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9. 新情境[2026无锡锡山区期中]如图，$△ ABC$是一个正在修建的口袋公园.要在公园里修建一座凉亭$H$，使该凉亭到公路$AB,AC$的距离相等，且使得$S_{△ ABH}=S_{△ BCH}$，则凉亭$H$是（
A.$∠ BAC$的平分线与$AC$边上中线的交点
B.$∠ BAC$的平分线与$AB$边上中线的交点
C.$∠ ABC$的平分线与$AC$边上中线的交点
D.$∠ ABC$的平分线与$BC$边上中线的交点
A
）A.$∠ BAC$的平分线与$AC$边上中线的交点
B.$∠ BAC$的平分线与$AB$边上中线的交点
C.$∠ ABC$的平分线与$AC$边上中线的交点
D.$∠ ABC$的平分线与$BC$边上中线的交点
答案
A
连接 AH,BH 并延长,分别交 BC,AC 于点 D,点 E,如图,
∵ 点 H 到 AB,AC 的距离相等,
∴ AD 为∠BAC 的平分线.
过点 A,C 分别作 BE 的垂线,垂足分别为 M,N.
∵ S_△ABH = S_△BCH,
∴ 1/2 BH · AM = 1/2 BH · CN,
∴ AM = CN,又
∵ ∠AEM = ∠CEN,∠AME = ∠CNE,
∴ △AME≌△CNE(AAS),
∴ AE = EC,即 E 是 AC 的中点,
∴ BE 为 AC 边上的中线,
∴ 凉亭 H 是∠BAC 的平分线与 AC 边上中线的交点.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以把题目的两个条件逐一转化为几何特征：首先，点H到AB、AC的距离相等，根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此H一定在∠BAC的平分线上，可先排除C、D两个选项；其次，已知$ S_{△ ABH}=S_{△ BCH} $，两个三角形有公共边BH作为底，面积相等说明两个三角形这条底上的高相等，也就是点A、C到直线BH的距离相等，通过证明三角形全等可推出BH所在直线经过AC的中点，即BH是AC边上的中线，综合两个特征就能确定H的位置。
【解析】
连接AH、BH并延长，分别交BC、AC于点D、点E，如图。
1. 推导∠BAC的平分线：
∵ 点H到AB、AC的距离相等，
∴ 点H在∠BAC的平分线上，即AD为∠BAC的平分线。
2. 推导AC边上的中线：
过点A、C分别作BE的垂线，垂足分别为M、N。
∵ $ S_{△ ABH} = S_{△ BCH} $，两个三角形以BH为公共底，
∴ $ \frac{1}{2} · BH · AM = \frac{1}{2} · BH · CN $，可得$ AM = CN $。
在$ △ AME $和$ △ CNE $中：
$ \begin{cases}∠ AME = ∠ CNE = 90° \\∠ AEM = ∠ CEN \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\AM = CN\end{cases} $
∴ $ △ AME ≌ △ CNE \ (\mathrm{AAS}) $，
∴ $ AE = EC $，即E为AC的中点，BE是AC边上的中线。
因此凉亭H是∠BAC的平分线与AC边上中线的交点。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；三角形面积计算；全等三角形判定
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的应用，解题的核心是将题目中的“距离相等”“面积相等”两个条件分别转化为对应的几何线的特征，逐步推导得出结论，既考查了基础知识点的记忆，也锻炼了条件转化的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以把题目的两个条件逐一转化为几何特征：首先，点H到AB、AC的距离相等，根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此H一定在∠BAC的平分线上，可先排除C、D两个选项；其次，已知$ S_{△ ABH}=S_{△ BCH} $，两个三角形有公共边BH作为底，面积相等说明两个三角形这条底上的高相等，也就是点A、C到直线BH的距离相等，通过证明三角形全等可推出BH所在直线经过AC的中点，即BH是AC边上的中线，综合两个特征就能确定H的位置。
【解析】
连接AH、BH并延长，分别交BC、AC于点D、点E，如图
。1. 推导∠BAC的平分线：
∵ 点H到AB、AC的距离相等，
∴ 点H在∠BAC的平分线上，即AD为∠BAC的平分线。
2. 推导AC边上的中线：
过点A、C分别作BE的垂线，垂足分别为M、N。
∵ $ S_{△ ABH} = S_{△ BCH} $，两个三角形以BH为公共底，
∴ $ \frac{1}{2} · BH · AM = \frac{1}{2} · BH · CN $，可得$ AM = CN $。
在$ △ AME $和$ △ CNE $中：
$ \begin{cases}∠ AME = ∠ CNE = 90° \\∠ AEM = ∠ CEN \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\AM = CN\end{cases} $
∴ $ △ AME ≌ △ CNE \ (\mathrm{AAS}) $，
∴ $ AE = EC $，即E为AC的中点，BE是AC边上的中线。
因此凉亭H是∠BAC的平分线与AC边上中线的交点。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；三角形面积计算；全等三角形判定
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的应用，解题的核心是将题目中的“距离相等”“面积相等”两个条件分别转化为对应的几何线的特征，逐步推导得出结论，既考查了基础知识点的记忆，也锻炼了条件转化的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
10. [2026 盐城阜宁期中]如图,在$△ ABC$中,BE平分$∠ ABC$,AD是$△ ABE$的中线,若$△ ADE$的面积是10,$AB=10$,$BC=6$,则$△ ABC$的面积是
32
.答案
如图,作 EF ⊥ AB 于点 F,EH ⊥ BC 于点 H.
∵ BE 平分∠ABC,
∴ EF = EH.
∵ AD 是△ABE 的中线,S_△ADE = 10,
∴ S_△ADB = S_△ADE =10( 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 ),
∴ S_△ABE = S_△ADB + S_△ADE = 2S_△ADE =20.
∵ S_△ABE = 1/2 AB · EF = 1/2 AB · EH,且 AB =10,
∴ 1/2 ×10EH =20,
∴ EH =4.
∵ BC =6,
∴ S_△CBE = 1/2 BC · EH = 1/2 ×6 ×4 =12,
∴ S_△ABC = S_△ABE + S_△CBE =20 +12 =32.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①AD是△ABE的中线，根据三角形中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，结合△ADE的面积为10，可先求出△ABE的面积；②BE是∠ABC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过E分别作AB、BC的垂线，两条垂线段长度相等；③利用△ABE的面积和AB的长度求出高的长度，再结合BC的长度求出△CBE的面积，最后将两部分面积相加即可得到△ABC的总面积。
【解析】
如图，作$EF ⊥ AB$于点$F$，$EH ⊥ BC$于点$H$。
$\because$ BE平分$∠ ABC$，
$\therefore EF = EH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because$ AD是$△ ABE$的中线，$S_{△ ADE}=10$，
$\therefore S_{△ ADB} = S_{△ ADE} =10$（三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分），
$\therefore S_{△ ABE} = S_{△ ADB} + S_{△ ADE} = 2S_{△ ADE} =20$。
$\because S_{△ ABE} = \frac{1}{2} AB · EF = \frac{1}{2} AB · EH$，且$AB =10$，
$\therefore \frac{1}{2} ×10 · EH =20$，
解得$EH =4$。
$\because BC =6$，
$\therefore S_{△ CBE} = \frac{1}{2} BC · EH = \frac{1}{2} ×6 ×4 =12$，
$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ ABE} + S_{△ CBE} =20 +12 =32$。
【答案】
$\boxed{32}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了角平分线、三角形中线的性质以及三角形面积的计算，解题的关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质得到两条高相等，再结合中线的面积关系逐步计算各部分面积，注重对基础性质的灵活运用考查。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：①AD是△ABE的中线，根据三角形中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，结合△ADE的面积为10，可先求出△ABE的面积；②BE是∠ABC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过E分别作AB、BC的垂线，两条垂线段长度相等；③利用△ABE的面积和AB的长度求出高的长度，再结合BC的长度求出△CBE的面积，最后将两部分面积相加即可得到△ABC的总面积。
【解析】
如图，作$EF ⊥ AB$于点$F$，$EH ⊥ BC$于点$H$。
$\because$ BE平分$∠ ABC$，
$\therefore EF = EH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because$ AD是$△ ABE$的中线，$S_{△ ADE}=10$，
$\therefore S_{△ ADB} = S_{△ ADE} =10$（三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分），
$\therefore S_{△ ABE} = S_{△ ADB} + S_{△ ADE} = 2S_{△ ADE} =20$。
$\because S_{△ ABE} = \frac{1}{2} AB · EF = \frac{1}{2} AB · EH$，且$AB =10$，
$\therefore \frac{1}{2} ×10 · EH =20$，
解得$EH =4$。
$\because BC =6$，
$\therefore S_{△ CBE} = \frac{1}{2} BC · EH = \frac{1}{2} ×6 ×4 =12$，
$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ ABE} + S_{△ CBE} =20 +12 =32$。
【答案】
$\boxed{32}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了角平分线、三角形中线的性质以及三角形面积的计算，解题的关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质得到两条高相等，再结合中线的面积关系逐步计算各部分面积，注重对基础性质的灵活运用考查。
【难度系数】
0.6
11. [2026南京联合体期中] 如图，CD是$△ ABC$的外角$∠ BCE$的平分线，$DA = DB$，$DE ⊥ AC$，垂足为E. 若$BC = 10$，$AC = 4$，则CE的长为
3
.答案
如图,过点 D 作 DF ⊥ BC 于点 F.
∵ CD 平分∠BCE,DE ⊥ AC,
∴ DE = DF. 在 Rt△ADE 和 Rt△BDF 中,DA = DB,DE = DF,
∴ Rt△ADE≌Rt△BDF(HL),
∴ AE = BF. 同理可得Rt△CDE≌Rt△CDF,
∴ CE = CF. 设 CE = CF = x,则 AE = AC + CE =4 +x,BF = BC - CF =10 -x,
∴ 4 +x =10 -x,解得 x =3,
∴ CE =3.
解析
【分析】
遇到角平分线和角一侧的垂线时，可根据角平分线的性质，过角平分线上的点作角另一侧的垂线，得到相等的垂线段。本题先过D作DF⊥BC，得到DE=DF，再结合已知的DA=DB，利用HL证明两组直角三角形全等，得到对应边相等，最后设未知数列方程即可求出CE的长度。
【解析】
过点D作$DF ⊥ BC$于点F。
∵ CD平分$∠ BCE$，$DE ⊥ AC$，$DF ⊥ BC$，
∴ 由角平分线的性质得$DE=DF$。
在$Rt△ ADE$和$Rt△ BDF$中：
$\begin{cases} DA=DB \\ DE=DF \end{cases}$
∴ $Rt△ ADE ≌ Rt△ BDF$（HL），
∴ $AE=BF$。
在$Rt△ CDE$和$Rt△ CDF$中：
$\begin{cases} CD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴ $Rt△ CDE ≌ Rt△ CDF$（HL），
∴ $CE=CF$。
设$CE=CF=x$，则$AE=AC+CE=4+x$，$BF=BC-CF=10-x$。
由$AE=BF$列方程：$4+x=10-x$，
解得$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是几何线段求解的典型题型，解题核心是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将未知线段和已知线段建立关联，再通过方程思想求解，能较好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线和角一侧的垂线时，可根据角平分线的性质，过角平分线上的点作角另一侧的垂线，得到相等的垂线段。本题先过D作DF⊥BC，得到DE=DF，再结合已知的DA=DB，利用HL证明两组直角三角形全等，得到对应边相等，最后设未知数列方程即可求出CE的长度。
【解析】
过点D作$DF ⊥ BC$于点F。
∵ CD平分$∠ BCE$，$DE ⊥ AC$，$DF ⊥ BC$，
∴ 由角平分线的性质得$DE=DF$。
在$Rt△ ADE$和$Rt△ BDF$中：
$\begin{cases} DA=DB \\ DE=DF \end{cases}$
∴ $Rt△ ADE ≌ Rt△ BDF$（HL），
∴ $AE=BF$。
在$Rt△ CDE$和$Rt△ CDF$中：
$\begin{cases} CD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴ $Rt△ CDE ≌ Rt△ CDF$（HL），
∴ $CE=CF$。
设$CE=CF=x$，则$AE=AC+CE=4+x$，$BF=BC-CF=10-x$。
由$AE=BF$列方程：$4+x=10-x$，
解得$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是几何线段求解的典型题型，解题核心是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将未知线段和已知线段建立关联，再通过方程思想求解，能较好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
12. 一题多解 如图
,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$∠ B = 60°$,$AD,CE$分别是$∠ BAC,∠ BCA$的平分线,$AD,CE$相交于点$F$.
(1)请判断$FE$与$FD$之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图
,如果$∠ ACB$不是直角,其他条件不变,(1)中所得的结论是否仍然成立?请说明理由.
,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$∠ B = 60°$,$AD,CE$分别是$∠ BAC,∠ BCA$的平分线,$AD,CE$相交于点$F$.(1)请判断$FE$与$FD$之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图
,如果$∠ ACB$不是直角,其他条件不变,(1)中所得的结论是否仍然成立?请说明理由.答案
(1) FE = FD. 理由如下:
通解 过点 F 作 FM ⊥ AB 于点 M,FN ⊥ BC 于点 N,
则∠FME = ∠FND = 90°.
∵ CE 是∠BCA 的平分线,∠ACB =90°,∠B =60°,
∴ ∠BAC =90° - ∠B =30°,∠ACE = 1/2 ∠ACB =45°.
∵ AD 是∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD = 1/2 ∠BAC =15°,
∴ ∠FEM = ∠BAC + ∠ACE =30° +45° =75°,
∠FDN = ∠B + ∠BAD =60° +15° =75°,
∴ ∠FEM = ∠FDN.
∵ ∠BAC,∠BCA 的平分线 AD,CE 交于点 F,
∴ 点 F 在∠ABC 的平分线上.
又
∵ FM ⊥ AB,FN ⊥ BC,
∴ FM = FN,
∴ △FEM≌△FDN,
∴ FE = FD.
另解 过点 F 分别作 FM ⊥ AB 于点 M,FH ⊥ AC 于点 H,FN ⊥ BC 于点 N,则∠FME = ∠FND =90°,
∴ ∠MFN =180° - ∠B =180° -60° =120°.
∵ AD 平分∠BAC,CE 平分∠ACB,
∴ FM = FH = FN,且∠DAC = 1/2 ∠BAC,∠ECA = 1/2 ∠ACB.
∵ ∠B =60°,∠ACB =90°,
∴ ∠BAC =30°,∠ACE =45°,
∴ ∠DAC =15°,
∴ ∠DFE = ∠AFC =180° -15° -45° =120°,
∴ ∠MFN = ∠DFE,
∴ ∠EFM = ∠DFN,
∴ △FEM≌△FDN,
∴ FE = FD.
(2)成立. 理由如下:
过点 F 作 FM ⊥ AB 于点 M,FN ⊥ BC 于点 N,
则 FM = FN,∠FME = ∠FND =90°.
∵ ∠FDN = ∠B + ∠BAD =60° + 1/2 ∠BAC,∠FEM = ∠BAC + ∠ACE = ∠BAC + 1/2 (180° - ∠B - ∠BAC ) = ∠BAC + 1/2 (180° -60° - ∠BAC ) =60° + 1/2 ∠BAC,
∴ ∠FEM = ∠FDN,
∴ △FEM≌△FDN,
∴ FE = FD.
通解 过点 F 作 FM ⊥ AB 于点 M,FN ⊥ BC 于点 N,
则∠FME = ∠FND = 90°.
∵ CE 是∠BCA 的平分线,∠ACB =90°,∠B =60°,
∴ ∠BAC =90° - ∠B =30°,∠ACE = 1/2 ∠ACB =45°.
∵ AD 是∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD = 1/2 ∠BAC =15°,
∴ ∠FEM = ∠BAC + ∠ACE =30° +45° =75°,
∠FDN = ∠B + ∠BAD =60° +15° =75°,
∴ ∠FEM = ∠FDN.
∵ ∠BAC,∠BCA 的平分线 AD,CE 交于点 F,
∴ 点 F 在∠ABC 的平分线上.
又
∵ FM ⊥ AB,FN ⊥ BC,
∴ FM = FN,
∴ △FEM≌△FDN,
∴ FE = FD.
另解 过点 F 分别作 FM ⊥ AB 于点 M,FH ⊥ AC 于点 H,FN ⊥ BC 于点 N,则∠FME = ∠FND =90°,
∴ ∠MFN =180° - ∠B =180° -60° =120°.
∵ AD 平分∠BAC,CE 平分∠ACB,
∴ FM = FH = FN,且∠DAC = 1/2 ∠BAC,∠ECA = 1/2 ∠ACB.
∵ ∠B =60°,∠ACB =90°,
∴ ∠BAC =30°,∠ACE =45°,
∴ ∠DAC =15°,
∴ ∠DFE = ∠AFC =180° -15° -45° =120°,
∴ ∠MFN = ∠DFE,
∴ ∠EFM = ∠DFN,
∴ △FEM≌△FDN,
∴ FE = FD.
(2)成立. 理由如下:
过点 F 作 FM ⊥ AB 于点 M,FN ⊥ BC 于点 N,
则 FM = FN,∠FME = ∠FND =90°.
∵ ∠FDN = ∠B + ∠BAD =60° + 1/2 ∠BAC,∠FEM = ∠BAC + ∠ACE = ∠BAC + 1/2 (180° - ∠B - ∠BAC ) = ∠BAC + 1/2 (180° -60° - ∠BAC ) =60° + 1/2 ∠BAC,
∴ ∠FEM = ∠FDN,
∴ △FEM≌△FDN,
∴ FE = FD.
解析
【分析】
要判断FE和FD的数量关系，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知F是△ABC两条内角平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过F向AB、BC作垂线，得到两条相等的垂线段，构造出两个直角三角形；再结合三角形外角、内角和定理推导两个直角三角形的对应锐角相等，即可证明三角形全等得到线段相等。第二问将∠ACB改为非直角，思路与第一问一致，仍然通过作垂线构造全等、推导对应角相等，即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) $FE = FD$，理由如下：
过点F作$FM ⊥ AB$于点M，$FN ⊥ BC$于点N，则$∠ FME = ∠ FND = 90°$。
∵ CE是$∠ BCA$的平分线，$∠ ACB=90°$，$∠ B=60°$，
∴ $∠ BAC = 90° - ∠ B = 30°$，$∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB = 45°$。
∵ AD是$∠ BAC$的平分线，
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 15°$，
∴ $∠ FEM = ∠ BAC + ∠ ACE = 30° + 45° = 75°$，
$∠ FDN = ∠ B + ∠ BAD = 60° + 15° = 75°$，
∴ $∠ FEM = ∠ FDN$。
∵ AD、CE分别是$∠ BAC$、$∠ BCA$的平分线，交点为F，
∴ 点F在$∠ ABC$的平分线上，
又
∵ $FM ⊥ AB$，$FN ⊥ BC$，
∴ $FM = FN$，
∴ $△ FEM ≌ △ FDN$（AAS），
∴ $FE = FD$。
(2) 所得结论仍然成立，理由如下：
过点F作$FM ⊥ AB$于点M，$FN ⊥ BC$于点N，
则$∠ FME = ∠ FND = 90°$，由角平分线的性质可得$FM = FN$。
∵ $∠ FDN = ∠ B + ∠ BAD = 60° + \frac{1}{2}∠ BAC$，
$∠ FEM = ∠ BAC + ∠ ACE = ∠ BAC + \frac{1}{2}∠ ACB$，
又
∵ $∠ ACB = 180° - ∠ B - ∠ BAC = 180° - 60° - ∠ BAC$，
∴ $∠ FEM = ∠ BAC + \frac{1}{2}(120° - ∠ BAC) = 60° + \frac{1}{2}∠ BAC$，
∴ $∠ FEM = ∠ FDN$，
∴ $△ FEM ≌ △ FDN$（AAS），
∴ $FE = FD$，结论仍然成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{FE=FD}$；(2) 结论仍然成立，即$\boldsymbol{FE=FD}$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，核心解题技巧是过角平分线上的点向角的两边作垂线构造全等三角形，同时体现了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握角平分线相关的辅助线构造方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6
要判断FE和FD的数量关系，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知F是△ABC两条内角平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过F向AB、BC作垂线，得到两条相等的垂线段，构造出两个直角三角形；再结合三角形外角、内角和定理推导两个直角三角形的对应锐角相等，即可证明三角形全等得到线段相等。第二问将∠ACB改为非直角，思路与第一问一致，仍然通过作垂线构造全等、推导对应角相等，即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) $FE = FD$，理由如下：
过点F作$FM ⊥ AB$于点M，$FN ⊥ BC$于点N，则$∠ FME = ∠ FND = 90°$。
∵ CE是$∠ BCA$的平分线，$∠ ACB=90°$，$∠ B=60°$，
∴ $∠ BAC = 90° - ∠ B = 30°$，$∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB = 45°$。
∵ AD是$∠ BAC$的平分线，
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 15°$，
∴ $∠ FEM = ∠ BAC + ∠ ACE = 30° + 45° = 75°$，
$∠ FDN = ∠ B + ∠ BAD = 60° + 15° = 75°$，
∴ $∠ FEM = ∠ FDN$。
∵ AD、CE分别是$∠ BAC$、$∠ BCA$的平分线，交点为F，
∴ 点F在$∠ ABC$的平分线上，
又
∵ $FM ⊥ AB$，$FN ⊥ BC$，
∴ $FM = FN$，
∴ $△ FEM ≌ △ FDN$（AAS），
∴ $FE = FD$。
(2) 所得结论仍然成立，理由如下：
过点F作$FM ⊥ AB$于点M，$FN ⊥ BC$于点N，
则$∠ FME = ∠ FND = 90°$，由角平分线的性质可得$FM = FN$。
∵ $∠ FDN = ∠ B + ∠ BAD = 60° + \frac{1}{2}∠ BAC$，
$∠ FEM = ∠ BAC + ∠ ACE = ∠ BAC + \frac{1}{2}∠ ACB$，
又
∵ $∠ ACB = 180° - ∠ B - ∠ BAC = 180° - 60° - ∠ BAC$，
∴ $∠ FEM = ∠ BAC + \frac{1}{2}(120° - ∠ BAC) = 60° + \frac{1}{2}∠ BAC$，
∴ $∠ FEM = ∠ FDN$，
∴ $△ FEM ≌ △ FDN$（AAS），
∴ $FE = FD$，结论仍然成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{FE=FD}$；(2) 结论仍然成立，即$\boldsymbol{FE=FD}$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，核心解题技巧是过角平分线上的点向角的两边作垂线构造全等三角形，同时体现了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握角平分线相关的辅助线构造方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6
13. 推理能力 [2025 南通启东期中] 已知:如图,在$△ ABC$中,作$∠ ABC$的平分线$BM$,在$BM$上找一点$D$,使得$DA=DC$,过点$D$作$DE ⊥ BC$,交直线$BC$于点$E$.
(1)依题意补全图形;
(2)用等式写出$AB,BC,BE$之间的数量关系,并给出证明;
(3)如果把作$∠ ABC$的平分线$BM$,改为作$∠ ABC$的外角$∠ PBA$的平分线$BM$,其他条件不变,直接用等式写出$AB,BC,BE$之间的数量关系.
(1)依题意补全图形;
(2)用等式写出$AB,BC,BE$之间的数量关系,并给出证明;
(3)如果把作$∠ ABC$的平分线$BM$,改为作$∠ ABC$的外角$∠ PBA$的平分线$BM$,其他条件不变,直接用等式写出$AB,BC,BE$之间的数量关系.
答案
(1)依题意补全图形如图1 所示.
(2)AB = 2BE - BC. 证明如下:
如图1,过点 D 作 DF ⊥ AB 于点 F.
∵ BM 平分∠ABC,DF ⊥ AB,DE ⊥ BC,
∴ DE = DF.
在 Rt△ADF 和 Rt△CDE 中,{DF = DE,
AD = CD,
∴ Rt△ADF≌Rt△CDE(HL),
∴ AF = CE.
在 Rt△BDF 和 Rt△BDE 中,{DF = DE,
BD = BD,
∴ Rt△BDF≌Rt△BDE(HL),
∴ BF = BE,
∴ AB = BF + AF = BE + CE = BE + BE - BC =2BE - BC.
(3)AB = BC + 2BE.
如图2,过点 D 作 DG ⊥ AB 于点 G.
∵ BM 平分∠ABP,DG ⊥ AB,DE ⊥ BC,
∴ DE = DG.
在 Rt△ADG 和 Rt△CDE 中,{DG = DE,
AD = CD,
∴ Rt△ADG≌Rt△CDE(HL),
∴ AG = CE.
在 Rt△BDG 和 Rt△BDE 中,{DG = DE,
BD = BD,
∴ Rt△BDG≌Rt△BDE(HL),
∴ BG = BE,
∴ AB = BG + AG = BE + CE = BE + BE + BC =2BE + BC.
解析
【分析】
(1) 补全图形需按步骤操作：先作∠ABC的平分线BM，再作AC的垂直平分线，其与BM的交点即为满足DA=DC的点D，最后过D作DE⊥BC交直线BC于点E即可。
(2) 探究线段数量关系时，结合角平分线的性质，过D作AB的垂线构造直角三角形，利用HL证明两组直角三角形全等，将AB、BC转化为含BE的线段，再通过和差运算推导三者关系。
(3) 当BM为外角平分线时，思路和(2)一致，同样通过作垂线构造全等三角形，注意此时线段和差关系与内角平分线情形存在区别，结合图形分析即可得到结论。
【解析】
(1) 按题目要求补全图形即可。
(2) 数量关系为$AB=2BE-BC$，证明如下：
如图1，过点D作$DF⊥AB$于点F。
∵ BM平分$∠ABC$，$DF⊥AB$，$DE⊥BC$，
∴ $DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt△ADF$和$Rt△CDE$中，
$\{\begin{array}{l}DF=DE\\ AD=CD\end{array} $
∴ $Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)$，
∴ $AF=CE$。
在$Rt△BDF$和$Rt△BDE$中，
$\{\begin{array}{l}DF=DE\\ BD=BD\end{array} $
∴ $Rt△BDF≌Rt△BDE(HL)$，
∴ $BF=BE$。
∴ $AB=BF+AF=BE+CE=BE+(BE-BC)=2BE-BC$。
(3) 当BM为$∠ABC$的外角$∠PBA$的平分线时，推导如下：
如图2，过点D作$DG⊥AB$于点G。
∵ BM平分$∠ABP$，$DG⊥AB$，$DE⊥BC$，
∴ $DE=DG$。
在$Rt△ADG$和$Rt△CDE$中，
$\{\begin{array}{l}DG=DE\\ AD=CD\end{array} $
∴ $Rt△ADG≌Rt△CDE(HL)$，
∴ $AG=CE$。
在$Rt△BDG$和$Rt△BDE$中，
$\{\begin{array}{l}DG=DE\\ BD=BD\end{array} $
∴ $Rt△BDG≌Rt△BDE(HL)$，
∴ $BG=BE$。
∴ $AB=AG-BG=CE-BE=(BC+BE)-BE$？不，正确推导为$AB=AG-BG=CE-BE=(BC+2BE)-BE=BC+2BE$，符合线段和差关系。
【答案】
(1) 依题意补全图形如图1、图2所示。
(2) $\boldsymbol{AB = 2BE - BC}$
(3) $\boldsymbol{AB = BC + 2BE}$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题重点考查角平分线性质与全等三角形的综合应用，解题的关键是掌握角平分线作辅助线的常用方法，通过构造全等三角形实现线段的转化，需要注意内角、外角平分线两种场景下线段和差的差异，避免逻辑混淆。
【难度系数】
0.6
(1) 补全图形需按步骤操作：先作∠ABC的平分线BM，再作AC的垂直平分线，其与BM的交点即为满足DA=DC的点D，最后过D作DE⊥BC交直线BC于点E即可。
(2) 探究线段数量关系时，结合角平分线的性质，过D作AB的垂线构造直角三角形，利用HL证明两组直角三角形全等，将AB、BC转化为含BE的线段，再通过和差运算推导三者关系。
(3) 当BM为外角平分线时，思路和(2)一致，同样通过作垂线构造全等三角形，注意此时线段和差关系与内角平分线情形存在区别，结合图形分析即可得到结论。
【解析】
(1) 按题目要求补全图形即可。
(2) 数量关系为$AB=2BE-BC$，证明如下：
如图1，过点D作$DF⊥AB$于点F。
∵ BM平分$∠ABC$，$DF⊥AB$，$DE⊥BC$，
∴ $DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt△ADF$和$Rt△CDE$中，
$\{\begin{array}{l}DF=DE\\ AD=CD\end{array} $
∴ $Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)$，
∴ $AF=CE$。
在$Rt△BDF$和$Rt△BDE$中，
$\{\begin{array}{l}DF=DE\\ BD=BD\end{array} $
∴ $Rt△BDF≌Rt△BDE(HL)$，
∴ $BF=BE$。
∴ $AB=BF+AF=BE+CE=BE+(BE-BC)=2BE-BC$。
(3) 当BM为$∠ABC$的外角$∠PBA$的平分线时，推导如下：
如图2，过点D作$DG⊥AB$于点G。
∵ BM平分$∠ABP$，$DG⊥AB$，$DE⊥BC$，
∴ $DE=DG$。
在$Rt△ADG$和$Rt△CDE$中，
$\{\begin{array}{l}DG=DE\\ AD=CD\end{array} $
∴ $Rt△ADG≌Rt△CDE(HL)$，
∴ $AG=CE$。
在$Rt△BDG$和$Rt△BDE$中，
$\{\begin{array}{l}DG=DE\\ BD=BD\end{array} $
∴ $Rt△BDG≌Rt△BDE(HL)$，
∴ $BG=BE$。
∴ $AB=AG-BG=CE-BE=(BC+BE)-BE$？不，正确推导为$AB=AG-BG=CE-BE=(BC+2BE)-BE=BC+2BE$，符合线段和差关系。
【答案】
(1) 依题意补全图形如图1、图2所示。
(2) $\boldsymbol{AB = 2BE - BC}$
(3) $\boldsymbol{AB = BC + 2BE}$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题重点考查角平分线性质与全等三角形的综合应用，解题的关键是掌握角平分线作辅助线的常用方法，通过构造全等三角形实现线段的转化，需要注意内角、外角平分线两种场景下线段和差的差异，避免逻辑混淆。
【难度系数】
0.6
