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1 [2025连云港]下列长度的3根小木棍能搭成三角形的是 （
A.1 cm,2 cm,3 cm
B.2 cm,3 cm,4 cm
C.3 cm,5 cm,8 cm
D.4 cm,5 cm,10 cm
B
）A.1 cm,2 cm,3 cm
B.2 cm,3 cm,4 cm
C.3 cm,5 cm,8 cm
D.4 cm,5 cm,10 cm
答案
1. B
解析
【分析】
要判断三根小木棍能否搭成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提高解题效率，可采用简便判断方法：先将三个边长从小到大排序，仅需验证较小两边的和是否大于最长边即可（若该条件满足，剩余两组两边之和必然大于第三边），随后逐个验证选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，简便判断规则为：较小两边之和＞最长边时，可构成三角形。
对各选项逐一验证：
A选项：三根木棍长度为1cm，2cm，3cm，较小两边和为$1+2=3$，等于最长边3cm，不满足条件，不能搭成三角形；
B选项：三根木棍长度为2cm，3cm，4cm，较小两边和为$2+3=5＞4$，满足条件，可以搭成三角形；
C选项：三根木棍长度为3cm，5cm，8cm，较小两边和为$3+5=8$，等于最长边8cm，不满足条件，不能搭成三角形；
D选项：三根木棍长度为4cm，5cm，10cm，较小两边和为$4+5=9＜10$，不满足条件，不能搭成三角形。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础类考题，主要考查三角形三边关系的实际应用，掌握“比较两短边之和与最长边大小”的简便判断方法，可快速完成解题，无需逐一验证所有边的组合，有效提升做题效率。
【难度系数】
0.9
要判断三根小木棍能否搭成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提高解题效率，可采用简便判断方法：先将三个边长从小到大排序，仅需验证较小两边的和是否大于最长边即可（若该条件满足，剩余两组两边之和必然大于第三边），随后逐个验证选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，简便判断规则为：较小两边之和＞最长边时，可构成三角形。
对各选项逐一验证：
A选项：三根木棍长度为1cm，2cm，3cm，较小两边和为$1+2=3$，等于最长边3cm，不满足条件，不能搭成三角形；
B选项：三根木棍长度为2cm，3cm，4cm，较小两边和为$2+3=5＞4$，满足条件，可以搭成三角形；
C选项：三根木棍长度为3cm，5cm，8cm，较小两边和为$3+5=8$，等于最长边8cm，不满足条件，不能搭成三角形；
D选项：三根木棍长度为4cm，5cm，10cm，较小两边和为$4+5=9＜10$，不满足条件，不能搭成三角形。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础类考题，主要考查三角形三边关系的实际应用，掌握“比较两短边之和与最长边大小”的简便判断方法，可快速完成解题，无需逐一验证所有边的组合，有效提升做题效率。
【难度系数】
0.9
2 分类讨论思想 长为9 cm,6 cm,5 cm,4 cm的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有 （
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
D
C
）A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
D
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确两个核心要点：一是四根木条选三根的所有可能组合要先全部枚举出来，避免漏选；二是判断三根木条能否组成三角形的依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，实际判断时只需验证较短两边之和是否大于最长边即可（最长边与任意短边的和必然大于另一短边，可简化计算）。
【解析】
首先列出从四根木条中任选三根的所有4种组合，再逐一判断：
1. 选9cm、6cm、5cm：较短两边和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11＞9$，满足三边关系，可以构成三角形；
2. 选9cm、6cm、4cm：较短两边和为$4+6=10\mathrm{cm}$，$10＞9$，满足三边关系，可以构成三角形；
3. 选9cm、5cm、4cm：较短两边和为$4+5=9\mathrm{cm}$，$9=9$，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
4. 选6cm、5cm、4cm：较短两边和为$4+5=9\mathrm{cm}$，$9＞6$，满足三边关系，可以构成三角形。
综上，能构成三角形的选法共有3种。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题时要先完整枚举所有组合再逐一验证，尤其注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免漏选或误判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确两个核心要点：一是四根木条选三根的所有可能组合要先全部枚举出来，避免漏选；二是判断三根木条能否组成三角形的依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，实际判断时只需验证较短两边之和是否大于最长边即可（最长边与任意短边的和必然大于另一短边，可简化计算）。
【解析】
首先列出从四根木条中任选三根的所有4种组合，再逐一判断：
1. 选9cm、6cm、5cm：较短两边和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11＞9$，满足三边关系，可以构成三角形；
2. 选9cm、6cm、4cm：较短两边和为$4+6=10\mathrm{cm}$，$10＞9$，满足三边关系，可以构成三角形；
3. 选9cm、5cm、4cm：较短两边和为$4+5=9\mathrm{cm}$，$9=9$，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
4. 选6cm、5cm、4cm：较短两边和为$4+5=9\mathrm{cm}$，$9＞6$，满足三边关系，可以构成三角形。
综上，能构成三角形的选法共有3种。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题时要先完整枚举所有组合再逐一验证，尤其注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免漏选或误判。
【难度系数】
0.7
3 如图,若$AC⊥BC$,则图中的钝角三角形是
$△ BCD,△ ACD$
.答案
3. $△ BCD,△ ACD$
解析
【分析】
解题首先要明确钝角三角形的定义：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形是钝角三角形。第一步先找出图中所有的三角形，分别是△ABC、△ACD、△BCD；第二步结合已知AC⊥BC，可得∠ACB=90°，再分别判断三个三角形的内角：①△ABC有直角∠ACB，属于直角三角形；②△ACD中，∠CAD是△ABC的外角，根据外角性质可推出∠CAD＞90°，是钝角；③△BCD中，∠BCD由直角∠ACB和∠ACD组成，可推出∠BCD＞90°，是钝角，由此即可得出答案。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°。
1. 对于△ABC：∠ACB=90°，是直角三角形，不符合钝角三角形要求；
2. 对于△ACD：∠CAD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，∠CAD=∠B+∠ACB=∠B+90°，
∵∠B＞0°，
∴∠CAD＞90°，为钝角，故△ACD是钝角三角形；
3. 对于△BCD：∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∵∠ACD＞0°，
∴∠BCD＞90°，为钝角，故△BCD是钝角三角形。
【答案】
△BCD，△ACD
【知识点】
钝角三角形的判定；三角形外角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于三角形分类的基础题，解题关键是先梳理出所有三角形，再结合已知条件和三角形外角性质判断是否存在钝角，注意不要漏算任意一个三角形。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确钝角三角形的定义：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形是钝角三角形。第一步先找出图中所有的三角形，分别是△ABC、△ACD、△BCD；第二步结合已知AC⊥BC，可得∠ACB=90°，再分别判断三个三角形的内角：①△ABC有直角∠ACB，属于直角三角形；②△ACD中，∠CAD是△ABC的外角，根据外角性质可推出∠CAD＞90°，是钝角；③△BCD中，∠BCD由直角∠ACB和∠ACD组成，可推出∠BCD＞90°，是钝角，由此即可得出答案。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°。
1. 对于△ABC：∠ACB=90°，是直角三角形，不符合钝角三角形要求；
2. 对于△ACD：∠CAD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，∠CAD=∠B+∠ACB=∠B+90°，
∵∠B＞0°，
∴∠CAD＞90°，为钝角，故△ACD是钝角三角形；
3. 对于△BCD：∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∵∠ACD＞0°，
∴∠BCD＞90°，为钝角，故△BCD是钝角三角形。
【答案】
△BCD，△ACD
【知识点】
钝角三角形的判定；三角形外角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于三角形分类的基础题，解题关键是先梳理出所有三角形，再结合已知条件和三角形外角性质判断是否存在钝角，注意不要漏算任意一个三角形。
【难度系数】
0.7
4 [2024 西宁]若长度分别为3,6,a 的三条线段能组成一个三角形,则整数a 的值可以是
4(答案不唯一)
(写出一个即可).答案
4. 4(答案不唯一)
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，需依据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知其中两条边的长度为3和6，我们可以先列出第三边a需要满足的不等式，求出a的取值范围，再在范围内任选一个整数即可得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系：第三边大于其余两边的差，小于其余两边的和，可得：
$6 - 3 ＜ a ＜ 6 + 3$
化简得$3 ＜ a ＜ 9$
因为a为整数，所以a可取4、5、6、7、8中的任意一个，例如4。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是牢记三边关系并正确求出第三边的取值范围，掌握相关知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否组成三角形，需依据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知其中两条边的长度为3和6，我们可以先列出第三边a需要满足的不等式，求出a的取值范围，再在范围内任选一个整数即可得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系：第三边大于其余两边的差，小于其余两边的和，可得：
$6 - 3 ＜ a ＜ 6 + 3$
化简得$3 ＜ a ＜ 9$
因为a为整数，所以a可取4、5、6、7、8中的任意一个，例如4。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是牢记三边关系并正确求出第三边的取值范围，掌握相关知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
5 如图,四边形ABCD是任意四边形,AC与BD相交于点O.求证:$AC+BD＞\frac{1}{2}(AB+BC+CD+DA)$.
答案
5. $\because$ 在$△ AOB$ 中,$AO+BO＞AB$;在$△ BOC$ 中,$CO+BO＞BC$;在$△ COD$ 中,$CO+DO＞CD$;在$△ AOD$ 中,$AO+DO＞DA$,$\therefore 2AO+2CO+2BO+2DO＞AB+BC+CD+DA$,即$2(AC+BD)＞AB+BC+CD+DA$,$\therefore AC+BD＞\frac{1}{2}(AB+BC+CD+DA)$
解析
【分析】
要证明线段和的不等关系，可优先考虑三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）。观察图形，四边形的对角线AC、BD将其分为$△ AOB$、$△ BOC$、$△ COD$、$△ AOD$四个小三角形，我们可以先在每个小三角形中根据三边关系列出不等式，再将四个不等式左右分别相加，整理变形后即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：
在$△ AOB$中，根据三角形三边关系可得：$AO+BO＞AB$；
在$△ BOC$中，根据三角形三边关系可得：$CO+BO＞BC$；
在$△ COD$中，根据三角形三边关系可得：$CO+DO＞CD$；
在$△ AOD$中，根据三角形三边关系可得：$AO+DO＞DA$。
将以上四个不等式左右两边分别相加，得：
$2AO+2CO+2BO+2DO＞AB+BC+CD+DA$
即$2(AO+CO) + 2(BO+DO)＞AB+BC+CD+DA$，
又$\because AO+CO=AC$，$BO+DO=BD$，
$\therefore 2(AC+BD)＞AB+BC+CD+DA$，
不等式两边同时除以2，得：$AC+BD＞\frac{1}{2}(AB+BC+CD+DA)$。
【答案】
$AC+BD＞\frac{1}{2}(AB+BC+CD+DA)$
【知识点】
三角形三边关系、不等式的性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题的核心是将四边形拆分为多个小三角形，通过列出多个三边关系不等式相加后整理得到结果，侧重考查转化思想的运用和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
要证明线段和的不等关系，可优先考虑三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）。观察图形，四边形的对角线AC、BD将其分为$△ AOB$、$△ BOC$、$△ COD$、$△ AOD$四个小三角形，我们可以先在每个小三角形中根据三边关系列出不等式，再将四个不等式左右分别相加，整理变形后即可得到要证明的结论。
【解析】
证明：
在$△ AOB$中，根据三角形三边关系可得：$AO+BO＞AB$；
在$△ BOC$中，根据三角形三边关系可得：$CO+BO＞BC$；
在$△ COD$中，根据三角形三边关系可得：$CO+DO＞CD$；
在$△ AOD$中，根据三角形三边关系可得：$AO+DO＞DA$。
将以上四个不等式左右两边分别相加，得：
$2AO+2CO+2BO+2DO＞AB+BC+CD+DA$
即$2(AO+CO) + 2(BO+DO)＞AB+BC+CD+DA$，
又$\because AO+CO=AC$，$BO+DO=BD$，
$\therefore 2(AC+BD)＞AB+BC+CD+DA$，
不等式两边同时除以2，得：$AC+BD＞\frac{1}{2}(AB+BC+CD+DA)$。
【答案】
$AC+BD＞\frac{1}{2}(AB+BC+CD+DA)$
【知识点】
三角形三边关系、不等式的性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题的核心是将四边形拆分为多个小三角形，通过列出多个三边关系不等式相加后整理得到结果，侧重考查转化思想的运用和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
6 [2025高新区段考]若一个三角形的三边长分别为2,3,x−1,则x的取值范围是 (
A.$x＜2$
B.$x＜3$
C.$2＜x＜3$
D.$2＜x＜6$
D
)A.$x＜2$
B.$x＜3$
C.$2＜x＜3$
D.$2＜x＜6$
答案
6. D
解析
【分析】
本题要求三角形边长中参数x的取值范围，核心解题依据是三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题思路是：将含参数的边x-1看作第三边，根据三边关系列出关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系，任意一边的长度大于另外两边的差，小于另外两边的和，由此可得不等式：
$3 - 2 ＜ x - 1 ＜ 3 + 2$
化简不等式得：
$1 ＜ x - 1 ＜ 5$
不等式各部分同时加1，得：
$2 ＜ x ＜ 6$
因此x的取值范围是$2 ＜ x ＜ 6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；解一元一次不等式
【点评】
本题是三角形三边关系的典型基础应用题，解题的关键是熟练掌握三边关系并正确列出不等式求解，难度较低，属于考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题要求三角形边长中参数x的取值范围，核心解题依据是三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题思路是：将含参数的边x-1看作第三边，根据三边关系列出关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系，任意一边的长度大于另外两边的差，小于另外两边的和，由此可得不等式：
$3 - 2 ＜ x - 1 ＜ 3 + 2$
化简不等式得：
$1 ＜ x - 1 ＜ 5$
不等式各部分同时加1，得：
$2 ＜ x ＜ 6$
因此x的取值范围是$2 ＜ x ＜ 6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；解一元一次不等式
【点评】
本题是三角形三边关系的典型基础应用题，解题的关键是熟练掌握三边关系并正确列出不等式求解，难度较低，属于考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
7在$△ ABC$中，$∠ C=60°$，$∠ B=40°$，则这个三角形三条边$AB$，$BC$，$AC$的长短关系为
$AC＜AB＜BC$
（用“＜”连接）。答案
7. $AC＜AB＜BC$
解析
【分析】
要比较三角形三边的长短，可利用三角形“大角对大边”的性质求解。首先需要根据三角形内角和求出未知角的度数，再比较三个内角的大小，最后匹配每个角对应的对边，就能根据角的大小关系推导得到边的大小关系。
【解析】
1. 计算∠A的度数：
根据三角形内角和为180°，已知∠C=60°，∠B=40°，可得：
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-40°-60°=80°$
2. 比较三个内角的大小：
$40°＜60°＜80°$，即$∠ B＜∠ C＜∠ A$
3. 根据“同一三角形中，大角对大边”匹配对边：
$∠ B$的对边是$AC$，$∠ C$的对边是$AB$，$∠ A$的对边是$BC$，角越小对应的对边越短，因此可得$AC＜AB＜BC$。
【答案】
$AC＜AB＜BC$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形大角对大边
【点评】
本题是基础的三角形边角关系应用题，解题核心是准确掌握内角和公式与大角对大边的性质，注意不要混淆内角和对应对边的匹配关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
要比较三角形三边的长短，可利用三角形“大角对大边”的性质求解。首先需要根据三角形内角和求出未知角的度数，再比较三个内角的大小，最后匹配每个角对应的对边，就能根据角的大小关系推导得到边的大小关系。
【解析】
1. 计算∠A的度数：
根据三角形内角和为180°，已知∠C=60°，∠B=40°，可得：
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-40°-60°=80°$
2. 比较三个内角的大小：
$40°＜60°＜80°$，即$∠ B＜∠ C＜∠ A$
3. 根据“同一三角形中，大角对大边”匹配对边：
$∠ B$的对边是$AC$，$∠ C$的对边是$AB$，$∠ A$的对边是$BC$，角越小对应的对边越短，因此可得$AC＜AB＜BC$。
【答案】
$AC＜AB＜BC$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形大角对大边
【点评】
本题是基础的三角形边角关系应用题，解题核心是准确掌握内角和公式与大角对大边的性质，注意不要混淆内角和对应对边的匹配关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
已知$a,b,c$是$△ ABC$的三条边的长，化简$|a+b-c|-|c-a+b|+|b-a-c|$得
$3a-b-c$
答案
8. $3a-b-c$ 【解析】$\because a,b,c$ 是$△ ABC$ 的三条边的长，$\therefore a+b＞c,c+b＞a,a+c＞b,\therefore a+b-c＞0,c-a+b＞0$,$b-a-c＜0$,$\therefore$ 原式$=a+b-c-(c-a+b)+(-b+a+c)=a+b-c-c+a-b-b+a+c=3a-b-c$.
解析
【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需判断每个绝对值内代数式的正负。已知a、b、c是三角形的三边长，可先利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，分别判断三个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
∵a,b,c是△ABC的三条边的长，
∴根据三角形三边关系可得：$a+b＞c$，$b+c＞a$，$a+c＞b$，
由此判断绝对值内式子的符号：
$a+b-c＞0$，$c-a+b=(b+c)-a＞0$，$b-a-c=b-(a+c)＜0$，
根据绝对值的性质去绝对值：
原式$=(a+b-c)-(c-a+b)+[-(b-a-c)]$
去括号得：$=a+b-c-c+a-b-b+a+c$
合并同类项得：$=3a-b-c$
【答案】
$3a-b-c$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值化简，整式加减运算
【点评】
本题是三角形三边关系与绝对值化简的综合基础题，解题的核心是正确利用三角形三边关系判断绝对值内表达式的正负，去括号时要注意符号变化，需熟练掌握相关性质避免出错。
【难度系数】
0.7
要化简含绝对值的式子，首先需判断每个绝对值内代数式的正负。已知a、b、c是三角形的三边长，可先利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，分别判断三个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
∵a,b,c是△ABC的三条边的长，
∴根据三角形三边关系可得：$a+b＞c$，$b+c＞a$，$a+c＞b$，
由此判断绝对值内式子的符号：
$a+b-c＞0$，$c-a+b=(b+c)-a＞0$，$b-a-c=b-(a+c)＜0$，
根据绝对值的性质去绝对值：
原式$=(a+b-c)-(c-a+b)+[-(b-a-c)]$
去括号得：$=a+b-c-c+a-b-b+a+c$
合并同类项得：$=3a-b-c$
【答案】
$3a-b-c$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值化简，整式加减运算
【点评】
本题是三角形三边关系与绝对值化简的综合基础题，解题的核心是正确利用三角形三边关系判断绝对值内表达式的正负，去括号时要注意符号变化，需熟练掌握相关性质避免出错。
【难度系数】
0.7
9 已知一个三角形的两条边的长分别为5 cm 和2 cm.
（1）若这个三角形的第三条边的长为偶数，求它的第三条边的长及周长；
（2）若这个三角形的周长为偶数，求它的第三条边的长及周长.
（1）若这个三角形的第三条边的长为偶数，求它的第三条边的长及周长；
（2）若这个三角形的周长为偶数，求它的第三条边的长及周长.
答案
9. 设这个三角形的第三条边的长为$x$ cm. 由题意,得$5-2＜x＜5+2$,即$3＜x＜7$. (1) 由题意,得$x$ 为偶数,$\therefore x=4$ 或6. 当$x=4$ 时,三角形的周长为 11 cm; 当$x=6$ 时,三角形的周长为13 cm. $\therefore$ 当这个三角形的第三条边的长为 4 cm 时,其周长为11 cm;当这个三角形的第三条边的长为 6 cm 时,其周长为13 cm (2) $\because$ 这个三角形的周长为偶数,$\therefore x=5$. 当$x=5$ 时,三角形的周长为 12 cm. $\therefore$ 这个三角形的第三条边的长为 5 cm,周长为 12 cm
解析
【分析】
解决本题需先利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合两个小问的限制条件筛选符合要求的边长，最后计算对应周长。具体思路：①根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式，求出第三边$x$的取值范围；②第(1)问在取值范围内找出偶数作为第三边，分别计算周长；③第(2)问已知周长为偶数，先算出已知两边的和为奇数，根据奇数加奇数得偶数的性质，可知第三边需为奇数，在取值范围内找出符合要求的奇数作为第三边，再计算周长。
【解析】
设这个三角形的第三条边的长为$x$ cm。
根据三角形三边关系可得：$5-2＜x＜5+2$，即$3＜x＜7$。
(1) 已知第三边的长为偶数，结合$3＜x＜7$可得$x=4$或$x=6$。
当$x=4$时，三角形的周长为$5+2+4=11\ \mathrm{cm}$；
当$x=6$时，三角形的周长为$5+2+6=13\ \mathrm{cm}$。
(2) 三角形的周长为$5+2+x=7+x$，已知周长为偶数，7为奇数，根据奇偶数运算性质可得$x$为奇数。
结合$3＜x＜7$可得$x=5$，此时三角形的周长为$7+5=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 第三条边长为4 cm时周长为11 cm，第三条边长为6 cm时周长为13 cm；
(2) 第三条边长为5 cm，周长为12 cm。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 奇偶数的性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是先通过三边关系确定第三边的取值范围，再结合题目限制条件筛选符合要求的边长，需注意取值范围的边界值不满足三边关系，不能纳入可选范围。
【难度系数】
0.8
解决本题需先利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合两个小问的限制条件筛选符合要求的边长，最后计算对应周长。具体思路：①根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式，求出第三边$x$的取值范围；②第(1)问在取值范围内找出偶数作为第三边，分别计算周长；③第(2)问已知周长为偶数，先算出已知两边的和为奇数，根据奇数加奇数得偶数的性质，可知第三边需为奇数，在取值范围内找出符合要求的奇数作为第三边，再计算周长。
【解析】
设这个三角形的第三条边的长为$x$ cm。
根据三角形三边关系可得：$5-2＜x＜5+2$，即$3＜x＜7$。
(1) 已知第三边的长为偶数，结合$3＜x＜7$可得$x=4$或$x=6$。
当$x=4$时，三角形的周长为$5+2+4=11\ \mathrm{cm}$；
当$x=6$时，三角形的周长为$5+2+6=13\ \mathrm{cm}$。
(2) 三角形的周长为$5+2+x=7+x$，已知周长为偶数，7为奇数，根据奇偶数运算性质可得$x$为奇数。
结合$3＜x＜7$可得$x=5$，此时三角形的周长为$7+5=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 第三条边长为4 cm时周长为11 cm，第三条边长为6 cm时周长为13 cm；
(2) 第三条边长为5 cm，周长为12 cm。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 奇偶数的性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是先通过三边关系确定第三边的取值范围，再结合题目限制条件筛选符合要求的边长，需注意取值范围的边界值不满足三边关系，不能纳入可选范围。
【难度系数】
0.8
