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1 下列选项中,所列举的两个变量之间的关系是反比例关系的为 （
A.在斜边长为5的直角三角形中,两直角边长之间的关系
B.在等腰三角形中,顶角度数与底角度数之间的关系
C.圆的面积S与它的直径d之间的关系
D.在面积为20 cm²的菱形中,一条对角线长y(cm)与另一条对角线长x(cm)之间的关系
D
）A.在斜边长为5的直角三角形中,两直角边长之间的关系
B.在等腰三角形中,顶角度数与底角度数之间的关系
C.圆的面积S与它的直径d之间的关系
D.在面积为20 cm²的菱形中,一条对角线长y(cm)与另一条对角线长x(cm)之间的关系
答案
1. D
解析
【分析】
要判断两个变量是否为反比例关系，首先需明确反比例关系的核心特征：两个变量的乘积为非零定值，即满足$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时可先结合各选项对应的几何性质，分别写出两个变量之间的关系式，再对照反比例关系的特征逐一筛选即可。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：若两个相关联的变量$x$、$y$满足$xy=k$（$k$为常数，且$k≠0$），则$y$与$x$成反比例关系。接下来逐个分析选项：
A选项：设斜边长为5的直角三角形两直角边分别为$a$、$b$，由勾股定理可得$a^2 + b^2 = 25$，两变量平方和为定值，乘积不是定值，不符合反比例关系的特征，排除；
B选项：设等腰三角形顶角为$α$，底角为$β$，由三角形内角和为$180°$可得$α + 2β = 180°$，整理得$α = 180° - 2β$，属于一次函数关系，不符合反比例关系，排除；
C选项：圆的面积$S$与直径$d$的关系为$S=π · (\frac{d}{2})^2 = \frac{π}{4}d^2$，属于二次函数关系，不符合反比例关系，排除；
D选项：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知面积为$20\mathrm{cm}^2$，因此可得$\frac{1}{2}xy = 20$，整理得$xy=40$，两变量的乘积为定值40，符合反比例关系的特征，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例关系判定；菱形面积公式；函数关系式列写
【点评】
本题侧重考查对反比例关系概念的理解，解题核心是准确推导各选项中变量的关系式，结合反比例关系的定义判断即可，需要熟练掌握基础几何图形的相关计算公式。
【难度系数】
0.8
要判断两个变量是否为反比例关系，首先需明确反比例关系的核心特征：两个变量的乘积为非零定值，即满足$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时可先结合各选项对应的几何性质，分别写出两个变量之间的关系式，再对照反比例关系的特征逐一筛选即可。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：若两个相关联的变量$x$、$y$满足$xy=k$（$k$为常数，且$k≠0$），则$y$与$x$成反比例关系。接下来逐个分析选项：
A选项：设斜边长为5的直角三角形两直角边分别为$a$、$b$，由勾股定理可得$a^2 + b^2 = 25$，两变量平方和为定值，乘积不是定值，不符合反比例关系的特征，排除；
B选项：设等腰三角形顶角为$α$，底角为$β$，由三角形内角和为$180°$可得$α + 2β = 180°$，整理得$α = 180° - 2β$，属于一次函数关系，不符合反比例关系，排除；
C选项：圆的面积$S$与直径$d$的关系为$S=π · (\frac{d}{2})^2 = \frac{π}{4}d^2$，属于二次函数关系，不符合反比例关系，排除；
D选项：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知面积为$20\mathrm{cm}^2$，因此可得$\frac{1}{2}xy = 20$，整理得$xy=40$，两变量的乘积为定值40，符合反比例关系的特征，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例关系判定；菱形面积公式；函数关系式列写
【点评】
本题侧重考查对反比例关系概念的理解，解题核心是准确推导各选项中变量的关系式，结合反比例关系的定义判断即可，需要熟练掌握基础几何图形的相关计算公式。
【难度系数】
0.8
2 [2024 苏州工业园区段考]下列等式中，y不是x的反比例函数的为（
A.$y=\dfrac{3}{x}$
B.$y=3x^{-1}$
C.$xy=1$
D.$y=\dfrac{x}{3}$
D
）A.$y=\dfrac{3}{x}$
B.$y=3x^{-1}$
C.$xy=1$
D.$y=\dfrac{x}{3}$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义及常见的三种表达形式，再将每个选项与反比例函数的标准形式逐一对比，判断是否符合特征，最终选出不符合要求的选项即可。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数，叫做反比例函数，它还有两种等价表达形式：$xy=k$（$k$为常数，$k\ne0$）、$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$）。
接下来逐一分析选项：
A. $y=\frac{3}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=3\ne0$，属于反比例函数；
B. $y=3x^{-1}$可变形为$y=\frac{3}{x}$，符合$y=kx^{-1}$的形式，其中$k=3\ne0$，属于反比例函数；
C. $xy=1$可变形为$y=\frac{1}{x}$，符合$xy=k$的形式，其中$k=1\ne0$，属于反比例函数；
D. $y=\frac{x}{3}$可变形为$y=\frac{1}{3}x$，是正比例函数，不属于反比例函数。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的等价形式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握反比例函数的几种常见表达形式，注意区分反比例函数和正比例函数的形式差异即可快速判断。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义及常见的三种表达形式，再将每个选项与反比例函数的标准形式逐一对比，判断是否符合特征，最终选出不符合要求的选项即可。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数，叫做反比例函数，它还有两种等价表达形式：$xy=k$（$k$为常数，$k\ne0$）、$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$）。
接下来逐一分析选项：
A. $y=\frac{3}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=3\ne0$，属于反比例函数；
B. $y=3x^{-1}$可变形为$y=\frac{3}{x}$，符合$y=kx^{-1}$的形式，其中$k=3\ne0$，属于反比例函数；
C. $xy=1$可变形为$y=\frac{1}{x}$，符合$xy=k$的形式，其中$k=1\ne0$，属于反比例函数；
D. $y=\frac{x}{3}$可变形为$y=\frac{1}{3}x$，是正比例函数，不属于反比例函数。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的等价形式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握反比例函数的几种常见表达形式，注意区分反比例函数和正比例函数的形式差异即可快速判断。
【难度系数】
0.9
3 有下列等式:① $y=3x-2$;② $y=-\dfrac{100}{x}$;③ $3xy=-1$;④ $y=\dfrac{4}{x^2}$;⑤ $y=\dfrac{1}{4x}$;⑥ $y=9x^{-1}$. 其中, $y$与$x$成反比例关系的是
②③⑤⑥
(填序号).答案
3. ②③⑤⑥
解析
【分析】
要判断y与x是否成反比例关系，首先要明确反比例关系的判定标准：若y与x成反比例，可化为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）、$xy=k$（$k≠0$）或$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，且x的次数为-1。解题时我们先明确判定依据，再逐个验证给出的等式是否符合要求即可，注意要区分y与x成反比例和y与x的其他次幂成反比例的区别。
【解析】
首先明确反比例关系的判定规则：若y与x成反比例关系，需满足$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$），或等价变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$），且x的次数为-1。
逐个分析等式：
①$y=3x-2$是一次函数，y与x成一次函数关系，不符合反比例要求；
②$y=-\frac{100}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$形式，其中$k=-100≠0$，y与x成反比例关系；
③$3xy=-1$变形得$xy=-\frac{1}{3}$，符合$xy=k$形式，其中$k=-\frac{1}{3}≠0$，y与x成反比例关系；
④$y=\frac{4}{x^2}$中x的次数为-2，是y与$x^2$成反比例，不是y与x成反比例，不符合要求；
⑤$y=\frac{1}{4x}$可变形为$y=\frac{\frac{1}{4}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$形式，其中$k=\frac{1}{4}≠0$，y与x成反比例关系；
⑥$y=9x^{-1}$可变形为$y=\frac{9}{x}$，符合$y=kx^{-1}$形式，其中$k=9≠0$，y与x成反比例关系。
综上，符合要求的是②③⑤⑥。
【答案】
②③⑤⑥
【知识点】
1. 反比例函数的概念 2. 反比例函数的等价形式
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题关键是熟练掌握反比例函数的三类表达形式，注意不要把y与x的其他次幂成反比例的情况误认为是y与x成反比例。
【难度系数】
0.8
要判断y与x是否成反比例关系，首先要明确反比例关系的判定标准：若y与x成反比例，可化为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）、$xy=k$（$k≠0$）或$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，且x的次数为-1。解题时我们先明确判定依据，再逐个验证给出的等式是否符合要求即可，注意要区分y与x成反比例和y与x的其他次幂成反比例的区别。
【解析】
首先明确反比例关系的判定规则：若y与x成反比例关系，需满足$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$），或等价变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$），且x的次数为-1。
逐个分析等式：
①$y=3x-2$是一次函数，y与x成一次函数关系，不符合反比例要求；
②$y=-\frac{100}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$形式，其中$k=-100≠0$，y与x成反比例关系；
③$3xy=-1$变形得$xy=-\frac{1}{3}$，符合$xy=k$形式，其中$k=-\frac{1}{3}≠0$，y与x成反比例关系；
④$y=\frac{4}{x^2}$中x的次数为-2，是y与$x^2$成反比例，不是y与x成反比例，不符合要求；
⑤$y=\frac{1}{4x}$可变形为$y=\frac{\frac{1}{4}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$形式，其中$k=\frac{1}{4}≠0$，y与x成反比例关系；
⑥$y=9x^{-1}$可变形为$y=\frac{9}{x}$，符合$y=kx^{-1}$形式，其中$k=9≠0$，y与x成反比例关系。
综上，符合要求的是②③⑤⑥。
【答案】
②③⑤⑥
【知识点】
1. 反比例函数的概念 2. 反比例函数的等价形式
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题关键是熟练掌握反比例函数的三类表达形式，注意不要把y与x的其他次幂成反比例的情况误认为是y与x成反比例。
【难度系数】
0.8
4 新情境 学科融合 [2025 德阳]公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡。后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂=动力×动力臂。已知阻力和阻力臂分别为600 N和1 m，则当动力为1 200 N时，动力臂是
0.5
m。答案
4. 0.5
解析
【分析】
解题的核心是利用题目给出的杠杆原理等量关系：阻力×阻力臂=动力×动力臂。我们首先明确已知量的数值：阻力为600N，阻力臂为1m，动力为1200N，未知量为动力臂，将已知量代入等量关系，建立关于动力臂的一元一次方程，求解即可得到结果。
【解析】
设动力臂为$ x $ m，根据杠杆原理“阻力×阻力臂=动力×动力臂”，代入已知数据得：
$ 600 × 1 = 1200 × x $
化简得：$ 1200x = 600 $
解得：$ x = 600 ÷ 1200 = 0.5 $
【答案】
0.5
【知识点】
1. 反比例关系
2. 一元一次方程求解
3. 跨学科公式应用
【点评】
本题为跨学科融合题型，结合物理学科的杠杆原理考查数学计算能力，题干已直接给出核心等量关系，只需准确提取已知条件代入计算即可，侧重考查学生的信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用题目给出的杠杆原理等量关系：阻力×阻力臂=动力×动力臂。我们首先明确已知量的数值：阻力为600N，阻力臂为1m，动力为1200N，未知量为动力臂，将已知量代入等量关系，建立关于动力臂的一元一次方程，求解即可得到结果。
【解析】
设动力臂为$ x $ m，根据杠杆原理“阻力×阻力臂=动力×动力臂”，代入已知数据得：
$ 600 × 1 = 1200 × x $
化简得：$ 1200x = 600 $
解得：$ x = 600 ÷ 1200 = 0.5 $
【答案】
0.5
【知识点】
1. 反比例关系
2. 一元一次方程求解
3. 跨学科公式应用
【点评】
本题为跨学科融合题型，结合物理学科的杠杆原理考查数学计算能力，题干已直接给出核心等量关系，只需准确提取已知条件代入计算即可，侧重考查学生的信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.9
5 教材变式题 判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系.
（1）购买橡皮的总价为20元，橡皮的块数$ y $随橡皮的单价$ x $（元）的变化而变化；
（2）体积$ 200\ \mathrm{cm}^3 $的圆柱，圆柱的高$ h $（cm）随底面半径$ r $（cm）的变化而变化；
（3）已知苏州市的总面积约为$ 8.657\ 32×10^3\ \mathrm{km}^2 $，人均占有面积$ S(\mathrm{km}^2) $随全市总人数$ n $的变化而变化；
（4）小华每分钟打字60个，则他打字总数$ y $（个）随时间$ t $（分钟）的变化而变化.
（1）购买橡皮的总价为20元，橡皮的块数$ y $随橡皮的单价$ x $（元）的变化而变化；
（2）体积$ 200\ \mathrm{cm}^3 $的圆柱，圆柱的高$ h $（cm）随底面半径$ r $（cm）的变化而变化；
（3）已知苏州市的总面积约为$ 8.657\ 32×10^3\ \mathrm{km}^2 $，人均占有面积$ S(\mathrm{km}^2) $随全市总人数$ n $的变化而变化；
（4）小华每分钟打字60个，则他打字总数$ y $（个）随时间$ t $（分钟）的变化而变化.
答案
5.（1）根据题意,得 $xy=20$,即 $y=\frac{20}{x}$,$y$ 与 $x$ 具有反比例关系
（2）根据题意,得 $π r^2 h=200$,即 $h=\frac{200}{π r^2}$,$h$ 与 $r$ 不具有反比例关系
（3）根据题意,得 $Sn=8.657\ 32×10^3$,即 $S=\frac{8.657\ 32×10^3}{n}$,$S$ 与 $n$具有反比例关系
（4）根据题意,得 $y=60t$,$y$ 与 $t$ 不具有反比例关系
（2）根据题意,得 $π r^2 h=200$,即 $h=\frac{200}{π r^2}$,$h$ 与 $r$ 不具有反比例关系
（3）根据题意,得 $Sn=8.657\ 32×10^3$,即 $S=\frac{8.657\ 32×10^3}{n}$,$S$ 与 $n$具有反比例关系
（4）根据题意,得 $y=60t$,$y$ 与 $t$ 不具有反比例关系
解析
【分析】
解题前先明确反比例关系的核心定义：若两个变量x、y满足$y=\frac{k}{x}$（k为不等于0的常数），即两个变量的乘积为非零定值，则称y与x成反比例关系。解题时先结合每个小题的实际等量关系，列出两个变量的等式，再变形为用自变量表示因变量的形式，对照反比例关系的定义逐一判断即可。
【解析】
（1）由“总价=单价×数量”，已知总价为20元，可得$xy=20$，变形为$y=\frac{20}{x}$，符合反比例关系的形式，因此y与x具有反比例关系。
（2）由圆柱体积公式$V=π r^2h$，已知体积为$200\ \mathrm{cm}^3$，可得$π r^2h=200$，变形为$h=\frac{200}{π r^2}$，此时h是与$r^2$的乘积为定值，不是与r的乘积为定值，不符合反比例关系定义，因此h与r不具有反比例关系。
（3）由“总面积=人均占有面积×总人数”，已知总面积为$8.657\ 32×10^3\ \mathrm{km}^2$，可得$Sn=8.657\ 32×10^3$，变形为$S=\frac{8.657\ 32×10^3}{n}$，符合反比例关系的形式，因此S与n具有反比例关系。
（4）由“打字总数=打字速度×时间”，已知每分钟打字60个，可得$y=60t$，属于正比例函数形式，不符合反比例关系定义，因此y与t不具有反比例关系。
【答案】
（1）根据题意,得 $xy=20$,即 $y=\frac{20}{x}$,$y$ 与 $x$ 具有反比例关系
（2）根据题意,得 $π r^2 h=200$,即 $h=\frac{200}{π r^2}$,$h$ 与 $r$ 不具有反比例关系
（3）根据题意,得 $Sn=8.657\ 32×10^3$,即 $S=\frac{8.657\ 32×10^3}{n}$,$S$ 与 $n$具有反比例关系
（4）根据题意,得 $y=60t$,$y$ 与 $t$ 不具有反比例关系
【知识点】
反比例关系的判定；反比例函数的定义；实际问题列函数关系式
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是抓住反比例关系的本质：两个变量的乘积为非零定值，注意区分反比例关系与正比例等其他函数关系，尤其要注意反比例关系中自变量的次数为-1，避免将分母含自变量平方等的关系式误判为反比例关系。
【难度系数】
0.8
解题前先明确反比例关系的核心定义：若两个变量x、y满足$y=\frac{k}{x}$（k为不等于0的常数），即两个变量的乘积为非零定值，则称y与x成反比例关系。解题时先结合每个小题的实际等量关系，列出两个变量的等式，再变形为用自变量表示因变量的形式，对照反比例关系的定义逐一判断即可。
【解析】
（1）由“总价=单价×数量”，已知总价为20元，可得$xy=20$，变形为$y=\frac{20}{x}$，符合反比例关系的形式，因此y与x具有反比例关系。
（2）由圆柱体积公式$V=π r^2h$，已知体积为$200\ \mathrm{cm}^3$，可得$π r^2h=200$，变形为$h=\frac{200}{π r^2}$，此时h是与$r^2$的乘积为定值，不是与r的乘积为定值，不符合反比例关系定义，因此h与r不具有反比例关系。
（3）由“总面积=人均占有面积×总人数”，已知总面积为$8.657\ 32×10^3\ \mathrm{km}^2$，可得$Sn=8.657\ 32×10^3$，变形为$S=\frac{8.657\ 32×10^3}{n}$，符合反比例关系的形式，因此S与n具有反比例关系。
（4）由“打字总数=打字速度×时间”，已知每分钟打字60个，可得$y=60t$，属于正比例函数形式，不符合反比例关系定义，因此y与t不具有反比例关系。
【答案】
（1）根据题意,得 $xy=20$,即 $y=\frac{20}{x}$,$y$ 与 $x$ 具有反比例关系
（2）根据题意,得 $π r^2 h=200$,即 $h=\frac{200}{π r^2}$,$h$ 与 $r$ 不具有反比例关系
（3）根据题意,得 $Sn=8.657\ 32×10^3$,即 $S=\frac{8.657\ 32×10^3}{n}$,$S$ 与 $n$具有反比例关系
（4）根据题意,得 $y=60t$,$y$ 与 $t$ 不具有反比例关系
【知识点】
反比例关系的判定；反比例函数的定义；实际问题列函数关系式
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是抓住反比例关系的本质：两个变量的乘积为非零定值，注意区分反比例关系与正比例等其他函数关系，尤其要注意反比例关系中自变量的次数为-1，避免将分母含自变量平方等的关系式误判为反比例关系。
【难度系数】
0.8
