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1. 对于一组数据:80,88,85,85,83,83,84,有下列说法:① 这组数据的平均数是84;② 这组数据的众数是85;③ 这组数据的中位数是84;④ 这组数据的方差是36.其中错误的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
解析
【分析】
要判断四个说法的正误，需依次计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，再统计错误说法的数量即可得到答案。解题时首先将数据从小到大排序，方便后续找众数和中位数，再根据各统计量的定义分别计算验证即可。
【解析】
首先将这组数据从小到大排列：80，83，83，84，85，85，88，共7个数据。
①计算平均数：
总和 $= 80+83+83+84+85+85+88 = 588$
平均数 $= 588÷7 = 84$，故①说法正确；
②找众数：
83和85都出现了2次，出现次数最多，因此众数是83和85，不是只有85，故②说法错误；
③找中位数：
7个数据的中位数是排序后第4个数据，即84，故③说法正确；
④计算方差：
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
代入数据得：
$s^2=\frac{1}{7}[(80-84)^2+2×(83-84)^2+(84-84)^2+2×(85-84)^2+(88-84)^2]$
$=\frac{1}{7}(16+2×1+0+2×1+16)=\frac{36}{7}\approx5.14≠36$，故④说法错误。
综上，错误的说法是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
平均数、众数与中位数，方差的计算
【点评】
本题考查基础统计量的判断，解题核心是准确掌握各统计量的定义，需注意众数可以有多个，计算方差时不要遗漏除以数据总个数的步骤。
【难度系数】
0.7
要判断四个说法的正误，需依次计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，再统计错误说法的数量即可得到答案。解题时首先将数据从小到大排序，方便后续找众数和中位数，再根据各统计量的定义分别计算验证即可。
【解析】
首先将这组数据从小到大排列：80，83，83，84，85，85，88，共7个数据。
①计算平均数：
总和 $= 80+83+83+84+85+85+88 = 588$
平均数 $= 588÷7 = 84$，故①说法正确；
②找众数：
83和85都出现了2次，出现次数最多，因此众数是83和85，不是只有85，故②说法错误；
③找中位数：
7个数据的中位数是排序后第4个数据，即84，故③说法正确；
④计算方差：
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
代入数据得：
$s^2=\frac{1}{7}[(80-84)^2+2×(83-84)^2+(84-84)^2+2×(85-84)^2+(88-84)^2]$
$=\frac{1}{7}(16+2×1+0+2×1+16)=\frac{36}{7}\approx5.14≠36$，故④说法错误。
综上，错误的说法是②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
平均数、众数与中位数，方差的计算
【点评】
本题考查基础统计量的判断，解题核心是准确掌握各统计量的定义，需注意众数可以有多个，计算方差时不要遗漏除以数据总个数的步骤。
【难度系数】
0.7
2. 在对一组样本数据进行分析时，佳琪列出了方差的计算公式：$s^2 = \frac{(1-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (6-4)^2 + (6-4)^2}{5}$，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（
A.样本的平均数是4
B.样本的众数是4
C.样本的中位数是4
D.样本的总数$n=5$
B
）A.样本的平均数是4
B.样本的众数是4
C.样本的中位数是4
D.样本的总数$n=5$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的计算公式结构：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是样本容量，$\overline{x}$是样本平均数，$x_1、x_2\dots x_n$是样本数据。我们先从题目给出的方差公式中提取出对应的样本数据、样本容量、平均数，再依次计算众数、中位数，逐一判断选项的正误即可。
【解析】
根据方差公式的特征，可得：
样本数据为：1，3，4，6，6，样本总数$n=5$，样本平均数$\overline{x}=4$。
逐一判断选项：
A. 样本的平均数是4，符合提取的信息，说法正确；
B. 样本中6出现2次，出现次数最多，所以样本的众数是6，不是4，说法错误；
C. 将样本数据从小到大排序为：1，3，4，6，6，共5个数据，中位数是第3个数据，即4，说法正确；
D. 由方差公式分母为5，可知样本总数$n=5$，说法正确。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
方差的概念，众数，中位数
【点评】
本题核心考查对方差公式的识别理解，以及平均数、众数、中位数、样本容量的基础计算，解题的关键是能从方差公式中准确提取样本相关信息，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆方差的计算公式结构：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是样本容量，$\overline{x}$是样本平均数，$x_1、x_2\dots x_n$是样本数据。我们先从题目给出的方差公式中提取出对应的样本数据、样本容量、平均数，再依次计算众数、中位数，逐一判断选项的正误即可。
【解析】
根据方差公式的特征，可得：
样本数据为：1，3，4，6，6，样本总数$n=5$，样本平均数$\overline{x}=4$。
逐一判断选项：
A. 样本的平均数是4，符合提取的信息，说法正确；
B. 样本中6出现2次，出现次数最多，所以样本的众数是6，不是4，说法错误；
C. 将样本数据从小到大排序为：1，3，4，6，6，共5个数据，中位数是第3个数据，即4，说法正确；
D. 由方差公式分母为5，可知样本总数$n=5$，说法正确。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
方差的概念，众数，中位数
【点评】
本题核心考查对方差公式的识别理解，以及平均数、众数、中位数、样本容量的基础计算，解题的关键是能从方差公式中准确提取样本相关信息，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 一组数据9.9、9.8、10.1、10.4、9.8的方差是
0.052
.答案
3. 0.052
解析
【分析】
要计算一组数据的方差，首先回忆方差的计算逻辑：第一步先计算这组数据的平均数，第二步将每个数据与平均数作差，对差取平方后求和，最后用所得的和除以数据的总个数，即可得到方差，按照该步骤逐步计算即可。
【解析】
1. 计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{9.9+9.8+10.1+10.4+9.8}{5}=\frac{50}{5}=10$
2. 代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(9.9-10)^2+(9.8-10)^2+(10.1-10)^2+(10.4-10)^2+(9.8-10)^2]\\&=\frac{1}{5}[(-0.1)^2+(-0.2)^2+0.1^2+0.4^2+(-0.2)^2]\\&=\frac{1}{5}(0.01+0.04+0.01+0.16+0.04)\\&=\frac{1}{5}×0.26\\&=0.052\end{aligned}$
【答案】
0.052
【知识点】
方差计算；平均数计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查方差的计算方法，只要牢记计算步骤，计算时细心避免算术错误即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
要计算一组数据的方差，首先回忆方差的计算逻辑：第一步先计算这组数据的平均数，第二步将每个数据与平均数作差，对差取平方后求和，最后用所得的和除以数据的总个数，即可得到方差，按照该步骤逐步计算即可。
【解析】
1. 计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{9.9+9.8+10.1+10.4+9.8}{5}=\frac{50}{5}=10$
2. 代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(9.9-10)^2+(9.8-10)^2+(10.1-10)^2+(10.4-10)^2+(9.8-10)^2]\\&=\frac{1}{5}[(-0.1)^2+(-0.2)^2+0.1^2+0.4^2+(-0.2)^2]\\&=\frac{1}{5}(0.01+0.04+0.01+0.16+0.04)\\&=\frac{1}{5}×0.26\\&=0.052\end{aligned}$
【答案】
0.052
【知识点】
方差计算；平均数计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查方差的计算方法，只要牢记计算步骤，计算时细心避免算术错误即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
4. 植树节时，九年级(2)班6个小组的植树棵数分别是5、7、3、x、6、4，已知这组数据的众数是5，则该组数据的方差为
$\frac{5}{3}$
。答案
4. $\frac{5}{3}$
解析
【分析】
解题时可分三步进行：第一步，根据众数的定义确定x的值：众数是一组数据中出现次数最多的数，现有数据5、7、3、6、4均只出现1次，要使众数为5，那么x必须等于5；第二步，计算这组数据的平均数，为计算方差做准备；第三步，代入方差的计算公式，求出最终的方差结果即可。
【解析】
解：
∵这组数据的众数是5，而现有数据中5、7、3、6、4都只出现1次
∴x=5，此时这组数据为3，4，5，5，6，7
先计算这组数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{3+4+5+5+6+7}{6}=\frac{30}{6}=5$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$s^2=\frac{1}{6}[(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2]$
$=\frac{1}{6}×(4+1+0+0+1+4)$
$=\frac{1}{6}×10=\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
众数的定义；平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题考查统计中众数、方差的相关计算，解题的核心是先根据众数的定义求出未知数据x的值，再结合平均数、方差的公式逐步计算，只要熟练掌握相关概念和计算公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时可分三步进行：第一步，根据众数的定义确定x的值：众数是一组数据中出现次数最多的数，现有数据5、7、3、6、4均只出现1次，要使众数为5，那么x必须等于5；第二步，计算这组数据的平均数，为计算方差做准备；第三步，代入方差的计算公式，求出最终的方差结果即可。
【解析】
解：
∵这组数据的众数是5，而现有数据中5、7、3、6、4都只出现1次
∴x=5，此时这组数据为3，4，5，5，6，7
先计算这组数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{3+4+5+5+6+7}{6}=\frac{30}{6}=5$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$s^2=\frac{1}{6}[(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2]$
$=\frac{1}{6}×(4+1+0+0+1+4)$
$=\frac{1}{6}×10=\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
众数的定义；平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题考查统计中众数、方差的相关计算，解题的核心是先根据众数的定义求出未知数据x的值，再结合平均数、方差的公式逐步计算，只要熟练掌握相关概念和计算公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
5. 下表是甲、乙两名同学近五次数学测试(满分为100分)的成绩(单位:分)统计表: 
根据上表数据,成绩较好且比较稳定的同学是
根据上表数据,成绩较好且比较稳定的同学是乙
.答案
5. 乙
解析
【分析】
要判断成绩较好且更稳定的同学，需分别从整体成绩水平和成绩稳定性两方面分析：首先计算两人的平均成绩，平均成绩更高的整体成绩更好；再计算方差，方差越小说明成绩波动越小、稳定性越强，结合两项数据的比较结果即可得出结论。
【解析】
步骤1：计算甲、乙两人的平均成绩
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{90+88+92+94+91}{5}=\frac{455}{5}=91$（分）
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{90+91+93+94+92}{5}=\frac{460}{5}=92$（分）
由此可知乙的平均成绩更高，整体成绩更好。
步骤2：计算甲、乙两人成绩的方差，比较稳定性
方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
甲的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}[(90-91)^2+(88-91)^2+(92-91)^2+(94-91)^2+(91-91)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+9+1+9+0)=\frac{20}{5}=4$
乙的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{5}[(90-92)^2+(91-92)^2+(93-92)^2+(94-92)^2+(92-92)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+1+4+0)=\frac{10}{5}=2$
因为$s^2_乙＜s^2_甲$，所以乙的成绩更稳定。
综上，成绩较好且比较稳定的同学是乙。
【答案】
乙
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题考查平均数和方差在实际数据分析中的应用，解题的核心是明确平均数反映数据的整体水平，方差反映数据的波动程度，熟练掌握两个统计量的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断成绩较好且更稳定的同学，需分别从整体成绩水平和成绩稳定性两方面分析：首先计算两人的平均成绩，平均成绩更高的整体成绩更好；再计算方差，方差越小说明成绩波动越小、稳定性越强，结合两项数据的比较结果即可得出结论。
【解析】
步骤1：计算甲、乙两人的平均成绩
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{90+88+92+94+91}{5}=\frac{455}{5}=91$（分）
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{90+91+93+94+92}{5}=\frac{460}{5}=92$（分）
由此可知乙的平均成绩更高，整体成绩更好。
步骤2：计算甲、乙两人成绩的方差，比较稳定性
方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
甲的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}[(90-91)^2+(88-91)^2+(92-91)^2+(94-91)^2+(91-91)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+9+1+9+0)=\frac{20}{5}=4$
乙的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{5}[(90-92)^2+(91-92)^2+(93-92)^2+(94-92)^2+(92-92)^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+1+4+0)=\frac{10}{5}=2$
因为$s^2_乙＜s^2_甲$，所以乙的成绩更稳定。
综上，成绩较好且比较稳定的同学是乙。
【答案】
乙
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题考查平均数和方差在实际数据分析中的应用，解题的核心是明确平均数反映数据的整体水平，方差反映数据的波动程度，熟练掌握两个统计量的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位:cm)如下:
甲:170 165 168 169 172 173 168 167
乙:163 174 173 162 163 171 170 176
(1) 甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少?
(2) 哪名运动员的成绩更为稳定? 为什么?
(3) 若预测跳过165 cm就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛?为什么?若预测跳过170 cm才能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛?为什么?
课后作业 KEHOUZUOYE ★★★★★
甲:170 165 168 169 172 173 168 167
乙:163 174 173 162 163 171 170 176
(1) 甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少?
(2) 哪名运动员的成绩更为稳定? 为什么?
(3) 若预测跳过165 cm就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛?为什么?若预测跳过170 cm才能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛?为什么?
课后作业 KEHOUZUOYE ★★★★★
答案
6. 解：
(1) $\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(170+165+168+169+172+173+168+167)=169(\mathrm{cm})$，$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(163+174+173+162+163+171+170+176)=169(\mathrm{cm})$；
(2) $s_甲^2=6\ \mathrm{cm}^2$，$s_乙^2=27\ \mathrm{cm}^2$，
∴ 甲运动员的成绩更为稳定；
(3) 若跳过 165 cm 就很可能获得冠军，则在8次成绩中，甲有8次都跳过了 165 cm(含 165 cm)，而乙只有5次，所以应选甲参赛；若跳过 170 cm 才能获得冠军，则在8次成绩中，甲只有3次跳过了 170 cm(含 170 cm)，而乙有5次，所以应选乙参赛。
(1) $\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(170+165+168+169+172+173+168+167)=169(\mathrm{cm})$，$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(163+174+173+162+163+171+170+176)=169(\mathrm{cm})$；
(2) $s_甲^2=6\ \mathrm{cm}^2$，$s_乙^2=27\ \mathrm{cm}^2$，
∴ 甲运动员的成绩更为稳定；
(3) 若跳过 165 cm 就很可能获得冠军，则在8次成绩中，甲有8次都跳过了 165 cm(含 165 cm)，而乙只有5次，所以应选甲参赛；若跳过 170 cm 才能获得冠军，则在8次成绩中，甲只有3次跳过了 170 cm(含 170 cm)，而乙有5次，所以应选乙参赛。
解析
【分析】
(1) 求平均成绩使用算术平均数公式，将两名运动员各自8次成绩求和后除以比赛次数8即可计算得到。(2) 成绩的稳定性由方差判断，方差越小代表数据波动越小，成绩越稳定，因此先分别计算甲、乙两人成绩的方差，再比较方差大小就能得出结论。(3) 需结合不同的夺冠成绩要求，分别统计两人8次成绩中达到对应成绩的次数，达标次数更多的运动员参赛夺冠概率更高，据此选择合适的参赛人员。
【解析】
(1) 根据算术平均数公式计算：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(170+165+168+169+172+173+168+167)=169(\mathrm{cm})$
$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(163+174+173+162+163+171+170+176)=169(\mathrm{cm})$
(2) 分别计算两人成绩的方差：
$s_甲^2=\frac{1}{8}×[(170-169)^2+(165-169)^2+(168-169)^2+(169-169)^2+(172-169)^2+(173-169)^2+(168-169)^2+(167-169)^2]=6\ \mathrm{cm}^2$
$s_乙^2=\frac{1}{8}×[(163-169)^2+(174-169)^2+(173-169)^2+(162-169)^2+(163-169)^2+(171-169)^2+(170-169)^2+(176-169)^2]=27\ \mathrm{cm}^2$
$\because s_甲^2＜s_乙^2$，$\therefore$ 甲运动员的成绩更为稳定。
(3) 若跳过165cm就很可能获得冠军：统计8次成绩，甲所有8次成绩均≥165cm，乙仅有5次成绩≥165cm，甲达标次数更多，因此选甲参赛；
若跳过170cm才能获得冠军：统计8次成绩，甲仅有3次成绩≥170cm，乙有5次成绩≥170cm，乙达标次数更多，因此选乙参赛。
【答案】
(1) 甲的平均成绩为169cm，乙的平均成绩为169cm；
(2) 甲运动员的成绩更为稳定，因为甲的成绩方差小于乙的成绩方差；
(3) 跳过165cm夺冠选甲参赛，甲8次成绩均达到165cm，达标次数多于乙；跳过170cm夺冠选乙参赛，乙达到170cm的次数多于甲。
【知识点】
算术平均数计算，方差的意义，统计决策
【点评】
本题结合运动员选拔的实际场景，考查了平均数、方差的计算及统计量的实际应用，要求学生理解不同统计量的含义，能结合实际需求分析数据做出合理决策，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求平均成绩使用算术平均数公式，将两名运动员各自8次成绩求和后除以比赛次数8即可计算得到。(2) 成绩的稳定性由方差判断，方差越小代表数据波动越小，成绩越稳定，因此先分别计算甲、乙两人成绩的方差，再比较方差大小就能得出结论。(3) 需结合不同的夺冠成绩要求，分别统计两人8次成绩中达到对应成绩的次数，达标次数更多的运动员参赛夺冠概率更高，据此选择合适的参赛人员。
【解析】
(1) 根据算术平均数公式计算：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{8}×(170+165+168+169+172+173+168+167)=169(\mathrm{cm})$
$\overline{x}_乙=\frac{1}{8}×(163+174+173+162+163+171+170+176)=169(\mathrm{cm})$
(2) 分别计算两人成绩的方差：
$s_甲^2=\frac{1}{8}×[(170-169)^2+(165-169)^2+(168-169)^2+(169-169)^2+(172-169)^2+(173-169)^2+(168-169)^2+(167-169)^2]=6\ \mathrm{cm}^2$
$s_乙^2=\frac{1}{8}×[(163-169)^2+(174-169)^2+(173-169)^2+(162-169)^2+(163-169)^2+(171-169)^2+(170-169)^2+(176-169)^2]=27\ \mathrm{cm}^2$
$\because s_甲^2＜s_乙^2$，$\therefore$ 甲运动员的成绩更为稳定。
(3) 若跳过165cm就很可能获得冠军：统计8次成绩，甲所有8次成绩均≥165cm，乙仅有5次成绩≥165cm，甲达标次数更多，因此选甲参赛；
若跳过170cm才能获得冠军：统计8次成绩，甲仅有3次成绩≥170cm，乙有5次成绩≥170cm，乙达标次数更多，因此选乙参赛。
【答案】
(1) 甲的平均成绩为169cm，乙的平均成绩为169cm；
(2) 甲运动员的成绩更为稳定，因为甲的成绩方差小于乙的成绩方差；
(3) 跳过165cm夺冠选甲参赛，甲8次成绩均达到165cm，达标次数多于乙；跳过170cm夺冠选乙参赛，乙达到170cm的次数多于甲。
【知识点】
算术平均数计算，方差的意义，统计决策
【点评】
本题结合运动员选拔的实际场景，考查了平均数、方差的计算及统计量的实际应用，要求学生理解不同统计量的含义，能结合实际需求分析数据做出合理决策，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
