沿三角形各边滚动时的自转周数；②圆经过三角形顶点时额外转动的周数。首先根据三角形周长算出边长，结合圆的周长算出沿边滚动的周数；再利用多边形外角和的性质算出顶点处转动的总角度，换算为周数后两部分相加即可得到总自转周数。
【解析】
1. 计算等边三角形的边长：已知等边$△ ABC$周长为$6π$，因此每条边长为$6π ÷ 3 = 2π$。
2. 计算$\odot O$的周长：$\odot O$半径$r=1$，根据圆的周长公式$C=2π r$，得$\odot O$周长为$2π × 1 = 2π$。
3. 计算沿三边滚动的自转周数：圆沿一条边滚动时，滚动距离等于边长，因此每条边对应的自转周数为$2π ÷ 2π =1$周，三条边共自转$3 × 1 = 3$周。
4. 计算顶点处额外自转的周数：等边三角形每个内角为$60°$，因此每个外角为$180° -60°=120°$，凸多边形外角和恒为$360°$，即三个外角总和为$360°$，对应自转周数为$360° ÷ 360° =1$周。
5. 总自转周数：$3+1=4$周。
【答案】
C
【知识点】
圆的周长计算；多边形外角和；圆的滚动规律
【点评】
本题是圆滚动类的典型题型，解题的核心是不要忽略圆经过多边形顶点时额外转动的周数，仅计算沿边滚动的周数是常见的失分原因。
【难度系数】
0.6
