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7.(2025·姑苏区一模)反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象和点A如图所示,点A的坐标为$(-2,-1)$,则k的值可能为 (
A.$-3$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$π$
D
)A.$-3$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$π$
答案
7.D
8.(2025·工业园区期末)已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$都在反比例函数$y=\frac{k-4}{x}$的图象上,且当$x_1＜0＜x_2$时,$y_1＜y_2$,则$k$的取值范围是（
A.$k＞0$
B.$k＜0$
C.$k＞4$
D.$k＜4$
C
）A.$k＞0$
B.$k＜0$
C.$k＞4$
D.$k＜4$
答案
8.C
9.已知点$A(-2,y_1)$和点$B(m,y_2)$均在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上.若$0＜m＜1$,则$y_1+y_2$ ______ 0.(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)
答案
9.$＜$
10.已知点$A(m,y_1)$，$B(m+1,y_2)$都在反比例函数$y=\frac{n^2+1}{x}$（$n$是常数）的图象上，且$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
10.$-1＜m＜0$
11.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,OC在y轴上,OA=a,OC=b(a≤b,a≠0),将矩形ABCO绕点A顺时针旋转90°得到矩形ADEF,双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$经过点B,分别交DE,EF于P,Q两点.
(1)当$a=2,b=4$时,求点P,Q的坐标;
(2)当P是DE的中点时,求证:四边形ABCO是正方形.
(1)当$a=2,b=4$时,求点P,Q的坐标;
(2)当P是DE的中点时,求证:四边形ABCO是正方形.
答案
11.(1)解:$\because OA=2,OC=4$,$\therefore B(2,4)$.
$\because$双曲线$y=\dfrac{k}{x}$经过点B，
$\therefore k=2×4=8$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}$.
$\because AF=OA=2$，
$\therefore$点Q的纵坐标为2.
把$y=2$代入$y=\dfrac{8}{x}$,得$2=\dfrac{8}{x}$,解得$x=4$，
$\therefore Q(4,2)$.
$\because AD=OC=4$，
$\therefore OD=2+4=6$，
$\therefore$点P的横坐标为6.
把$x=6$代入$y=\dfrac{8}{x}$,得$y=\dfrac{4}{3}$，
$\therefore P(6,\dfrac{4}{3})$.
(2)证明:由题意可知$B(a,b)$，
$\because$双曲线$y=\dfrac{k}{x}$经过点B，
$\therefore k=ab$.
$\because AD=OC=b,DE=OA=a$,且P是DE的中点，
$\therefore P(a+b,\dfrac{1}{2}a)$.
$\because$双曲线$y=\dfrac{k}{x}$交DE于点P，
$\therefore (a+b)×\dfrac{1}{2}a=ab$，
整理,得$a=b$，
$\therefore OA=OC$.
$\because$四边形ABCO是矩形，
$\therefore$四边形ABCO是正方形.
$\because$双曲线$y=\dfrac{k}{x}$经过点B，
$\therefore k=2×4=8$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}$.
$\because AF=OA=2$，
$\therefore$点Q的纵坐标为2.
把$y=2$代入$y=\dfrac{8}{x}$,得$2=\dfrac{8}{x}$,解得$x=4$，
$\therefore Q(4,2)$.
$\because AD=OC=4$，
$\therefore OD=2+4=6$，
$\therefore$点P的横坐标为6.
把$x=6$代入$y=\dfrac{8}{x}$,得$y=\dfrac{4}{3}$，
$\therefore P(6,\dfrac{4}{3})$.
(2)证明:由题意可知$B(a,b)$，
$\because$双曲线$y=\dfrac{k}{x}$经过点B，
$\therefore k=ab$.
$\because AD=OC=b,DE=OA=a$,且P是DE的中点，
$\therefore P(a+b,\dfrac{1}{2}a)$.
$\because$双曲线$y=\dfrac{k}{x}$交DE于点P，
$\therefore (a+b)×\dfrac{1}{2}a=ab$，
整理,得$a=b$，
$\therefore OA=OC$.
$\because$四边形ABCO是矩形，
$\therefore$四边形ABCO是正方形.
12.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,点D的坐标为$(4,3)$.设AB所在直线的函数表达式为$y=ax+b(a≠0)$,若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位长度.
(1)当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时,求m的值;
(2)在平移过程中,若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点,求m的取值范围.
(1)当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时,求m的值;
(2)在平移过程中,若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点,求m的取值范围.
答案
12.解:(1)$\because$点D的坐标为(4,3),点C和原点O重合，
$\therefore CD=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=5$.
$\because$四边形ABCD为菱形，
$\therefore BC=AD=CD=5$，
$\therefore$点A的坐标为(4,8),点B的坐标为(0,5).
$\because$点A在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore k=4×8=32$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{32}{x}$.
当$y=5$时,$\dfrac{32}{x}=5$,解得$x=\dfrac{32}{5}$，
$\therefore$当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时,$m$的值为$\dfrac{32}{5}$.
(2)当$y=3$时,$\dfrac{32}{x}=3$,解得$x=\dfrac{32}{3}$，
$\because \dfrac{32}{3}-4=\dfrac{20}{3}$，
$\therefore$当菱形的顶点D落在反比例函数的图象上时,$m$的值为$\dfrac{20}{3}$，
$\therefore$在平移过程中,若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点,则$m$的取值范围为$0≤ m≤\dfrac{20}{3}$.
$\therefore CD=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=5$.
$\because$四边形ABCD为菱形，
$\therefore BC=AD=CD=5$，
$\therefore$点A的坐标为(4,8),点B的坐标为(0,5).
$\because$点A在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore k=4×8=32$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{32}{x}$.
当$y=5$时,$\dfrac{32}{x}=5$,解得$x=\dfrac{32}{5}$，
$\therefore$当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时,$m$的值为$\dfrac{32}{5}$.
(2)当$y=3$时,$\dfrac{32}{x}=3$,解得$x=\dfrac{32}{3}$，
$\because \dfrac{32}{3}-4=\dfrac{20}{3}$，
$\therefore$当菱形的顶点D落在反比例函数的图象上时,$m$的值为$\dfrac{20}{3}$，
$\therefore$在平移过程中,若反比例函数的图象与菱形的边AD始终有交点,则$m$的取值范围为$0≤ m≤\dfrac{20}{3}$.
