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5. 如图,在△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧交于点O,作射线AO,交BC于点E.已知$S_{△ ABC}=10,CE=2,AB=6$,则AC的长为(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
5.B
解析
【分析】
首先根据尺规作图的特征判断所作射线AO是∠BAC的角平分线，结合角平分线的性质可得点E到AB的距离等于CE的长度；再将△ABC的面积拆分为△ACE和△ABE的面积之和，分别表示两个三角形的面积后代入已知条件，即可建立关于AC的方程求解。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，AE是∠BAC的角平分线。
过点E作EF⊥AB于点F，
∵∠C=90°，即EC⊥AC，AE平分∠BAC，
∴根据角平分线的性质，得EF=CE=2。
∵$S_{△ABC}=S_{△ACE}+S_{△ABE}$，
已知$S_{△ABC}=10$，$AB=6$，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×EF=\frac{1}{2}×6×2=6$，
则$S_{△ACE}=10-6=4$。
又
∵$S_{△ACE}=\frac{1}{2}×AC×CE$，CE=2，
∴$\frac{1}{2}×AC×2=4$，解得$AC=4$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的突破口是准确识别角平分线的尺规作图，再利用角平分线的性质得到对应高的长度，通过分割三角形面积建立等量关系求解边长，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先根据尺规作图的特征判断所作射线AO是∠BAC的角平分线，结合角平分线的性质可得点E到AB的距离等于CE的长度；再将△ABC的面积拆分为△ACE和△ABE的面积之和，分别表示两个三角形的面积后代入已知条件，即可建立关于AC的方程求解。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，AE是∠BAC的角平分线。
过点E作EF⊥AB于点F，
∵∠C=90°，即EC⊥AC，AE平分∠BAC，
∴根据角平分线的性质，得EF=CE=2。
∵$S_{△ABC}=S_{△ACE}+S_{△ABE}$，
已知$S_{△ABC}=10$，$AB=6$，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×EF=\frac{1}{2}×6×2=6$，
则$S_{△ACE}=10-6=4$。
又
∵$S_{△ACE}=\frac{1}{2}×AC×CE$，CE=2，
∴$\frac{1}{2}×AC×2=4$，解得$AC=4$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的突破口是准确识别角平分线的尺规作图，再利用角平分线的性质得到对应高的长度，通过分割三角形面积建立等量关系求解边长，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A = 60°，则∠BOC =
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
1. 如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A = 60°，则∠BOC =
120°
。第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
答案
1. 120°
解析
【分析】
首先根据“点O到三边的距离相等”这一条件，结合角平分线的判定定理，可判断点O是△ABC三个内角的角平分线交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。接下来先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再推导得到∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和定理就能求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
已知$∠ A=60°$，在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在△OBC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是基础类考题，解题核心是根据点到三边距离相等判断出点为三角形内角平分线的交点，再结合三角形内角和定理逐步计算即可，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
首先根据“点O到三边的距离相等”这一条件，结合角平分线的判定定理，可判断点O是△ABC三个内角的角平分线交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。接下来先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再推导得到∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和定理就能求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
已知$∠ A=60°$，在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在△OBC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是基础类考题，解题核心是根据点到三边距离相等判断出点为三角形内角平分线的交点，再结合三角形内角和定理逐步计算即可，逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF与AD的位置关系是
AD垂直平分EF
。答案
2. AD垂直平分EF
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：①AD是角平分线，②DE⊥AB、DF⊥AC，首先根据角平分线的性质可得到DE=DF；接下来可证明Rt△AED和Rt△AFD全等，得到AE=AF，说明△AEF是等腰三角形；最后结合AD是顶角∠EAF的角平分线，利用等腰三角形“三线合一”的性质，就能推出AD和EF的位置关系。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
又
∵AD平分∠EAF，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD垂直平分EF。
【答案】
AD垂直平分EF
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是灵活运用角平分线性质得到相等线段，通过全等三角形证明等腰三角形，再结合等腰三角形的性质推导两条线的位置关系，逻辑链条清晰，是对几何基础定理应用的典型考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：①AD是角平分线，②DE⊥AB、DF⊥AC，首先根据角平分线的性质可得到DE=DF；接下来可证明Rt△AED和Rt△AFD全等，得到AE=AF，说明△AEF是等腰三角形；最后结合AD是顶角∠EAF的角平分线，利用等腰三角形“三线合一”的性质，就能推出AD和EF的位置关系。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
又
∵AD平分∠EAF，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD垂直平分EF。
【答案】
AD垂直平分EF
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是灵活运用角平分线性质得到相等线段，通过全等三角形证明等腰三角形，再结合等腰三角形的性质推导两条线的位置关系，逻辑链条清晰，是对几何基础定理应用的典型考查。
【难度系数】
0.7
3.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上.若PC=3，OD=6，则△POD的面积为
9
.答案
3. 9
解析
【分析】
要求△POD的面积，已知底OD=6，只需要求出OD边上的高即可计算面积。结合已知条件OP是∠AOB的角平分线，PC⊥OA且PC=3，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点P作OB的垂线，该垂线段的长度就等于PC=3，也就是△POD中OD边上的高，最后代入三角形面积公式就能得出结果。
【解析】
解：过点P作PE⊥OB于点E。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE = PC = 3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵OD=6，PE是△POD中OD边上的高，
∴$S_{△ POD}=\frac{1}{2} × OD × PE=\frac{1}{2} × 6 × 3=9$。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是结合角平分线的性质构造辅助线得到所求三角形的高，要熟练掌握角平分线的性质，学会结合面积求解需求灵活运用定理。
【难度系数】
0.8
要求△POD的面积，已知底OD=6，只需要求出OD边上的高即可计算面积。结合已知条件OP是∠AOB的角平分线，PC⊥OA且PC=3，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点P作OB的垂线，该垂线段的长度就等于PC=3，也就是△POD中OD边上的高，最后代入三角形面积公式就能得出结果。
【解析】
解：过点P作PE⊥OB于点E。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE = PC = 3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵OD=6，PE是△POD中OD边上的高，
∴$S_{△ POD}=\frac{1}{2} × OD × PE=\frac{1}{2} × 6 × 3=9$。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是结合角平分线的性质构造辅助线得到所求三角形的高，要熟练掌握角平分线的性质，学会结合面积求解需求灵活运用定理。
【难度系数】
0.8
4.如图，∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，D为OC上一点，过点D作直线DE⊥OA，垂足为点E，交OB于点F。若DE=2，则DF的长为
4
。答案
4. 4
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的角平分线，D在OC上，DE⊥OA且DE=2，求DF长度。第一步，看到角平分线和点到角一边的垂线段，优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过D作OB的垂线段，该垂线段长度与DE相等；第二步，结合∠AOB=60°和DE⊥OA，可求出△OEF中∠OFE的度数为30°；第三步，在含30°角的直角三角形中，利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”的性质即可求出DF的长度。
【解析】
过点D作DG⊥OB，垂足为G。
1. 因为OC是∠AOB的平分线，DE⊥OA，DG⊥OB，根据角平分线的性质，可得DG=DE=2。
2. 在△OEF中，∠OEF=90°，∠AOB=60°，由三角形内角和为180°，得∠OFE=180°-90°-60°=30°，即∠DFG=30°。
3. 在Rt△DGF中，∠DGF=90°，∠DFG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得DF=2DG=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 含30°角的直角三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考察角平分线性质与特殊直角三角形性质的结合应用，解题的关键是正确作出辅助线构造出等长的垂线段，再结合角度关系利用特殊直角三角形的性质求解，是平面几何的典型基础考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理已知条件：已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的角平分线，D在OC上，DE⊥OA且DE=2，求DF长度。第一步，看到角平分线和点到角一边的垂线段，优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过D作OB的垂线段，该垂线段长度与DE相等；第二步，结合∠AOB=60°和DE⊥OA，可求出△OEF中∠OFE的度数为30°；第三步，在含30°角的直角三角形中，利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”的性质即可求出DF的长度。
【解析】
过点D作DG⊥OB，垂足为G。
1. 因为OC是∠AOB的平分线，DE⊥OA，DG⊥OB，根据角平分线的性质，可得DG=DE=2。
2. 在△OEF中，∠OEF=90°，∠AOB=60°，由三角形内角和为180°，得∠OFE=180°-90°-60°=30°，即∠DFG=30°。
3. 在Rt△DGF中，∠DGF=90°，∠DFG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得DF=2DG=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 含30°角的直角三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考察角平分线性质与特殊直角三角形性质的结合应用，解题的关键是正确作出辅助线构造出等长的垂线段，再结合角度关系利用特殊直角三角形的性质求解，是平面几何的典型基础考法。
【难度系数】
0.7
三、解答题
如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，CE与BF相交于点D，且BD=CD.求证：点D在∠BAC的平分线上.
如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，CE与BF相交于点D，且BD=CD.求证：点D在∠BAC的平分线上.
答案
证明：
∵ $CE⊥AB$，$BF⊥AC$，
∴ $∠ BED = ∠ CFD = 90°$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ BED = ∠ CFD \\∠ BDE = ∠ CDF \\BD = CD\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDF$（AAS）。
∴ $DE = DF$。
又∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上。
∵ $CE⊥AB$，$BF⊥AC$，
∴ $∠ BED = ∠ CFD = 90°$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ BED = ∠ CFD \\∠ BDE = ∠ CDF \\BD = CD\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDF$（AAS）。
∴ $DE = DF$。
又∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上。
解析
【分析】
要证明点D在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需先证明点D到AB、AC两边的距离相等，即DE=DF。观察图形可知DE、DF分别属于△BDE和△CDF，结合已知条件：CE⊥AB、BF⊥AC可得两个直角相等，已知BD=CD，还有对顶角∠BDE=∠CDF，可通过AAS证明△BDE≌△CDF，从而得到DE=DF，最终推导得出结论。
【解析】
证明：
∵ $CE⊥AB$，$BF⊥AC$，
∴ $∠ BED = ∠ CFD = 90°$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ BED = ∠ CFD \\∠ BDE = ∠ CDF \\BD = CD\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDF$（AAS）。
∴ $DE = DF$。
又
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上。
【答案】
点D在∠BAC的平分线上，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），全等三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先明确证明目标，逆向推导所需条件，通过证明三角形全等得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理完成证明，能有效考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明点D在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需先证明点D到AB、AC两边的距离相等，即DE=DF。观察图形可知DE、DF分别属于△BDE和△CDF，结合已知条件：CE⊥AB、BF⊥AC可得两个直角相等，已知BD=CD，还有对顶角∠BDE=∠CDF，可通过AAS证明△BDE≌△CDF，从而得到DE=DF，最终推导得出结论。
【解析】
证明：
∵ $CE⊥AB$，$BF⊥AC$，
∴ $∠ BED = ∠ CFD = 90°$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ BED = ∠ CFD \\∠ BDE = ∠ CDF \\BD = CD\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDF$（AAS）。
∴ $DE = DF$。
又
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上。
【答案】
点D在∠BAC的平分线上，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），全等三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先明确证明目标，逆向推导所需条件，通过证明三角形全等得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理完成证明，能有效考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
