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9. 如图是甲、乙两人10次射击成绩的条形统计图，则下列说法正确的是 （
A.甲比乙的成绩稳定
B.乙比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人的成绩一样稳定
D.无法确定谁的成绩更稳定
B
）A.甲比乙的成绩稳定
B.乙比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人的成绩一样稳定
D.无法确定谁的成绩更稳定
答案
9. B
解析
【分析】
要判断两人成绩的稳定性，需比较两人成绩的方差：方差越小，成绩越稳定。首先从条形统计图中提取甲、乙各环数的射击次数，先计算两人的平均成绩，再根据方差公式计算各自的方差，最后比较方差大小即可得出结论。
【解析】
解：从统计图中提取数据：
甲10次射击成绩：8环4次，9环2次，10环4次；
乙10次射击成绩：8环3次，9环4次，10环3次。
1. 计算平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{8×4 + 9×2 + 10×4}{10}=\frac{32+18+40}{10}=9$（环）
$\overline{x}_乙=\frac{8×3 + 9×4 + 10×3}{10}=\frac{24+36+30}{10}=9$（环）
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$：
$s^2_甲=\frac{4×(8-9)^2 + 2×(9-9)^2 +4×(10-9)^2}{10}=\frac{4+0+4}{10}=0.8$
$s^2_乙=\frac{3×(8-9)^2 +4×(9-9)^2 +3×(10-9)^2}{10}=\frac{3+0+3}{10}=0.6$
3. 比较稳定性：
∵$s^2_乙 ＜ s^2_甲$，方差越小成绩波动越小、越稳定，
∴乙比甲的成绩稳定。
【答案】
B
【知识点】
条形统计图，方差计算，方差的意义
【点评】
本题考查数据离散程度的判断，解题关键是准确从统计图提取数据，正确计算方差，牢记“方差越小，数据越稳定”的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要判断两人成绩的稳定性，需比较两人成绩的方差：方差越小，成绩越稳定。首先从条形统计图中提取甲、乙各环数的射击次数，先计算两人的平均成绩，再根据方差公式计算各自的方差，最后比较方差大小即可得出结论。
【解析】
解：从统计图中提取数据：
甲10次射击成绩：8环4次，9环2次，10环4次；
乙10次射击成绩：8环3次，9环4次，10环3次。
1. 计算平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{8×4 + 9×2 + 10×4}{10}=\frac{32+18+40}{10}=9$（环）
$\overline{x}_乙=\frac{8×3 + 9×4 + 10×3}{10}=\frac{24+36+30}{10}=9$（环）
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$：
$s^2_甲=\frac{4×(8-9)^2 + 2×(9-9)^2 +4×(10-9)^2}{10}=\frac{4+0+4}{10}=0.8$
$s^2_乙=\frac{3×(8-9)^2 +4×(9-9)^2 +3×(10-9)^2}{10}=\frac{3+0+3}{10}=0.6$
3. 比较稳定性：
∵$s^2_乙 ＜ s^2_甲$，方差越小成绩波动越小、越稳定，
∴乙比甲的成绩稳定。
【答案】
B
【知识点】
条形统计图，方差计算，方差的意义
【点评】
本题考查数据离散程度的判断，解题关键是准确从统计图提取数据，正确计算方差，牢记“方差越小，数据越稳定”的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10. 跳远运动员小李在一次训练中，先跳了6次的成绩(单位:m)如下:7.6,7.8,7.7,7.8,8.0,7.9.这6次成绩的平均数为7.8，方差为$\frac{1}{60}$.如果小李再跳一次，成绩为7.8 m，则小李这7次跳远成绩与前6次的成绩相比较，其方差
甲
乙
变小
(填“变大”或“变小”).甲
乙
答案
10. 变小
解析
【分析】
解题时先回忆方差的定义：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，用来衡量数据的波动大小。首先判断新增成绩后7次成绩的平均数是否变化：已知前6次的平均数是7.8，新增的成绩也是7.8，因此7次成绩的平均数仍为7.8。再对比前后方差的计算：前6次方差的计算是离均差平方和除以6，新增的7.8与平均数的差为0，离均差平方和不变，但除数变为7，因此方差会减小。
【解析】
解：①先计算7次跳远成绩的平均数：
前6次成绩的总和为 $6 × 7.8 = 46.8\ \mathrm{m}$，
加入新成绩后7次的总和为 $46.8 + 7.8 = 54.6\ \mathrm{m}$，
7次成绩的平均数为 $54.6 ÷ 7 = 7.8\ \mathrm{m}$，与前6次平均数相同。
②再分别计算两次的方差：
已知前6次的方差 $s_6^2 = \frac{1}{60}$，根据方差公式 $s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$，
可得前6次成绩的离均差平方和为 $\sum_{i=1}^6 (x_i - 7.8)^2 = 6 × \frac{1}{60} = \frac{1}{10}$。
加入新成绩7.8后，新增的离均差平方为 $(7.8 - 7.8)^2 = 0$，因此7次成绩的离均差平方和仍为 $\frac{1}{10}$，
则7次成绩的方差 $s_7^2 = \frac{1}{7} × \frac{1}{10} = \frac{1}{70}$。
③比较大小：$\frac{1}{70} ＜ \frac{1}{60}$，因此方差变小。
【答案】
变小
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题考查数据离散程度相关知识，解题核心是先确定新增数据后平均数是否改变，再结合方差公式对比计算结果即可判断，属于基础类题型，熟练掌握方差的定义和计算公式是解题关键。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆方差的定义：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，用来衡量数据的波动大小。首先判断新增成绩后7次成绩的平均数是否变化：已知前6次的平均数是7.8，新增的成绩也是7.8，因此7次成绩的平均数仍为7.8。再对比前后方差的计算：前6次方差的计算是离均差平方和除以6，新增的7.8与平均数的差为0，离均差平方和不变，但除数变为7，因此方差会减小。
【解析】
解：①先计算7次跳远成绩的平均数：
前6次成绩的总和为 $6 × 7.8 = 46.8\ \mathrm{m}$，
加入新成绩后7次的总和为 $46.8 + 7.8 = 54.6\ \mathrm{m}$，
7次成绩的平均数为 $54.6 ÷ 7 = 7.8\ \mathrm{m}$，与前6次平均数相同。
②再分别计算两次的方差：
已知前6次的方差 $s_6^2 = \frac{1}{60}$，根据方差公式 $s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$，
可得前6次成绩的离均差平方和为 $\sum_{i=1}^6 (x_i - 7.8)^2 = 6 × \frac{1}{60} = \frac{1}{10}$。
加入新成绩7.8后，新增的离均差平方为 $(7.8 - 7.8)^2 = 0$，因此7次成绩的离均差平方和仍为 $\frac{1}{10}$，
则7次成绩的方差 $s_7^2 = \frac{1}{7} × \frac{1}{10} = \frac{1}{70}$。
③比较大小：$\frac{1}{70} ＜ \frac{1}{60}$，因此方差变小。
【答案】
变小
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题考查数据离散程度相关知识，解题核心是先确定新增数据后平均数是否改变，再结合方差公式对比计算结果即可判断，属于基础类题型，熟练掌握方差的定义和计算公式是解题关键。
【难度系数】
0.8
11. 小明用$s^2=\frac{1}{15}[(x_1 -6)^2 + (x_2 -6)^2 + \dots + (x_{15} -6)^2]$计算一组数据的方差，那么$x_1 + x_2 + \dots + x_{15}=$
90
.答案
11. 90
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的定义公式，明确公式中各参数的含义：公式里的分母是数据的总个数，括号内每个数据减去的常数是这组数据的平均数。对照题目给出的方差表达式，先确定这组数据的个数和平均数，再根据平均数与数据总和的关系，即可求出所有数据的和。
【解析】
根据方差的计算公式：对于n个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，若它们的平均数为$\overline{x}$，则方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$。
对比题目给出的式子$s^2=\frac{1}{15}[(x_1 -6)^2 + (x_2 -6)^2 + \dots + (x_{15} -6)^2]$，可得：
这组数据的个数$n=15$，平均数$\overline{x}=6$。
再根据平均数的计算公式$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，变形可得数据总和：
$x_1+x_2+\dots+x_{15}=n×\overline{x}=15×6=90$。
【答案】
90
【知识点】
方差的定义；平均数的计算
【点评】
本题考查对方差公式结构的认识，解题关键是识别出方差公式中的平均数和数据个数，属于对基础概念的考查，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆方差的定义公式，明确公式中各参数的含义：公式里的分母是数据的总个数，括号内每个数据减去的常数是这组数据的平均数。对照题目给出的方差表达式，先确定这组数据的个数和平均数，再根据平均数与数据总和的关系，即可求出所有数据的和。
【解析】
根据方差的计算公式：对于n个数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，若它们的平均数为$\overline{x}$，则方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$。
对比题目给出的式子$s^2=\frac{1}{15}[(x_1 -6)^2 + (x_2 -6)^2 + \dots + (x_{15} -6)^2]$，可得：
这组数据的个数$n=15$，平均数$\overline{x}=6$。
再根据平均数的计算公式$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，变形可得数据总和：
$x_1+x_2+\dots+x_{15}=n×\overline{x}=15×6=90$。
【答案】
90
【知识点】
方差的定义；平均数的计算
【点评】
本题考查对方差公式结构的认识，解题关键是识别出方差公式中的平均数和数据个数，属于对基础概念的考查，难度较低。
【难度系数】
0.8
12. 为了参加“中小学生首届诗词大会”，某校八年级的两个班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩(百分制，单位:分)分别为：
八年级(1)班:86,85,77,92,85；
八年级(2)班:79,85,92,85,89.
通过数据分析，列表如下：
(1) 直接写出表中$a,b,c$的值；
(2) 根据以上数据分析，你认为哪个班前5名学生的成绩较好？请说明理由.
八年级(1)班:86,85,77,92,85；
八年级(2)班:79,85,92,85,89.
通过数据分析，列表如下：
(1) 直接写出表中$a,b,c$的值；
(2) 根据以上数据分析，你认为哪个班前5名学生的成绩较好？请说明理由.
答案
12. 解:(1) $a=86,b=85,c=85$；(2) 根据以上数据分析,八年级(2)班前5名学生的成绩较好,理由:两个班的中位数和众数都是一样的,但八年级(2)班的平均分高于八年级(1)班的平均分,且八年级(2)班的方差小于八年级(1)班的方差,也说明八年级(2)班的成绩更稳定.
解析
【分析】
(1) 求a的值，需根据平均数的计算公式，将八年级(2)班5名学生的成绩求和后除以总人数5即可；求b的值是求八年级(1)班成绩的中位数，先将1班的成绩按从小到大排序，取中间位置的数即为中位数；求c的值是求1班成绩的众数，找出1班成绩中出现次数最多的数即可。
(2) 判断哪个班成绩更好，需要结合多个统计量的意义综合分析：平均数反映整体平均水平，方差反映数据的稳定性，中位数和众数反映数据的集中趋势，对比两个班各统计量的大小即可得出结论。
【解析】
(1) ①计算平均成绩a：
$a=\frac{79+85+92+85+89}{5}=\frac{430}{5}=86$
②求中位数b：
将八年级(1)班成绩从小到大排序为：77，85，85，86，92，共5个数据，第3个数据为85，因此中位数$b=85$。
③求众数c：
八年级(1)班成绩中85出现了2次，出现次数最多，因此众数$c=85$。
(2) 八年级(2)班前5名学生的成绩较好，理由如下：
两个班成绩的中位数、众数均为85，说明两个班的成绩集中水平相近；八年级(2)班的平均分为86，高于八年级(1)班的85，说明(2)班平均成绩更优；同时(2)班方差为19.2，小于(1)班的22.8，方差越小成绩越稳定，因此八年级(2)班成绩更好。
【答案】
(1) $a=86,b=85,c=85$；
(2) 八年级(2)班前5名学生的成绩较好，理由：两个班的中位数和众数相同，八年级(2)班的平均分更高，且方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数计算，中位数与众数，方差的意义
【点评】
本题主要考查统计量的计算与实际应用，掌握各统计量的计算方法和实际意义是解题的关键，能通过不同统计量多角度分析数据的优劣。
【难度系数】
0.8
(1) 求a的值，需根据平均数的计算公式，将八年级(2)班5名学生的成绩求和后除以总人数5即可；求b的值是求八年级(1)班成绩的中位数，先将1班的成绩按从小到大排序，取中间位置的数即为中位数；求c的值是求1班成绩的众数，找出1班成绩中出现次数最多的数即可。
(2) 判断哪个班成绩更好，需要结合多个统计量的意义综合分析：平均数反映整体平均水平，方差反映数据的稳定性，中位数和众数反映数据的集中趋势，对比两个班各统计量的大小即可得出结论。
【解析】
(1) ①计算平均成绩a：
$a=\frac{79+85+92+85+89}{5}=\frac{430}{5}=86$
②求中位数b：
将八年级(1)班成绩从小到大排序为：77，85，85，86，92，共5个数据，第3个数据为85，因此中位数$b=85$。
③求众数c：
八年级(1)班成绩中85出现了2次，出现次数最多，因此众数$c=85$。
(2) 八年级(2)班前5名学生的成绩较好，理由如下：
两个班成绩的中位数、众数均为85，说明两个班的成绩集中水平相近；八年级(2)班的平均分为86，高于八年级(1)班的85，说明(2)班平均成绩更优；同时(2)班方差为19.2，小于(1)班的22.8，方差越小成绩越稳定，因此八年级(2)班成绩更好。
【答案】
(1) $a=86,b=85,c=85$；
(2) 八年级(2)班前5名学生的成绩较好，理由：两个班的中位数和众数相同，八年级(2)班的平均分更高，且方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数计算，中位数与众数，方差的意义
【点评】
本题主要考查统计量的计算与实际应用，掌握各统计量的计算方法和实际意义是解题的关键，能通过不同统计量多角度分析数据的优劣。
【难度系数】
0.8
13. 某球队从队员中选拔选手参加3分球大赛，对报名的两名选手进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下表：
| 队 员 | 进球数(个/组) | | | | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
| 甲 | 10 | 6 |
| 6 | 8 |
| 乙 | 7 | 9 | 7 | 8 | 9 |
（1）求甲、乙两名队员进球的平均数和方差；
（2）现从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
| 队 员 | 进球数(个/组) | | | | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
| 甲 | 10 | 6 |
| 6 | 8 || 乙 | 7 | 9 | 7 | 8 | 9 |
（1）求甲、乙两名队员进球的平均数和方差；
（2）现从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
答案
13. 解:(1) $\overline x_甲 =\frac{1}{5}×(10+6+10+6+8)=8(个),s_甲^2 =\frac{1}{5}×[(10-8)^2+(6-8)^2+(10-8)^2+(6-8)^2+(8-8)^2]=3.2(个^2);\overline x_乙 =\frac{1}{5}×(7+9+7+8+9)=8(个),s_乙^2 =\frac{1}{5}×[(7-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2]=0.8(个^2)$；(2) 选乙,理由:甲和乙的平均数相同,但是乙的方差更小,成绩更稳定,所以选乙.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确解题步骤：
1. 求解平均数：平均数是一组数据的总和除以数据的个数，我们分别计算甲、乙5组进球数的总和，再除以5即可得到两人的平均进球数。
2. 求解方差：方差的计算公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，我们将已经求出的平均数代入公式，分别计算两人每个进球数与平均数的差的平方，求和后除以5就能得到方差。
3. 选择参赛队员：先对比两人的平均数，若平均数相同，再对比方差，方差越小说明数据波动越小、成绩越稳定，据此选择更合适的队员即可。
【解析】
（1）计算甲的平均数和方差：
$\overline x_甲 =\frac{1}{5}×(10+6+10+6+8)=8$（个）
$s_甲^2 =\frac{1}{5}×[(10-8)^2+(6-8)^2+(10-8)^2+(6-8)^2+(8-8)^2]=\frac{1}{5}×(4+4+4+4+0)=3.2$（个²）
计算乙的平均数和方差：
$\overline x_乙 =\frac{1}{5}×(7+9+7+8+9)=8$（个）
$s_乙^2 =\frac{1}{5}×[(7-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2]=\frac{1}{5}×(1+1+1+0+1)=0.8$（个²）
（2）选择参赛队员：
对比两人数据可知，甲和乙的平均进球数相同，但是乙的方差更小，说明乙的进球成绩更稳定，所以选择乙队员参赛。
【答案】
(1) 甲的平均数是8个，方差是3.2个²；乙的平均数是8个，方差是0.8个²；
(2) 选乙队员去，因为甲乙平均数相同，乙的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题是统计知识的基础应用题，重点考查平均数、方差的公式运用，以及方差的实际意义，解题时只要牢记相关公式，结合实际需求判断即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确解题步骤：
1. 求解平均数：平均数是一组数据的总和除以数据的个数，我们分别计算甲、乙5组进球数的总和，再除以5即可得到两人的平均进球数。
2. 求解方差：方差的计算公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，我们将已经求出的平均数代入公式，分别计算两人每个进球数与平均数的差的平方，求和后除以5就能得到方差。
3. 选择参赛队员：先对比两人的平均数，若平均数相同，再对比方差，方差越小说明数据波动越小、成绩越稳定，据此选择更合适的队员即可。
【解析】
（1）计算甲的平均数和方差：
$\overline x_甲 =\frac{1}{5}×(10+6+10+6+8)=8$（个）
$s_甲^2 =\frac{1}{5}×[(10-8)^2+(6-8)^2+(10-8)^2+(6-8)^2+(8-8)^2]=\frac{1}{5}×(4+4+4+4+0)=3.2$（个²）
计算乙的平均数和方差：
$\overline x_乙 =\frac{1}{5}×(7+9+7+8+9)=8$（个）
$s_乙^2 =\frac{1}{5}×[(7-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2]=\frac{1}{5}×(1+1+1+0+1)=0.8$（个²）
（2）选择参赛队员：
对比两人数据可知，甲和乙的平均进球数相同，但是乙的方差更小，说明乙的进球成绩更稳定，所以选择乙队员参赛。
【答案】
(1) 甲的平均数是8个，方差是3.2个²；乙的平均数是8个，方差是0.8个²；
(2) 选乙队员去，因为甲乙平均数相同，乙的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题是统计知识的基础应用题，重点考查平均数、方差的公式运用，以及方差的实际意义，解题时只要牢记相关公式，结合实际需求判断即可。
【难度系数】
0.8
