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7. 如图，在$\odot O$中，直径$AB=10$，弦$CD// AB$，$CD=\sqrt{2}OB$，连接$CB$，$DB$，求阴影部分的面积. 
答案
7. 解：连接OC,OD，
∵ $CD // AB$，
∴ $S_{△ BCD} = S_{△ OCD}$，
∴ $S_{阴影}=S_{扇形COD}$。
∵ $CD=\sqrt{2}OB$，直径AB=10，
∴ $CD=5\sqrt{2}$，OC=OD=OB=5。
∵ $OC^2 + OD^2 = 50 = CD^2$，
∴ $∠COD = 90°$。
∴ $S_{阴影}=S_{扇形COD}=\frac{90π×5^2}{360}=\frac{25}{4}π$。
∵ $CD // AB$，
∴ $S_{△ BCD} = S_{△ OCD}$，
∴ $S_{阴影}=S_{扇形COD}$。
∵ $CD=\sqrt{2}OB$，直径AB=10，
∴ $CD=5\sqrt{2}$，OC=OD=OB=5。
∵ $OC^2 + OD^2 = 50 = CD^2$，
∴ $∠COD = 90°$。
∴ $S_{阴影}=S_{扇形COD}=\frac{90π×5^2}{360}=\frac{25}{4}π$。
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察可知阴影为不规则图形，直接计算难度较高，可采用等积转化的思路求解：首先由CD平行AB，可得点B和点O到弦CD的距离相等，因此同底CD的△BCD和△OCD面积相等，即可将阴影面积转化为扇形COD的面积。接下来只需计算扇形COD的相关参数：由直径长度得半径为5，结合CD与OB的数量关系求出CD的长度，再用勾股定理逆定理判断△COD的形状，得到圆心角∠COD的度数，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OC、OD。
∵ $CD // AB$，
∴ 点B和点O到CD的距离相等，$△ BCD$与$△ OCD$同底等高，因此$S_{△ BCD}=S_{△ OCD}$，
∴ $S_{阴影}=S_{扇形COD}$。
∵ 直径$AB=10$，
∴ $OC=OD=OB=5$，
又
∵ $CD=\sqrt{2}OB$，
∴ $CD=\sqrt{2} × 5=5\sqrt{2}$。
在$△ COD$中，$OC^2+OD^2=5^2+5^2=50$，$CD^2=(5\sqrt{2})^2=50$，
∴ $OC^2+OD^2=CD^2$，由勾股定理逆定理可得$∠ COD=90°$。
代入扇形面积公式：
$S_{阴影}=S_{扇形COD}=\frac{90π × 5^2}{360}=\frac{25}{4}π$。
【答案】
$\frac{25}{4}π$
【知识点】
等积转化法，扇形面积计算，勾股定理逆定理
【点评】
本题是圆中不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是利用平行线的性质完成等积转化，将难以直接计算的阴影面积转化为规则的扇形面积，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察可知阴影为不规则图形，直接计算难度较高，可采用等积转化的思路求解：首先由CD平行AB，可得点B和点O到弦CD的距离相等，因此同底CD的△BCD和△OCD面积相等，即可将阴影面积转化为扇形COD的面积。接下来只需计算扇形COD的相关参数：由直径长度得半径为5，结合CD与OB的数量关系求出CD的长度，再用勾股定理逆定理判断△COD的形状，得到圆心角∠COD的度数，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OC、OD。
∵ $CD // AB$，
∴ 点B和点O到CD的距离相等，$△ BCD$与$△ OCD$同底等高，因此$S_{△ BCD}=S_{△ OCD}$，
∴ $S_{阴影}=S_{扇形COD}$。
∵ 直径$AB=10$，
∴ $OC=OD=OB=5$，
又
∵ $CD=\sqrt{2}OB$，
∴ $CD=\sqrt{2} × 5=5\sqrt{2}$。
在$△ COD$中，$OC^2+OD^2=5^2+5^2=50$，$CD^2=(5\sqrt{2})^2=50$，
∴ $OC^2+OD^2=CD^2$，由勾股定理逆定理可得$∠ COD=90°$。
代入扇形面积公式：
$S_{阴影}=S_{扇形COD}=\frac{90π × 5^2}{360}=\frac{25}{4}π$。
【答案】
$\frac{25}{4}π$
【知识点】
等积转化法，扇形面积计算，勾股定理逆定理
【点评】
本题是圆中不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是利用平行线的性质完成等积转化，将难以直接计算的阴影面积转化为规则的扇形面积，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
8. 如图,半圆O的直径AB=20,将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O',与AB交于点P.
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积.
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积.
答案
8. 解:(1)
∵ $∠OBA'=45°$，O'P=O'B，
∴ $△ O'PB$ 是等腰直角三角形.
∵ AB=20，
∴ $PB=\sqrt{2} BO' = 10\sqrt{2}$.
∴ $AP=AB-BP=20-10\sqrt{2}$；
(2) 阴影部分面积为 $S_{阴影}=S_{扇形O'A'P}+S_{△ O'PB}=\frac{1}{4}×π×10^2 + 10×10×\frac{1}{2}=25π+50$.
∵ $∠OBA'=45°$，O'P=O'B，
∴ $△ O'PB$ 是等腰直角三角形.
∵ AB=20，
∴ $PB=\sqrt{2} BO' = 10\sqrt{2}$.
∴ $AP=AB-BP=20-10\sqrt{2}$；
(2) 阴影部分面积为 $S_{阴影}=S_{扇形O'A'P}+S_{△ O'PB}=\frac{1}{4}×π×10^2 + 10×10×\frac{1}{2}=25π+50$.
解析
【分析】
（1）第一问先利用旋转的性质，可知旋转后半圆半径不变，得到$O'P=O'B$，结合旋转角为$45°$，可判断$△ O'PB$是等腰直角三角形，先求出$PB$的长度，再用$AB$的长度减去$PB$即可得到$AP$的长。
（2）第二问利用割补法转化阴影部分面积：由于两个半圆面积相等，空白弓形$PB$的面积在两个半圆中是相等的，因此阴影部分面积可转化为圆心角为$90°$的扇形$O'A'P$面积与等腰直角$△ O'PB$的面积之和，分别计算两部分面积相加即可。
【解析】
（1）$\because$ 半圆$O$绕点$B$顺时针旋转$45°$得到半圆$O'$，
$\therefore$ 半圆$O'$与半圆$O$半径相等，$∠ OBA'=45°$，$O'P=O'B$，
$\because AB=20$，$\therefore O'B=O'P=\frac{1}{2}AB=10$，
$\therefore △ O'PB$为等腰直角三角形，
由勾股定理得：$PB=\sqrt{O'P^2+O'B^2}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}$，
$\therefore AP=AB-PB=20-10\sqrt{2}$。
（2）$\because △ O'PB$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ PO'B=90°$，
$\therefore ∠ A'O'P=180°-∠ PO'B=90°$，
根据图形面积的等量关系：$S_{阴影}=S_{半圆O}-S_{弓形PB}$，且$S_{半圆O}=S_{半圆O'}$，$S_{弓形PB}$为两个半圆的公共空白部分，
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形O'A'P}+S_{△ O'PB}$，
其中$S_{扇形O'A'P}=\frac{90°}{360°}×π×10^2=25π$，
$S_{△ O'PB}=\frac{1}{2}×10×10=50$，
$\therefore S_{阴影}=25π+50$。
【答案】
(1) $AP=20-10\sqrt{2}$；
(2) 阴影部分面积为$25π+50$。
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用旋转的不变性得到相等的线段和角度，对于不规则图形的面积，要学会通过割补法将其转化为规则图形面积的和差来计算，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.65
（1）第一问先利用旋转的性质，可知旋转后半圆半径不变，得到$O'P=O'B$，结合旋转角为$45°$，可判断$△ O'PB$是等腰直角三角形，先求出$PB$的长度，再用$AB$的长度减去$PB$即可得到$AP$的长。
（2）第二问利用割补法转化阴影部分面积：由于两个半圆面积相等，空白弓形$PB$的面积在两个半圆中是相等的，因此阴影部分面积可转化为圆心角为$90°$的扇形$O'A'P$面积与等腰直角$△ O'PB$的面积之和，分别计算两部分面积相加即可。
【解析】
（1）$\because$ 半圆$O$绕点$B$顺时针旋转$45°$得到半圆$O'$，
$\therefore$ 半圆$O'$与半圆$O$半径相等，$∠ OBA'=45°$，$O'P=O'B$，
$\because AB=20$，$\therefore O'B=O'P=\frac{1}{2}AB=10$，
$\therefore △ O'PB$为等腰直角三角形，
由勾股定理得：$PB=\sqrt{O'P^2+O'B^2}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}$，
$\therefore AP=AB-PB=20-10\sqrt{2}$。
（2）$\because △ O'PB$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ PO'B=90°$，
$\therefore ∠ A'O'P=180°-∠ PO'B=90°$，
根据图形面积的等量关系：$S_{阴影}=S_{半圆O}-S_{弓形PB}$，且$S_{半圆O}=S_{半圆O'}$，$S_{弓形PB}$为两个半圆的公共空白部分，
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形O'A'P}+S_{△ O'PB}$，
其中$S_{扇形O'A'P}=\frac{90°}{360°}×π×10^2=25π$，
$S_{△ O'PB}=\frac{1}{2}×10×10=50$，
$\therefore S_{阴影}=25π+50$。
【答案】
(1) $AP=20-10\sqrt{2}$；
(2) 阴影部分面积为$25π+50$。
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用旋转的不变性得到相等的线段和角度，对于不规则图形的面积，要学会通过割补法将其转化为规则图形面积的和差来计算，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.65
9. 如图，$△ ABC$的三条边长都是4 cm，分别以线段AB，BC，CA的中点D，E，F为圆心，2 cm为半径画半圆，求阴影部分的周长和面积。
答案
9. 解:如图,连接DE,DF,EF,由题意可知,阴影部分的周长相当于 $\overset{\frown}{AD}$ 弧长的9倍,即$\frac{60π×2}{180}×9=6π(cm)$;阴影部分的面积相当于扇形FAD面积的3倍,即$\frac{60π×2^2}{360}×3=2π(cm^2)$. 答:阴影部分的周长为 6π cm,面积为$2π cm^2$.
解析
【分析】
首先判断△ABC是边长为4cm的等边三角形，其内角均为60°，D、E、F为三边中点，因此三个半圆的半径均为2cm。求阴影周长时，先观察所有阴影的边缘都是半径为2cm的圆弧，每个圆弧对应的圆心角为60°，数出圆弧总段数即可计算总周长；求阴影面积时，利用割补法，将分散的阴影拼接转化为规则的扇形面积之和，即可简化运算。
【解析】
连接DE、DF、EF，由题意可知△ABC为等边三角形，边长为4cm，故∠A=∠B=∠C=60°，且D、E、F为各边中点，因此AD=DB=BE=EC=CF=FA=2cm，即三个半圆的半径均为2cm。
1. 计算阴影周长：
单段圆心角为60°、半径为2cm的弧长为：$\frac{nπr}{180}=\frac{60π×2}{180}$，
观察图形可知阴影部分总共有9段这样的圆弧，因此总周长为：$\frac{60π×2}{180}×9=6π(cm)$。
2. 计算阴影面积：
通过割补平移，阴影部分面积等价于3个圆心角为60°、半径为2cm的扇形面积之和，
单个扇形面积为：$\frac{nπr^2}{360}=\frac{60π×2^2}{360}$，
因此总面积为：$\frac{60π×2^2}{360}×3=2π(cm^2)$。
【答案】
阴影部分的周长为 6π cm，面积为$2π cm^2$。
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形的周长和面积计算，解题核心是通过观察图形特征，将不规则部分转化为熟悉的圆弧、扇形等规则图形计算，很好地体现了几何中的转化思想。
【难度系数】
0.65
首先判断△ABC是边长为4cm的等边三角形，其内角均为60°，D、E、F为三边中点，因此三个半圆的半径均为2cm。求阴影周长时，先观察所有阴影的边缘都是半径为2cm的圆弧，每个圆弧对应的圆心角为60°，数出圆弧总段数即可计算总周长；求阴影面积时，利用割补法，将分散的阴影拼接转化为规则的扇形面积之和，即可简化运算。
【解析】
连接DE、DF、EF，由题意可知△ABC为等边三角形，边长为4cm，故∠A=∠B=∠C=60°，且D、E、F为各边中点，因此AD=DB=BE=EC=CF=FA=2cm，即三个半圆的半径均为2cm。
1. 计算阴影周长：
单段圆心角为60°、半径为2cm的弧长为：$\frac{nπr}{180}=\frac{60π×2}{180}$，
观察图形可知阴影部分总共有9段这样的圆弧，因此总周长为：$\frac{60π×2}{180}×9=6π(cm)$。
2. 计算阴影面积：
通过割补平移，阴影部分面积等价于3个圆心角为60°、半径为2cm的扇形面积之和，
单个扇形面积为：$\frac{nπr^2}{360}=\frac{60π×2^2}{360}$，
因此总面积为：$\frac{60π×2^2}{360}×3=2π(cm^2)$。
【答案】
阴影部分的周长为 6π cm，面积为$2π cm^2$。
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形的周长和面积计算，解题核心是通过观察图形特征，将不规则部分转化为熟悉的圆弧、扇形等规则图形计算，很好地体现了几何中的转化思想。
【难度系数】
0.65
10. 如图，AB为$\odot O$的直径，射线AD交$\odot O$于点F，点C为劣弧$\overset{\frown}{BF}$的中点，连接AC。若$∠ BAC=30°$，$AB=4$，则阴影部分的面积为 （
A.$\dfrac{2π}{3}$
B.$π$
C.$\dfrac{4π}{3}$
D.$\dfrac{5π}{3}$
A
）A.$\dfrac{2π}{3}$
B.$π$
C.$\dfrac{4π}{3}$
D.$\dfrac{5π}{3}$
答案
10. A
解析
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法转化为规则图形面积计算。首先根据已知条件连接辅助线OC、OF，利用圆周角定理求出相关圆心角的度数，再结合C是劣弧BF中点的性质，推导得到AF与OC平行，利用等积变换即可将阴影面积转化为扇形FOC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OC、OF。
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=4$，
∴$\odot O$的半径$r=2$，即$OA=OB=OC=OF=2$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$∠BAC=30°$，
∴$∠BOC=2∠BAC=60°$。
∵点C为劣弧$\overset{\frown}{BF}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CF}$，
∴$∠COF=∠BOC=60°$。
∵$∠AOF=180°-∠COF-∠BOC=60°$，$OA=OF$，
∴$△ AOF$是等边三角形，$∠OAF=60°$，
∴$∠OAF=∠BOC=60°$，
∴$AF// OC$（同位角相等，两直线平行），
∴AF与OC之间的距离处处相等，因此$△ AFC$和$△ OFC$同底等高，$S_{△ AFC}=S_{△ OFC}$。
∴阴影部分面积 = $S_{△ AFC} + S_{弓形FC} = S_{△ OFC} + S_{弓形FC} = S_{扇形FOC}$。
代入扇形面积公式：$S_{扇形FOC}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π × 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，等积变换求面积
【点评】
本题是圆中阴影面积计算的常规题型，解题核心是通过辅助线结合圆的性质实现等积变换，将不规则图形面积转化为熟悉的扇形面积求解，对图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法转化为规则图形面积计算。首先根据已知条件连接辅助线OC、OF，利用圆周角定理求出相关圆心角的度数，再结合C是劣弧BF中点的性质，推导得到AF与OC平行，利用等积变换即可将阴影面积转化为扇形FOC的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OC、OF。
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=4$，
∴$\odot O$的半径$r=2$，即$OA=OB=OC=OF=2$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$∠BAC=30°$，
∴$∠BOC=2∠BAC=60°$。
∵点C为劣弧$\overset{\frown}{BF}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CF}$，
∴$∠COF=∠BOC=60°$。
∵$∠AOF=180°-∠COF-∠BOC=60°$，$OA=OF$，
∴$△ AOF$是等边三角形，$∠OAF=60°$，
∴$∠OAF=∠BOC=60°$，
∴$AF// OC$（同位角相等，两直线平行），
∴AF与OC之间的距离处处相等，因此$△ AFC$和$△ OFC$同底等高，$S_{△ AFC}=S_{△ OFC}$。
∴阴影部分面积 = $S_{△ AFC} + S_{弓形FC} = S_{△ OFC} + S_{弓形FC} = S_{扇形FOC}$。
代入扇形面积公式：$S_{扇形FOC}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π × 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，等积变换求面积
【点评】
本题是圆中阴影面积计算的常规题型，解题核心是通过辅助线结合圆的性质实现等积变换，将不规则图形面积转化为熟悉的扇形面积求解，对图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. 如图，AB和AC分别为两个半圆的直径，且AB=AC=5 cm，∠BAC=60°，求阴影部分的面积。
第11题
第11题答案
11. 解:
∵ 阴影部分的面积=以AC为直径的半圆的面积+扇形BAC的面积−以AB为直径的半圆的面积=扇形BAC的面积，
∴ 阴影部分的面积=$\frac{60}{360}×π×5^2=\frac{25π}{6}(cm^2)$.
∵ 阴影部分的面积=以AC为直径的半圆的面积+扇形BAC的面积−以AB为直径的半圆的面积=扇形BAC的面积，
∴ 阴影部分的面积=$\frac{60}{360}×π×5^2=\frac{25π}{6}(cm^2)$.
解析
【分析】
本题是求不规则阴影部分的面积，直接计算无法求解，可采用割补转化的思路解题。首先观察图形特征：以AC、AB为直径的两个半圆直径均为5cm，因此两个半圆面积相等。阴影部分的面积可表示为“以AC为直径的半圆的面积+扇形BAC的面积-以AB为直径的半圆的面积”，两个半圆面积抵消后，阴影面积就等于扇形BAC的面积，只需代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ AB=AC=5cm，
∴ 以AC为直径的半圆的面积和以AB为直径的半圆的面积相等。
阴影部分的面积 = 以AC为直径的半圆的面积 + 扇形BAC的面积 - 以AB为直径的半圆的面积 = 扇形BAC的面积
根据扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=60°，r=5cm得：
$S_{阴影}=\frac{60}{360}×π×5^2=\frac{25π}{6}(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{25π}{6}\mathrm{cm}^2$
【知识点】
扇形面积计算，割补法求阴影面积，圆的面积计算
【点评】
本题是与圆有关的阴影面积求解的典型题型，核心是利用割补转化思想，将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积计算，巧妙利用两个等直径半圆面积相等的特点简化了运算。
【难度系数】
0.6
本题是求不规则阴影部分的面积，直接计算无法求解，可采用割补转化的思路解题。首先观察图形特征：以AC、AB为直径的两个半圆直径均为5cm，因此两个半圆面积相等。阴影部分的面积可表示为“以AC为直径的半圆的面积+扇形BAC的面积-以AB为直径的半圆的面积”，两个半圆面积抵消后，阴影面积就等于扇形BAC的面积，只需代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ AB=AC=5cm，
∴ 以AC为直径的半圆的面积和以AB为直径的半圆的面积相等。
阴影部分的面积 = 以AC为直径的半圆的面积 + 扇形BAC的面积 - 以AB为直径的半圆的面积 = 扇形BAC的面积
根据扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=60°，r=5cm得：
$S_{阴影}=\frac{60}{360}×π×5^2=\frac{25π}{6}(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{25π}{6}\mathrm{cm}^2$
【知识点】
扇形面积计算，割补法求阴影面积，圆的面积计算
【点评】
本题是与圆有关的阴影面积求解的典型题型，核心是利用割补转化思想，将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积计算，巧妙利用两个等直径半圆面积相等的特点简化了运算。
【难度系数】
0.6
