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7 教材P162例1·变式（2026宿迁沭阳期末）沭阳县是苏北地区首个拥有完整快速路环线的县级城市.其城区快速路环线是沭阳作为“中等城市”培育的重要交通支撑.沭阳快速路一期工程的总造价由固定费用与按里程增加的可变费用组成.已知每千米道路的造价为0.56亿元,另外还有一次性固定投入1.09亿元(用于前期勘测、工程设计等).设快速路一期的长度为x km(x＞0),总造价为y亿元.
(1) 直接写出y与x之间的函数关系式；
(2) 若沭阳快速路一期全长5 km,求一期工程的总造价；
(3) 若工程预算最多为18.45亿元,问在此预算下最多能建设多少千米的快速路？
(1) 直接写出y与x之间的函数关系式；
(2) 若沭阳快速路一期全长5 km,求一期工程的总造价；
(3) 若工程预算最多为18.45亿元,问在此预算下最多能建设多少千米的快速路？
答案
7. 解:(1) $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=0.56x+1.09(x＞0)$.
(2) 当 $x=5$ 时,$y=0.56×5+1.09=3.89$,
即一期工程的总造价为 3.89 亿元.
(3) 由题意,得 $0.56x+1.09≤18.45$,
解得 $x≤31$.
故在此预算下最多能建设 31 km 的快速路.
(2) 当 $x=5$ 时,$y=0.56×5+1.09=3.89$,
即一期工程的总造价为 3.89 亿元.
(3) 由题意,得 $0.56x+1.09≤18.45$,
解得 $x≤31$.
故在此预算下最多能建设 31 km 的快速路.
解析
【分析】
解决这类实际问题的核心是将实际场景转化为数学模型：第(1)问需明确总造价由固定费用和可变费用两部分组成，据此推导函数关系式；第(2)问是代入自变量求值的基础计算；第(3)问需根据预算限制列出不等式，解不等式得到自变量的最大值，注意自变量的实际意义（里程为正数）。
【解析】
(1) 总造价=固定费用+可变费用，其中可变费用为每千米造价×里程，因此函数关系式为：
$y = 0.56x + 1.09$（$x＞0$）。
(2) 当$x=5$时，代入函数式计算：
$y = 0.56×5 + 1.09 = 2.8 + 1.09 = 3.89$（亿元），即一期工程总造价为3.89亿元。
(3) 由预算最多18.45亿元，得不等式：
$0.56x + 1.09 ≤ 18.45$，
移项得：$0.56x ≤ 17.36$，
两边同除以0.56得：$x ≤ 31$，
因此最多能建设31 km的快速路。
【答案】
7. 解:(1) $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=0.56x+1.09(x＞0)$.
(2) 当 $x=5$ 时,$y=0.56×5+1.09=3.89$,
即一期工程的总造价为 3.89 亿元.
(3) 由题意,得 $0.56x+1.09≤18.45$,
解得 $x≤31$.
故在此预算下最多能建设 31 km 的快速路.
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是一次函数在实际工程中的基础应用，分为函数建模、代入计算、解不等式三个步骤，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
解决这类实际问题的核心是将实际场景转化为数学模型：第(1)问需明确总造价由固定费用和可变费用两部分组成，据此推导函数关系式；第(2)问是代入自变量求值的基础计算；第(3)问需根据预算限制列出不等式，解不等式得到自变量的最大值，注意自变量的实际意义（里程为正数）。
【解析】
(1) 总造价=固定费用+可变费用，其中可变费用为每千米造价×里程，因此函数关系式为：
$y = 0.56x + 1.09$（$x＞0$）。
(2) 当$x=5$时，代入函数式计算：
$y = 0.56×5 + 1.09 = 2.8 + 1.09 = 3.89$（亿元），即一期工程总造价为3.89亿元。
(3) 由预算最多18.45亿元，得不等式：
$0.56x + 1.09 ≤ 18.45$，
移项得：$0.56x ≤ 17.36$，
两边同除以0.56得：$x ≤ 31$，
因此最多能建设31 km的快速路。
【答案】
7. 解:(1) $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=0.56x+1.09(x＞0)$.
(2) 当 $x=5$ 时,$y=0.56×5+1.09=3.89$,
即一期工程的总造价为 3.89 亿元.
(3) 由题意,得 $0.56x+1.09≤18.45$,
解得 $x≤31$.
故在此预算下最多能建设 31 km 的快速路.
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是一次函数在实际工程中的基础应用，分为函数建模、代入计算、解不等式三个步骤，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
8（2025苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度$v$(m/s)与温度$t$(℃)部分对应数值如表：
研究发现$v,t$满足公式$v=at+b$($a,b$为常数，且$a≠0$)，当温度$t$为$15\ ℃$时，声音传播的速度$v$为（
A.333 m/s
B.339 m/s
C.341 m/s
D.342 m/s
研究发现$v,t$满足公式$v=at+b$($a,b$为常数，且$a≠0$)，当温度$t$为$15\ ℃$时，声音传播的速度$v$为（
B
）A.333 m/s
B.339 m/s
C.341 m/s
D.342 m/s
答案
8. B
解析
【分析】
本题利用一次函数模型解决实际问题，解题思路为：根据v与t满足一次函数关系$v=at+b$，选取表格中两组对应数据，通过待定系数法求出常数a、b，得到v与t的函数表达式，再将$t=15℃$代入表达式计算v值，从而选出正确答案。
【解析】
已知v与t满足一次函数关系$v = at + b$（$a≠0$），选取表格中两组对应数据：
当$t=0℃$时，$v=330m/s$，代入公式得：$330 = a×0 + b$，解得$b=330$；
当$t=10℃$时，$v=336m/s$，代入公式得：$336 = a×10 + b$，将$b=330$代入得：$336 = 10a + 330$，解得$a=0.6$；
因此，v与t的函数表达式为$v = 0.6t + 330$；
当$t=15℃$时，代入表达式得：$v = 0.6×15 + 330 = 9 + 330 = 339(m/s)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查一次函数在实际问题中的应用，核心是利用待定系数法确定函数关系式，再代入求值，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题利用一次函数模型解决实际问题，解题思路为：根据v与t满足一次函数关系$v=at+b$，选取表格中两组对应数据，通过待定系数法求出常数a、b，得到v与t的函数表达式，再将$t=15℃$代入表达式计算v值，从而选出正确答案。
【解析】
已知v与t满足一次函数关系$v = at + b$（$a≠0$），选取表格中两组对应数据：
当$t=0℃$时，$v=330m/s$，代入公式得：$330 = a×0 + b$，解得$b=330$；
当$t=10℃$时，$v=336m/s$，代入公式得：$336 = a×10 + b$，将$b=330$代入得：$336 = 10a + 330$，解得$a=0.6$；
因此，v与t的函数表达式为$v = 0.6t + 330$；
当$t=15℃$时，代入表达式得：$v = 0.6×15 + 330 = 9 + 330 = 339(m/s)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查一次函数在实际问题中的应用，核心是利用待定系数法确定函数关系式，再代入求值，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
9 新趋势 学科融合（2025镇江句容期末）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离$y(\mathrm{cm})$与所挂物重$x(\mathrm{kg})$之间满足一次函数关系，下表为记录的部分数据。
若不挂重物，则秤砣到秤纽的水平距离是（
A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$2.5\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$5.5\ \mathrm{cm}$
若不挂重物，则秤砣到秤纽的水平距离是（
A
）A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$2.5\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$5.5\ \mathrm{cm}$
答案
9. B
解析
【分析】
本题是一次函数在实际生活中的应用，已知秤砣到秤纽的水平距离$ y $与物重$ x $满足一次函数关系，需用待定系数法求解函数解析式，再代入$ x=0 $（不挂重物）计算对应的$ y $值，即可得到答案。
【解析】
设一次函数解析式为$ y = kx + b $，根据题目给出的对应数据（当$ x=1\ \mathrm{kg} $时，$ y=5\ \mathrm{cm} $；当$ x=2\ \mathrm{kg} $时，$ y=7.5\ \mathrm{cm} $），将两组数据代入解析式得：
$\begin{cases}k + b = 5 \\2k + b = 7.5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$ k = 2.5 $；将$ k=2.5 $代入$ k + b =5 $，解得$ b=2.5 $，因此一次函数解析式为$ y=2.5x + 2.5 $。
当不挂重物时，$ x=0 $，代入解析式得$ y=2.5×0 +2.5=2.5\ \mathrm{cm} $，故答案为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用
【点评】
本题结合杆秤的实际场景考查一次函数的应用，核心是掌握待定系数法求一次函数解析式，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是一次函数在实际生活中的应用，已知秤砣到秤纽的水平距离$ y $与物重$ x $满足一次函数关系，需用待定系数法求解函数解析式，再代入$ x=0 $（不挂重物）计算对应的$ y $值，即可得到答案。
【解析】
设一次函数解析式为$ y = kx + b $，根据题目给出的对应数据（当$ x=1\ \mathrm{kg} $时，$ y=5\ \mathrm{cm} $；当$ x=2\ \mathrm{kg} $时，$ y=7.5\ \mathrm{cm} $），将两组数据代入解析式得：
$\begin{cases}k + b = 5 \\2k + b = 7.5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$ k = 2.5 $；将$ k=2.5 $代入$ k + b =5 $，解得$ b=2.5 $，因此一次函数解析式为$ y=2.5x + 2.5 $。
当不挂重物时，$ x=0 $，代入解析式得$ y=2.5×0 +2.5=2.5\ \mathrm{cm} $，故答案为B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的应用
【点评】
本题结合杆秤的实际场景考查一次函数的应用，核心是掌握待定系数法求一次函数解析式，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
10 声音在空气中的传播速度v(m/s)与温度t(℃)的关系如下表：
若声音在空气中的传播速度v(m/s)是温度t(℃)的一次函数，则当t=25 ℃时，声音的传播速度为
若声音在空气中的传播速度v(m/s)是温度t(℃)的一次函数，则当t=25 ℃时，声音的传播速度为
356
m/s.答案
10. 356
解析
【分析】
要解决这个问题，根据题目中“v是t的一次函数”的条件，先设出一次函数解析式，再通过表格中的两组对应值求出解析式的参数，最后代入t=25℃计算对应的速度即可。
【解析】
解：设声音传播速度v与温度t的一次函数解析式为 $ v = kt + b $（$ k ≠ 0 $）。
选取表格中两组对应值：当 $ t=0°\mathrm{C} $ 时，$ v=331\ \mathrm{m/s} $；当 $ t=5°\mathrm{C} $ 时，$ v=336\ \mathrm{m/s} $，代入解析式得：
当 $ t=0 $ 时，$ b = 331 $；
当 $ t=5 $ 时，$ 5k + 331 = 336 $，解得 $ k = 1 $。
因此，函数解析式为 $ v = t + 331 $。
当 $ t=25°\mathrm{C} $ 时，代入得 $ v = 25 + 331 = 356\ (\mathrm{m/s}) $。
【答案】
356
【知识点】
一次函数的应用
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的基础应用，核心是掌握一次函数解析式的求解方法，难度较低，适合学生巩固一次函数的应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，根据题目中“v是t的一次函数”的条件，先设出一次函数解析式，再通过表格中的两组对应值求出解析式的参数，最后代入t=25℃计算对应的速度即可。
【解析】
解：设声音传播速度v与温度t的一次函数解析式为 $ v = kt + b $（$ k ≠ 0 $）。
选取表格中两组对应值：当 $ t=0°\mathrm{C} $ 时，$ v=331\ \mathrm{m/s} $；当 $ t=5°\mathrm{C} $ 时，$ v=336\ \mathrm{m/s} $，代入解析式得：
当 $ t=0 $ 时，$ b = 331 $；
当 $ t=5 $ 时，$ 5k + 331 = 336 $，解得 $ k = 1 $。
因此，函数解析式为 $ v = t + 331 $。
当 $ t=25°\mathrm{C} $ 时，代入得 $ v = 25 + 331 = 356\ (\mathrm{m/s}) $。
【答案】
356
【知识点】
一次函数的应用
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的基础应用，核心是掌握一次函数解析式的求解方法，难度较低，适合学生巩固一次函数的应用能力。
【难度系数】
0.7
