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10.已知平面直角坐标系中有一点$P(2m+1,m-3)$.
(1)若点$P$在第四象限,求$m$的取值范围;
(2)若点$P$到$y$轴的距离为$3$,求点$P$的坐标.
(1)若点$P$在第四象限,求$m$的取值范围;
(2)若点$P$到$y$轴的距离为$3$,求点$P$的坐标.
答案
10.解:(1)根据题意,得$\begin{cases}2m+1＞0,\\m-3＜0,\end{cases}$解得$-\dfrac{1}{2}＜m＜3$.
(2)根据题意,得$|2m+1|=3$,解得$m=1$或$m=-2$.
当$m=1$时,$P(3,-2)$;
当$m=-2$时,$P(-3,-5)$.
综上所述,点$P$的坐标为$(3,-2)$或$(-3,-5)$.
(2)根据题意,得$|2m+1|=3$,解得$m=1$或$m=-2$.
当$m=1$时,$P(3,-2)$;
当$m=-2$时,$P(-3,-5)$.
综上所述,点$P$的坐标为$(3,-2)$或$(-3,-5)$.
解析
【分析】
(1) 求解点P在第四象限时m的取值范围，首先明确第四象限内点的坐标特征：横坐标大于0，纵坐标小于0，据此列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得到结果。
(2) 点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，因此根据点P到y轴距离为3可列绝对值方程，求解得到m的两个取值，再分别代入点P的坐标表达式，即可求出对应的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 因为第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负，结合$P(2m+1,m-3)$在第四象限，可得不等式组：
$\begin{cases}2m+1＞0 \\ m-3＜0\end{cases}$
解$2m+1＞0$得$m＞-\dfrac{1}{2}$，解$m-3＜0$得$m＜3$，因此不等式组的解集为$-\dfrac{1}{2}＜m＜3$。
(2) 点到y轴的距离是该点横坐标的绝对值，由题意得$|2m+1|=3$，
去绝对值得$2m+1=3$或$2m+1=-3$，
当$2m+1=3$时，解得$m=1$，代入得$2m+1=3$，$m-3=-2$，即$P(3,-2)$；
当$2m+1=-3$时，解得$m=-2$，代入得$2m+1=-3$，$m-3=-5$，即$P(-3,-5)$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}＜m＜3$
(2) $(3,-2)$或$(-3,-5)$
【知识点】
象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，解绝对值方程与不等式组
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，解题关键是牢记各象限坐标的符号规律，以及点到坐标轴距离和坐标的对应关系，第二问求解绝对值方程时要注意双解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
(1) 求解点P在第四象限时m的取值范围，首先明确第四象限内点的坐标特征：横坐标大于0，纵坐标小于0，据此列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得到结果。
(2) 点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，因此根据点P到y轴距离为3可列绝对值方程，求解得到m的两个取值，再分别代入点P的坐标表达式，即可求出对应的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 因为第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负，结合$P(2m+1,m-3)$在第四象限，可得不等式组：
$\begin{cases}2m+1＞0 \\ m-3＜0\end{cases}$
解$2m+1＞0$得$m＞-\dfrac{1}{2}$，解$m-3＜0$得$m＜3$，因此不等式组的解集为$-\dfrac{1}{2}＜m＜3$。
(2) 点到y轴的距离是该点横坐标的绝对值，由题意得$|2m+1|=3$，
去绝对值得$2m+1=3$或$2m+1=-3$，
当$2m+1=3$时，解得$m=1$，代入得$2m+1=3$，$m-3=-2$，即$P(3,-2)$；
当$2m+1=-3$时，解得$m=-2$，代入得$2m+1=-3$，$m-3=-5$，即$P(-3,-5)$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}＜m＜3$
(2) $(3,-2)$或$(-3,-5)$
【知识点】
象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，解绝对值方程与不等式组
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，解题关键是牢记各象限坐标的符号规律，以及点到坐标轴距离和坐标的对应关系，第二问求解绝对值方程时要注意双解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
11.已知点$P(2m+4,m-1)$，请分别根据下列条件，求点$P$的坐标.
(1)点$P$在$x$轴上；
(2)点$P$的纵坐标比横坐标大$3$；
(3)点$P$在过点$A(2,-4)$且与$y$轴平行的直线上.
(1)点$P$在$x$轴上；
(2)点$P$的纵坐标比横坐标大$3$；
(3)点$P$在过点$A(2,-4)$且与$y$轴平行的直线上.
答案
11.解:(1)$\because$点$P(2m+4,m-1)$在$x$轴上，
$\therefore m-1=0$,解得$m=1$,
$\therefore 2m+4=2×1+4=6$,$\therefore$点$P$的坐标为$(6,0)$.
(2)$\because$点$P(2m+4,m-1)$的纵坐标比横坐标大$3$,
$\therefore m-1-(2m+4)=3$,解得$m=-8$,
$\therefore 2m+4=2×(-8)+4=-12$,$m-1=-8-1=-9$,
$\therefore$点$P$的坐标为$(-12,-9)$.
(3)$\because$点$P(2m+4,m-1)$在过点$A(2,-4)$且与$y$轴平行的直线上，
$\therefore 2m+4=2$,解得$m=-1$,
$\therefore m-1=-1-1=-2$,
$\therefore$点$P$的坐标为$(2,-2)$.
$\therefore m-1=0$,解得$m=1$,
$\therefore 2m+4=2×1+4=6$,$\therefore$点$P$的坐标为$(6,0)$.
(2)$\because$点$P(2m+4,m-1)$的纵坐标比横坐标大$3$,
$\therefore m-1-(2m+4)=3$,解得$m=-8$,
$\therefore 2m+4=2×(-8)+4=-12$,$m-1=-8-1=-9$,
$\therefore$点$P$的坐标为$(-12,-9)$.
(3)$\because$点$P(2m+4,m-1)$在过点$A(2,-4)$且与$y$轴平行的直线上，
$\therefore 2m+4=2$,解得$m=-1$,
$\therefore m-1=-1-1=-2$,
$\therefore$点$P$的坐标为$(2,-2)$.
解析
【分析】
本题可根据不同条件对应的点的坐标特征列方程求解参数$m$，再代入计算点$P$的坐标：
1. 若点在$x$轴上，其纵坐标为0，据此列方程求出$m$，再计算横坐标即可得到$P$点坐标；
2. 若纵坐标比横坐标大3，即纵坐标减横坐标的差为3，列方程求解$m$后代入横、纵坐标表达式计算即可；
3. 与$y$轴平行的直线上所有点的横坐标相等，该直线过$A(2,-4)$，因此直线上所有点横坐标均为2，据此列方程求$m$，再计算纵坐标即可得$P$点坐标。
【解析】
(1)$\because$点$P(2m+4,m-1)$在$x$轴上，
$\therefore m-1=0$,解得$m=1$,
$\therefore 2m+4=2×1+4=6$,$\therefore$点$P$的坐标为$(6,0)$.
(2)$\because$点$P(2m+4,m-1)$的纵坐标比横坐标大$3$,
$\therefore m-1-(2m+4)=3$,解得$m=-8$,
$\therefore 2m+4=2×(-8)+4=-12$,$m-1=-8-1=-9$,
$\therefore$点$P$的坐标为$(-12,-9)$.
(3)$\because$点$P(2m+4,m-1)$在过点$A(2,-4)$且与$y$轴平行的直线上，
$\therefore 2m+4=2$,解得$m=-1$,
$\therefore m-1=-1-1=-2$,
$\therefore$点$P$的坐标为$(2,-2)$.
【答案】
(1)$(6,0)$；(2)$(-12,-9)$；(3)$(2,-2)$
【知识点】
x轴上点的坐标特征；平行于y轴的直线的点的坐标特征；点的坐标运算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，解题关键是掌握不同位置的点对应的坐标规律，通过列一元一次方程求解参数，再反推点的坐标，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.85
本题可根据不同条件对应的点的坐标特征列方程求解参数$m$，再代入计算点$P$的坐标：
1. 若点在$x$轴上，其纵坐标为0，据此列方程求出$m$，再计算横坐标即可得到$P$点坐标；
2. 若纵坐标比横坐标大3，即纵坐标减横坐标的差为3，列方程求解$m$后代入横、纵坐标表达式计算即可；
3. 与$y$轴平行的直线上所有点的横坐标相等，该直线过$A(2,-4)$，因此直线上所有点横坐标均为2，据此列方程求$m$，再计算纵坐标即可得$P$点坐标。
【解析】
(1)$\because$点$P(2m+4,m-1)$在$x$轴上，
$\therefore m-1=0$,解得$m=1$,
$\therefore 2m+4=2×1+4=6$,$\therefore$点$P$的坐标为$(6,0)$.
(2)$\because$点$P(2m+4,m-1)$的纵坐标比横坐标大$3$,
$\therefore m-1-(2m+4)=3$,解得$m=-8$,
$\therefore 2m+4=2×(-8)+4=-12$,$m-1=-8-1=-9$,
$\therefore$点$P$的坐标为$(-12,-9)$.
(3)$\because$点$P(2m+4,m-1)$在过点$A(2,-4)$且与$y$轴平行的直线上，
$\therefore 2m+4=2$,解得$m=-1$,
$\therefore m-1=-1-1=-2$,
$\therefore$点$P$的坐标为$(2,-2)$.
【答案】
(1)$(6,0)$；(2)$(-12,-9)$；(3)$(2,-2)$
【知识点】
x轴上点的坐标特征；平行于y轴的直线的点的坐标特征；点的坐标运算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，解题关键是掌握不同位置的点对应的坐标规律，通过列一元一次方程求解参数，再反推点的坐标，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.85
12. 在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,若$x_2 - x_1 = y_2 - y_1 ≠ 0$,则称点$A$与点$B$互为“对角点”.例如,点$A(-1,3)$,点$B(2,6)$,因为$2 - (-1) = 6 - 3 ≠ 0$,所以点$A$与点$B$互为“对角点”.
(1)若点$A$的坐标是$(4,-2)$,则在点$B_1(2,0),B_2(-1,-7),B_3(0,-6)$中,点$A$的“对角点”为点________;
(2)若点$A(-2,4)$的“对角点”$B$在坐标轴上,求点$B$的坐标;
(3)若点$A(3,-1)$与点$B(m,n)$互为“对角点”,且点$B$在第四象限,求$m,n$的取值范围.
(1)若点$A$的坐标是$(4,-2)$,则在点$B_1(2,0),B_2(-1,-7),B_3(0,-6)$中,点$A$的“对角点”为点________;
(2)若点$A(-2,4)$的“对角点”$B$在坐标轴上,求点$B$的坐标;
(3)若点$A(3,-1)$与点$B(m,n)$互为“对角点”,且点$B$在第四象限,求$m,n$的取值范围.
答案
12.(1)$B_2(-1,-7),B_3(0,-6)$
(2)解:当点$B$在$x$轴上时,设$B(t,0)$,
由题意得$t-(-2)=0-4$,解得$t=-6$,$\therefore B(-6,0)$;
当点$B$在$y$轴上时,设$B(0,b)$,
由题意得$0-(-2)=b-4$,解得$b=6$,$\therefore B(0,6)$.
综上所述,点$B$的坐标为$(-6,0)$或$(0,6)$.
(3)解:由题意得$m-3=n-(-1)$,$\therefore m=n+4$.
$\because$点$B$在第四象限，
$\therefore\begin{cases}m＞0,\\n＜0,\end{cases}$即$\begin{cases}n+4＞0,\\n＜0,\end{cases}$解得$-4＜n＜0$,
此时$0＜n+4＜4$,即$0＜m＜4$.
由定义可知:$m≠3$,$n≠-1$,
$\therefore 0＜m＜4$且$m≠3$,$-4＜n＜0$且$n≠-1$.
(2)解:当点$B$在$x$轴上时,设$B(t,0)$,
由题意得$t-(-2)=0-4$,解得$t=-6$,$\therefore B(-6,0)$;
当点$B$在$y$轴上时,设$B(0,b)$,
由题意得$0-(-2)=b-4$,解得$b=6$,$\therefore B(0,6)$.
综上所述,点$B$的坐标为$(-6,0)$或$(0,6)$.
(3)解:由题意得$m-3=n-(-1)$,$\therefore m=n+4$.
$\because$点$B$在第四象限，
$\therefore\begin{cases}m＞0,\\n＜0,\end{cases}$即$\begin{cases}n+4＞0,\\n＜0,\end{cases}$解得$-4＜n＜0$,
此时$0＜n+4＜4$,即$0＜m＜4$.
由定义可知:$m≠3$,$n≠-1$,
$\therefore 0＜m＜4$且$m≠3$,$-4＜n＜0$且$n≠-1$.
解析
【分析】
本题为新定义类题型，解题前先明确“对角点”的核心规则：两点横坐标的差等于纵坐标的差，且差值不为0。各小问解题思路如下：
(1) 依次将3个候选点与点A(4,-2)代入规则验证，判断是否满足x₂-x₁=y₂-y₁≠0即可；
(2) 坐标轴上的点分两类：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别设出对应点坐标后，根据“对角点”规则列方程求解；
(3) 先根据规则得到m、n的等量关系，再结合第四象限点横坐标为正、纵坐标为负的特征列不等式组求解，最后注意不要遗漏“差值不为0”的隐含条件，排除不符合的取值。
【解析】
(1) 分别验证3个点：
对$B_1(2,0)$：$2-4=-2$，$0-(-2)=2$，二者不相等，不符合要求；
对$B_2(-1,-7)$：$-1-4=-5$，$-7-(-2)=-5$，二者相等且不为0，符合要求；
对$B_3(0,-6)$：$0-4=-4$，$-6-(-2)=-4$，二者相等且不为0，符合要求；
故点A的“对角点”为$B_2(-1,-7)$、$B_3(0,-6)$。
(2) 分两种情况讨论：
①当点$B$在$x$轴上时，设$B(t,0)$，
由题意得$t-(-2)=0-4$，解得$t=-6$，$\therefore B(-6,0)$；
②当点$B$在$y$轴上时，设$B(0,b)$，
由题意得$0-(-2)=b-4$，解得$b=6$，$\therefore B(0,6)$。
综上所述，点$B$的坐标为$(-6,0)$或$(0,6)$。
(3) 由题意得$m-3=n-(-1)$，整理得$m=n+4$。
$\because$点$B$在第四象限，
$\therefore\begin{cases}m＞0,\\n＜0,\end{cases}$将$m=n+4$代入得$\begin{cases}n+4＞0,\\n＜0,\end{cases}$解得$-4＜n＜0$，
此时$0＜n+4＜4$，即$0＜m＜4$。
由定义可知$x_2-x_1≠0$、$y_2-y_1≠0$，即$m≠3$，$n≠-1$，
$\therefore 0＜m＜4$且$m≠3$，$-4＜n＜0$且$n≠-1$。
【答案】
(1)$B_2(-1,-7),B_3(0,-6)$
(2)点$B$的坐标为$(-6,0)$或$(0,6)$
(3)$0＜m＜4$且$m≠3$，$-4＜n＜0$且$n≠-1$
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系点的特征，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题以新定义为载体，考查了分类讨论思想的运用，以及平面直角坐标系中不同位置点的坐标性质，解题关键是准确理解新定义的运算规则，同时注意不要遗漏“差值不为0”的隐含条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.65
本题为新定义类题型，解题前先明确“对角点”的核心规则：两点横坐标的差等于纵坐标的差，且差值不为0。各小问解题思路如下：
(1) 依次将3个候选点与点A(4,-2)代入规则验证，判断是否满足x₂-x₁=y₂-y₁≠0即可；
(2) 坐标轴上的点分两类：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别设出对应点坐标后，根据“对角点”规则列方程求解；
(3) 先根据规则得到m、n的等量关系，再结合第四象限点横坐标为正、纵坐标为负的特征列不等式组求解，最后注意不要遗漏“差值不为0”的隐含条件，排除不符合的取值。
【解析】
(1) 分别验证3个点：
对$B_1(2,0)$：$2-4=-2$，$0-(-2)=2$，二者不相等，不符合要求；
对$B_2(-1,-7)$：$-1-4=-5$，$-7-(-2)=-5$，二者相等且不为0，符合要求；
对$B_3(0,-6)$：$0-4=-4$，$-6-(-2)=-4$，二者相等且不为0，符合要求；
故点A的“对角点”为$B_2(-1,-7)$、$B_3(0,-6)$。
(2) 分两种情况讨论：
①当点$B$在$x$轴上时，设$B(t,0)$，
由题意得$t-(-2)=0-4$，解得$t=-6$，$\therefore B(-6,0)$；
②当点$B$在$y$轴上时，设$B(0,b)$，
由题意得$0-(-2)=b-4$，解得$b=6$，$\therefore B(0,6)$。
综上所述，点$B$的坐标为$(-6,0)$或$(0,6)$。
(3) 由题意得$m-3=n-(-1)$，整理得$m=n+4$。
$\because$点$B$在第四象限，
$\therefore\begin{cases}m＞0,\\n＜0,\end{cases}$将$m=n+4$代入得$\begin{cases}n+4＞0,\\n＜0,\end{cases}$解得$-4＜n＜0$，
此时$0＜n+4＜4$，即$0＜m＜4$。
由定义可知$x_2-x_1≠0$、$y_2-y_1≠0$，即$m≠3$，$n≠-1$，
$\therefore 0＜m＜4$且$m≠3$，$-4＜n＜0$且$n≠-1$。
【答案】
(1)$B_2(-1,-7),B_3(0,-6)$
(2)点$B$的坐标为$(-6,0)$或$(0,6)$
(3)$0＜m＜4$且$m≠3$，$-4＜n＜0$且$n≠-1$
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系点的特征，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题以新定义为载体，考查了分类讨论思想的运用，以及平面直角坐标系中不同位置点的坐标性质，解题关键是准确理解新定义的运算规则，同时注意不要遗漏“差值不为0”的隐含条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.65
