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9. 如图5是一个棱长为60 cm的立方体ABCD-EFGH，一只甲虫在EF边上，且距F点10 cm的P处，它要爬到顶点D，需要爬行的最短距离是（
A.130 cm
B.$10\sqrt{157}$ cm
C.$10\sqrt{97}$ cm
D.不确定
B
）A.130 cm
B.$10\sqrt{157}$ cm
C.$10\sqrt{97}$ cm
D.不确定
答案
9.B
解析
【分析】
解决立体表面的最短爬行距离问题，核心思路是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”的原理，构造直角三角形后用勾股定理计算线段长度。首先明确点的位置：P在EF上距F点10cm，立方体棱长为60cm，可得EP=50cm；再将包含P和D的相邻面展开到同一平面，对比不同展开方式的计算结果，取最小值即为最短距离。
【解析】
解：将立方体的面展开后计算路径长度，共有两种常见展开方式：
1. 将面ABFE与面ABCD展开到同一平面：
此时P到D的两条直角边长度分别为：
水平边：$EP + AD = (60-10) + 60 = 110\ \mathrm{cm}$，
竖直边：棱长$60\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得路径长：$\sqrt{110^2 + 60^2} = \sqrt{12100 + 3600} = \sqrt{15700} = 10\sqrt{157}\ \mathrm{cm}$。
2. 将面EFGH与面DCGH展开到同一平面：
此时P到D的两条直角边长度分别为$50\ \mathrm{cm}$和$60+60=120\ \mathrm{cm}$，
路径长：$\sqrt{50^2 + 120^2} = \sqrt{2500 + 14400} = \sqrt{16900} = 130\ \mathrm{cm}$。
对比两个结果，$10\sqrt{157} ＜ 130$，因此最短爬行距离为$10\sqrt{157}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
立体图形展开图，勾股定理，两点之间线段最短
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题型，解题关键是掌握将立体转化为平面的思路，注意需要考虑所有可能的展开方式，对比后得到最短路径，避免因只考虑一种展开方式出现错误。
【难度系数】
0.6
解决立体表面的最短爬行距离问题，核心思路是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”的原理，构造直角三角形后用勾股定理计算线段长度。首先明确点的位置：P在EF上距F点10cm，立方体棱长为60cm，可得EP=50cm；再将包含P和D的相邻面展开到同一平面，对比不同展开方式的计算结果，取最小值即为最短距离。
【解析】
解：将立方体的面展开后计算路径长度，共有两种常见展开方式：
1. 将面ABFE与面ABCD展开到同一平面：
此时P到D的两条直角边长度分别为：
水平边：$EP + AD = (60-10) + 60 = 110\ \mathrm{cm}$，
竖直边：棱长$60\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得路径长：$\sqrt{110^2 + 60^2} = \sqrt{12100 + 3600} = \sqrt{15700} = 10\sqrt{157}\ \mathrm{cm}$。
2. 将面EFGH与面DCGH展开到同一平面：
此时P到D的两条直角边长度分别为$50\ \mathrm{cm}$和$60+60=120\ \mathrm{cm}$，
路径长：$\sqrt{50^2 + 120^2} = \sqrt{2500 + 14400} = \sqrt{16900} = 130\ \mathrm{cm}$。
对比两个结果，$10\sqrt{157} ＜ 130$，因此最短爬行距离为$10\sqrt{157}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
立体图形展开图，勾股定理，两点之间线段最短
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题型，解题关键是掌握将立体转化为平面的思路，注意需要考虑所有可能的展开方式，对比后得到最短路径，避免因只考虑一种展开方式出现错误。
【难度系数】
0.6
10.已知线段的长为$a$,作长为$\sqrt{13}a$的线段时,只要分别以长为
2a
和3a
的线段为直角边作直角三角形,则这个直角三角形的斜边长就为$\sqrt{13}a.$答案
10.答案不唯一,如2a 3a
解析
【分析】
要构造斜边长为$\sqrt{13}a$的直角三角形，可逆用勾股定理解题：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。首先计算斜边的平方为$(\sqrt{13}a)^2=13a^2$，因此只需找到两个正数，它们的平方和为13，分别乘$a$即可作为直角边，最常见的整数组合为2和3，对应直角边长为$2a$和$3a$，也可选取其他满足条件的组合，答案不唯一。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长分别为$x$、$y$，根据勾股定理可得：
$x^2+y^2=(\sqrt{13}a)^2$
计算等式右边得：$(\sqrt{13}a)^2=(\sqrt{13})^2· a^2=13a^2$
即需满足$x^2+y^2=13a^2$，取整数系数的情况下，因为$2^2+3^2=4+9=13$，因此当$x=2a$、$y=3a$时，$(2a)^2+(3a)^2=4a^2+9a^2=13a^2$，符合要求，因此两直角边可选取$2a$和$3a$，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如2a 3a
【知识点】
勾股定理、二次根式的运算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题目，核心是逆用勾股定理拆解斜边的平方，答案具有开放性，只要满足两直角边平方和为$13a^2$均正确。
【难度系数】
0.8
要构造斜边长为$\sqrt{13}a$的直角三角形，可逆用勾股定理解题：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。首先计算斜边的平方为$(\sqrt{13}a)^2=13a^2$，因此只需找到两个正数，它们的平方和为13，分别乘$a$即可作为直角边，最常见的整数组合为2和3，对应直角边长为$2a$和$3a$，也可选取其他满足条件的组合，答案不唯一。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长分别为$x$、$y$，根据勾股定理可得：
$x^2+y^2=(\sqrt{13}a)^2$
计算等式右边得：$(\sqrt{13}a)^2=(\sqrt{13})^2· a^2=13a^2$
即需满足$x^2+y^2=13a^2$，取整数系数的情况下，因为$2^2+3^2=4+9=13$，因此当$x=2a$、$y=3a$时，$(2a)^2+(3a)^2=4a^2+9a^2=13a^2$，符合要求，因此两直角边可选取$2a$和$3a$，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如2a 3a
【知识点】
勾股定理、二次根式的运算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题目，核心是逆用勾股定理拆解斜边的平方，答案具有开放性，只要满足两直角边平方和为$13a^2$均正确。
【难度系数】
0.8
11.已知|x-12|+(y-13)²和z²-10z+25互为相反数，则以x，y，z为三边长的三角形是
直角
三角形。答案
11.直角
解析
【分析】
首先根据互为相反数的两个数之和为0列出等式，再将等式中含z的代数式变形为完全平方的形式；结合绝对值、偶次幂的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出x、y、z的值；最后验证三边的平方是否满足勾股定理的逆定理，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵|x-12|+(y-13)²和z²-10z+25互为相反数，
∴|x-12|+(y-13)² + z²-10z+25 = 0，
对含z的项因式分解可得：|x-12|+(y-13)² + (z-5)² = 0，
∵|x-12|≥0，(y-13)²≥0，(z-5)²≥0，
∴x-12=0，y-13=0，z-5=0，
解得：x=12，y=13，z=5，
∵5² + 12² = 25 + 144 = 169，13²=169，
∴5² + 12² = 13²，
根据勾股定理的逆定理可知，以x，y，z为三边长的三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质；完全平方公式；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础常考题，综合考查了非负数的应用与三角形形状的判断，解题的关键是先利用非负数的性质求出三边长度，再通过勾股定理的逆定理得出结论。
【难度系数】
0.7
首先根据互为相反数的两个数之和为0列出等式，再将等式中含z的代数式变形为完全平方的形式；结合绝对值、偶次幂的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出x、y、z的值；最后验证三边的平方是否满足勾股定理的逆定理，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵|x-12|+(y-13)²和z²-10z+25互为相反数，
∴|x-12|+(y-13)² + z²-10z+25 = 0，
对含z的项因式分解可得：|x-12|+(y-13)² + (z-5)² = 0，
∵|x-12|≥0，(y-13)²≥0，(z-5)²≥0，
∴x-12=0，y-13=0，z-5=0，
解得：x=12，y=13，z=5，
∵5² + 12² = 25 + 144 = 169，13²=169，
∴5² + 12² = 13²，
根据勾股定理的逆定理可知，以x，y，z为三边长的三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质；完全平方公式；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础常考题，综合考查了非负数的应用与三角形形状的判断，解题的关键是先利用非负数的性质求出三边长度，再通过勾股定理的逆定理得出结论。
【难度系数】
0.7
12.如图6,在四边形ABCD中,∠C=90°,BD平分∠ABC,AD=3,E为AB上一点,AE=4,ED=5.求证:AD=CD.
答案
证明：
在△ADE中，
∵ AD=3，AE=4，ED=5，
∴ AD² + AE² = 3² + 4² = 25，ED² = 5² = 25，
∴ AD² + AE² = ED²，
∴ △ADE是直角三角形，且∠A=90°，即AD⊥AB。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥BC。
又∵ BD平分∠ABC，AD⊥AB，DC⊥BC，
由角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得
AD=CD。
在△ADE中，
∵ AD=3，AE=4，ED=5，
∴ AD² + AE² = 3² + 4² = 25，ED² = 5² = 25，
∴ AD² + AE² = ED²，
∴ △ADE是直角三角形，且∠A=90°，即AD⊥AB。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥BC。
又∵ BD平分∠ABC，AD⊥AB，DC⊥BC，
由角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得
AD=CD。
解析
【分析】
要证明AD=CD，可结合已知条件推导：已知BD平分∠ABC，且∠C=90°即DC⊥BC，根据角平分线的性质，只要证明AD垂直于AB，就能得到AD=CD。题目给出了△ADE的三边长，3、4、5是典型勾股数，因此可先通过勾股定理的逆定理判定△ADE是直角三角形，得到∠A=90°即AD⊥AB，再结合角平分线的性质即可完成证明。
【解析】
在△ADE中，
∵ AD=3，AE=4，ED=5，
∴ AD² + AE² = 3² + 4² = 25，ED² = 5² = 25，
∴ AD² + AE² = ED²，
∴ △ADE是直角三角形，且∠A=90°，即AD⊥AB。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥BC。
又
∵ BD平分∠ABC，AD⊥AB，DC⊥BC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得AD=CD。
【答案】
AD=CD，得证。
【知识点】
勾股定理的逆定理，角平分线的性质，直角三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，将勾股定理逆定理与角平分线的性质结合考查，解题的突破口是通过三角形三边的数量关系判断出∠A为直角，进而结合角平分线的性质推出边相等的结论，侧重对基础定理理解与应用的考查。
【难度系数】
0.7
要证明AD=CD，可结合已知条件推导：已知BD平分∠ABC，且∠C=90°即DC⊥BC，根据角平分线的性质，只要证明AD垂直于AB，就能得到AD=CD。题目给出了△ADE的三边长，3、4、5是典型勾股数，因此可先通过勾股定理的逆定理判定△ADE是直角三角形，得到∠A=90°即AD⊥AB，再结合角平分线的性质即可完成证明。
【解析】
在△ADE中，
∵ AD=3，AE=4，ED=5，
∴ AD² + AE² = 3² + 4² = 25，ED² = 5² = 25，
∴ AD² + AE² = ED²，
∴ △ADE是直角三角形，且∠A=90°，即AD⊥AB。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥BC。
又
∵ BD平分∠ABC，AD⊥AB，DC⊥BC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得AD=CD。
【答案】
AD=CD，得证。
【知识点】
勾股定理的逆定理，角平分线的性质，直角三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，将勾股定理逆定理与角平分线的性质结合考查，解题的突破口是通过三角形三边的数量关系判断出∠A为直角，进而结合角平分线的性质推出边相等的结论，侧重对基础定理理解与应用的考查。
【难度系数】
0.7
13.某医院为了方便病人进出，将门诊大厅的门改为自动感应门，感应门上方装有一个最大感应距离为2.6米的感应器D.如图7，一个身高为1.6米的病人AB走到离感应门2.4米处时，感应门刚好自动打开，请求出感应器离地面的高度CD.
答案
13.2.6米
解析
【分析】
解决本题的核心是通过作辅助线构造直角三角形与矩形，利用矩形性质转化已知线段，再结合勾股定理求解未知线段。首先过点B作BE垂直CD于点E，可得四边形ABEC为矩形，能得到CE=AB、BE=AC；此时△BDE是直角三角形，已知斜边BD（感应距离）和直角边BE的长度，用勾股定理算出DE的长度，最后CD的长度就是DE与CE的和。
【解析】
过点B作$BE⊥ CD$，垂足为E。
$\because AB⊥ AC$，$CD⊥ AC$，$BE⊥ CD$，
$\therefore$ 四边形ABEC是矩形，
$\therefore CE=AB=1.6\mathrm{m}$，$BE=AC=2.4\mathrm{m}$。
由题意得感应距离$BD=2.6\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，根据勾股定理：
$DE^2 + BE^2 = BD^2$，
代入数值：$DE^2 + 2.4^2 = 2.6^2$，
计算得：$DE^2 = 2.6^2 - 2.4^2 = 6.76 - 5.76 =1$，
$\therefore DE=1\mathrm{m}$（线段长度为正，舍去负根），
$\therefore CD=CE+DE=1.6+1=2.6\mathrm{m}$。
【答案】
2.6米
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是合理作辅助线，将实际问题转化为几何模型求解，能锻炼学生的知识迁移与应用能力。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是通过作辅助线构造直角三角形与矩形，利用矩形性质转化已知线段，再结合勾股定理求解未知线段。首先过点B作BE垂直CD于点E，可得四边形ABEC为矩形，能得到CE=AB、BE=AC；此时△BDE是直角三角形，已知斜边BD（感应距离）和直角边BE的长度，用勾股定理算出DE的长度，最后CD的长度就是DE与CE的和。
【解析】
过点B作$BE⊥ CD$，垂足为E。
$\because AB⊥ AC$，$CD⊥ AC$，$BE⊥ CD$，
$\therefore$ 四边形ABEC是矩形，
$\therefore CE=AB=1.6\mathrm{m}$，$BE=AC=2.4\mathrm{m}$。
由题意得感应距离$BD=2.6\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，根据勾股定理：
$DE^2 + BE^2 = BD^2$，
代入数值：$DE^2 + 2.4^2 = 2.6^2$，
计算得：$DE^2 = 2.6^2 - 2.4^2 = 6.76 - 5.76 =1$，
$\therefore DE=1\mathrm{m}$（线段长度为正，舍去负根），
$\therefore CD=CE+DE=1.6+1=2.6\mathrm{m}$。
【答案】
2.6米
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是合理作辅助线，将实际问题转化为几何模型求解，能锻炼学生的知识迁移与应用能力。
【难度系数】
0.8
14.如图8是一种“牛头形”图案，其作法是从正方形(1)开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，再以其直角边为边，向外作正方形(2)和(2)'.依次类推，若正方形(1)的边长为64 cm，试推测正方形(7)的边长.
答案
14.8 cm
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确相邻正方形边长的关联：后一个正方形的边长是等腰直角三角形的直角边，前一个正方形的边长是该等腰直角三角形的斜边，可通过勾股定理推导二者的数量关系；接着根据推导的关系总结第n个正方形边长的通用规律；最后将n=7代入规律计算即可得到结果。
【解析】
解：设第n个正方形的边长为$a_n$，由题意可知正方形(1)的边长$a_1=64\mathrm{cm}$。
向外作的三角形为等腰直角三角形，根据勾股定理：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。第n个正方形的边长是对应等腰直角三角形的斜边，第n+1个正方形的边长是该等腰直角三角形的直角边，因此有：
$a_{n+1}^2 + a_{n+1}^2 = a_n^2$
整理得$2a_{n+1}^2=a_n^2$，即$a_{n+1}=\frac{a_n}{\sqrt{2}}$。
由此推导边长规律：
$a_2=\frac{a_1}{\sqrt{2}}$
$a_3=\frac{a_2}{\sqrt{2}}=\frac{a_1}{(\sqrt{2})^2}$
$a_4=\frac{a_3}{\sqrt{2}}=\frac{a_1}{(\sqrt{2})^3}$
……
归纳得通用规律：$a_n=\frac{a_1}{(\sqrt{2})^{n-1}}$
当n=7时，代入规律计算：
$a_7=\frac{64}{(\sqrt{2})^{7-1}}=\frac{64}{(\sqrt{2})^6}=\frac{64}{2^3}=\frac{64}{8}=8\mathrm{cm}$
【答案】
8 cm
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形性质；规律探究
【点评】
本题结合几何图形性质与规律探究考查知识应用能力，需要熟练运用勾股定理推导相邻正方形的边长关系，通过归纳得到通用公式求解，对推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先明确相邻正方形边长的关联：后一个正方形的边长是等腰直角三角形的直角边，前一个正方形的边长是该等腰直角三角形的斜边，可通过勾股定理推导二者的数量关系；接着根据推导的关系总结第n个正方形边长的通用规律；最后将n=7代入规律计算即可得到结果。
【解析】
解：设第n个正方形的边长为$a_n$，由题意可知正方形(1)的边长$a_1=64\mathrm{cm}$。
向外作的三角形为等腰直角三角形，根据勾股定理：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。第n个正方形的边长是对应等腰直角三角形的斜边，第n+1个正方形的边长是该等腰直角三角形的直角边，因此有：
$a_{n+1}^2 + a_{n+1}^2 = a_n^2$
整理得$2a_{n+1}^2=a_n^2$，即$a_{n+1}=\frac{a_n}{\sqrt{2}}$。
由此推导边长规律：
$a_2=\frac{a_1}{\sqrt{2}}$
$a_3=\frac{a_2}{\sqrt{2}}=\frac{a_1}{(\sqrt{2})^2}$
$a_4=\frac{a_3}{\sqrt{2}}=\frac{a_1}{(\sqrt{2})^3}$
……
归纳得通用规律：$a_n=\frac{a_1}{(\sqrt{2})^{n-1}}$
当n=7时，代入规律计算：
$a_7=\frac{64}{(\sqrt{2})^{7-1}}=\frac{64}{(\sqrt{2})^6}=\frac{64}{2^3}=\frac{64}{8}=8\mathrm{cm}$
【答案】
8 cm
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形性质；规律探究
【点评】
本题结合几何图形性质与规律探究考查知识应用能力，需要熟练运用勾股定理推导相邻正方形的边长关系，通过归纳得到通用公式求解，对推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
