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1. 下列方程是二元一次方程的为 （
A.$x - 5 = 6$
B.$3xy + 4 = -8$
C.$4x + 2 = 3x + 4$
D.$x - y = 4$
D
）A.$x - 5 = 6$
B.$3xy + 4 = -8$
C.$4x + 2 = 3x + 4$
D.$x - y = 4$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个方程是不是二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个判定标准：1.是整式方程；2.方程中一共含有2个不同的未知数；3.所有含未知数的项的次数都是1。解题时只需将每个选项依次对照这三个标准，逐一排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
对各选项逐一分析：
A. 方程$x - 5 = 6$只含有1个未知数$x$，属于一元一次方程，不符合二元的要求，排除；
B. 方程$3xy + 4 = -8$中，含未知数的项$3xy$的次数是$1+1=2$，不满足次数为1的要求，排除；
C. 方程$4x + 2 = 3x + 4$化简后为$x=2$，只含有1个未知数$x$，属于一元一次方程，排除；
D. 方程$x - y = 4$含有$x、y$两个未知数，且含未知数的项$x、-y$的次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
1.二元一次方程的判定
2.单项式次数计算
3.一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对二元一次方程定义的掌握，解题时要注意三个判定条件缺一不可，尤其要注意类似$xy$这种两个未知数相乘的项，次数为2，不属于一次项，避免误选。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是不是二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个判定标准：1.是整式方程；2.方程中一共含有2个不同的未知数；3.所有含未知数的项的次数都是1。解题时只需将每个选项依次对照这三个标准，逐一排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
对各选项逐一分析：
A. 方程$x - 5 = 6$只含有1个未知数$x$，属于一元一次方程，不符合二元的要求，排除；
B. 方程$3xy + 4 = -8$中，含未知数的项$3xy$的次数是$1+1=2$，不满足次数为1的要求，排除；
C. 方程$4x + 2 = 3x + 4$化简后为$x=2$，只含有1个未知数$x$，属于一元一次方程，排除；
D. 方程$x - y = 4$含有$x、y$两个未知数，且含未知数的项$x、-y$的次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
1.二元一次方程的判定
2.单项式次数计算
3.一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对二元一次方程定义的掌握，解题时要注意三个判定条件缺一不可，尤其要注意类似$xy$这种两个未知数相乘的项，次数为2，不属于一次项，避免误选。
【难度系数】
0.8
2. 若$\begin{cases}x=-2, \\ y=1\end{cases}$是方程$2x - my =1$的一个解，则$m$的值是（ ）
A.$-1$
B.$-5$
C.$1$
D.$2$
A.$-1$
B.$-5$
C.$1$
D.$2$
答案
2.B
解析
【分析】
首先明确二元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知给出了方程的一组解，说明这组x、y的值代入原方程后等式一定成立，代入后原方程就转化为只含未知数m的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤计算就能求出m的值。
【解析】
解：把$\begin{cases}x=-2 \\ y=1\end{cases}$代入方程$2x - my =1$，得：
$2×(-2) - m×1 = 1$
计算化简得：$-4 - m = 1$
移项得：$-m = 1 + 4$
合并同类项得：$-m = 5$
系数化为1得：$m = -5$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，核心考查方程解的应用，解题的关键是将已知的解代入原方程，把二元一次方程转化为一元一次方程求解，计算时注意符号的变化即可。
【难度系数】
0.8
首先明确二元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知给出了方程的一组解，说明这组x、y的值代入原方程后等式一定成立，代入后原方程就转化为只含未知数m的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤计算就能求出m的值。
【解析】
解：把$\begin{cases}x=-2 \\ y=1\end{cases}$代入方程$2x - my =1$，得：
$2×(-2) - m×1 = 1$
计算化简得：$-4 - m = 1$
移项得：$-m = 1 + 4$
合并同类项得：$-m = 5$
系数化为1得：$m = -5$
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，核心考查方程解的应用，解题的关键是将已知的解代入原方程，把二元一次方程转化为一元一次方程求解，计算时注意符号的变化即可。
【难度系数】
0.8
3. 已知$\begin{cases}x=-3, \\ y=1\end{cases}$是方程$y=kx+10$的解，则$k$的值为（ ）
A.13
B.$-3$
C.$-13$
D.$3$
A.13
B.$-3$
C.$-13$
D.$3$
答案
3.D
解析
【分析】
解题的关键是理解二元一次方程解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的取值。我们可以将已知的x、y的值直接代入原方程，把原方程转化为只含有未知数k的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可得到k的值。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=-3, \\ y=1\end{cases}$是方程$y=kx+10$的解
∴ 将$x=-3$，$y=1$代入方程，得：
$1 = -3k + 10$
移项，得：
$-3k = 1 - 10$
合并同类项，得：
$-3k = -9$
系数化为1，得：
$k = 3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，掌握代入法求解参数是解题的核心，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
解题的关键是理解二元一次方程解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的取值。我们可以将已知的x、y的值直接代入原方程，把原方程转化为只含有未知数k的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可得到k的值。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=-3, \\ y=1\end{cases}$是方程$y=kx+10$的解
∴ 将$x=-3$，$y=1$代入方程，得：
$1 = -3k + 10$
移项，得：
$-3k = 1 - 10$
合并同类项，得：
$-3k = -9$
系数化为1，得：
$k = 3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，掌握代入法求解参数是解题的核心，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
4. 二元一次方程组$\begin{cases}x=3y, \\ x-y=4\end{cases}$的解是（ ）
A.$\begin{cases} x=-6, \\ y=-2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=2, \\ y=6 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=6, \\ y=2 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=-6, \\ y=-2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=2, \\ y=6 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=6, \\ y=2 \end{cases}$
答案
4.D
解析
【分析】
本题给出的二元一次方程组中，第一个方程已经直接用含y的式子表示出x，优先选择代入消元法求解，解题思路如下：第一步，将$x=3y$代入第二个方程，消去未知数x，得到仅含y的一元一次方程，求解得到y的值；第二步，将求出的y值代回$x=3y$，计算得到x的值，即可得到方程组的解。也可以采用代入选项验证的方法，逐一判断每个选项的x、y是否同时满足两个方程，均满足的即为正确答案。
【解析】
方法一：代入消元法
记方程组为$\begin{cases}x=3y&① \\ x-y=4&②\end{cases}$
将①代入②，可得：$3y - y =4$
合并同类项得：$2y=4$
解得：$y=2$
把$y=2$代入①，得：$x=3×2=6$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=6, \\ y=2 \end{cases}$
方法二：代入验证法
A选项：将$x=-6,y=-2$代入②，左边为$-6-(-2)=-4≠4$，不满足方程，排除；
B选项：将$x=3,y=1$代入②，左边为$3-1=2≠4$，不满足方程，排除；
C选项：将$x=2,y=6$代入①，左边为$2≠3×6=18$，不满足方程，排除；
D选项：将$x=6,y=2$代入①，左边$6=3×2$，满足方程；代入②，左边$6-2=4=$右边，满足两个方程，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组、二元一次方程组的解
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，代入消元法是解二元一次方程组的核心方法之一，代入验证法适合选择题型，可提升解题效率，掌握两种方法的任意一种都可顺利解题。
【难度系数】
0.9
本题给出的二元一次方程组中，第一个方程已经直接用含y的式子表示出x，优先选择代入消元法求解，解题思路如下：第一步，将$x=3y$代入第二个方程，消去未知数x，得到仅含y的一元一次方程，求解得到y的值；第二步，将求出的y值代回$x=3y$，计算得到x的值，即可得到方程组的解。也可以采用代入选项验证的方法，逐一判断每个选项的x、y是否同时满足两个方程，均满足的即为正确答案。
【解析】
方法一：代入消元法
记方程组为$\begin{cases}x=3y&① \\ x-y=4&②\end{cases}$
将①代入②，可得：$3y - y =4$
合并同类项得：$2y=4$
解得：$y=2$
把$y=2$代入①，得：$x=3×2=6$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=6, \\ y=2 \end{cases}$
方法二：代入验证法
A选项：将$x=-6,y=-2$代入②，左边为$-6-(-2)=-4≠4$，不满足方程，排除；
B选项：将$x=3,y=1$代入②，左边为$3-1=2≠4$，不满足方程，排除；
C选项：将$x=2,y=6$代入①，左边为$2≠3×6=18$，不满足方程，排除；
D选项：将$x=6,y=2$代入①，左边$6=3×2$，满足方程；代入②，左边$6-2=4=$右边，满足两个方程，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组、二元一次方程组的解
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，代入消元法是解二元一次方程组的核心方法之一，代入验证法适合选择题型，可提升解题效率，掌握两种方法的任意一种都可顺利解题。
【难度系数】
0.9
5. 二元一次方程组$\begin{cases}x+y=-2, \\ 2x-y=2\end{cases}$的解是（ ）
A.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=-2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-2, \\ y=0 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=-2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-2, \\ y=0 \end{cases}$
答案
5.C
解析
【分析】
求解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元方程转化为我们熟悉的一元一次方程求解。观察本题的两个方程，y的系数分别为1和-1，互为相反数，优先选择加减消元法消去y，求出x的值后再代入求y即可；也可以采用代入验证法，将各选项的x、y值分别代入两个方程，同时满足两个方程的即为方程组的解。
【解析】
给方程组编号如下：
$\begin{cases}x+y=-2&① \\ 2x-y=2&②\end{cases}$
将①+②消去y：左边相加得$x+y+2x-y=3x$，右边相加得$-2+2=0$，即$3x=0$，解得$x=0$。
把$x=0$代入①式，得$0+y=-2$，解得$y=-2$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=0, \\ y=-2 \end{cases}$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法；加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础考查题，消元法是解二元一次方程组的核心方法，也可通过代入选项验证的方式快速选出正确答案，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.9
求解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元方程转化为我们熟悉的一元一次方程求解。观察本题的两个方程，y的系数分别为1和-1，互为相反数，优先选择加减消元法消去y，求出x的值后再代入求y即可；也可以采用代入验证法，将各选项的x、y值分别代入两个方程，同时满足两个方程的即为方程组的解。
【解析】
给方程组编号如下：
$\begin{cases}x+y=-2&① \\ 2x-y=2&②\end{cases}$
将①+②消去y：左边相加得$x+y+2x-y=3x$，右边相加得$-2+2=0$，即$3x=0$，解得$x=0$。
把$x=0$代入①式，得$0+y=-2$，解得$y=-2$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=0, \\ y=-2 \end{cases}$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法；加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础考查题，消元法是解二元一次方程组的核心方法，也可通过代入选项验证的方式快速选出正确答案，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.9
6. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛。问大、小器各容几何？”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒$x$斛，1个小桶可以盛酒$y$斛，则可列方程组为（
A.$\begin{cases}5x + y = 3, \\x + 5y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x + y = 2, \\x + 5y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x = y - 3, \\x = 2 - 5y\end{cases}$
D.$\begin{cases}5y = 3 + x, \\y = 2 - 5x\end{cases}$
A
）A.$\begin{cases}5x + y = 3, \\x + 5y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x + y = 2, \\x + 5y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x = y - 3, \\x = 2 - 5y\end{cases}$
D.$\begin{cases}5y = 3 + x, \\y = 2 - 5x\end{cases}$
答案
6.A
解析
【分析】
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的基础题，解题思路是先从题干中提取两个核心等量关系，再将设好的未知数代入等量关系得到方程组，最后匹配选项即可。首先要抓住两个已知条件：一是5个大桶加1个小桶总盛酒量为3斛，二是1个大桶加5个小桶总盛酒量为2斛，分别把两个条件转化为方程就能得到结果。
【解析】
第一步，梳理第一个等量关系：5个大桶的盛酒量+1个小桶的盛酒量=3斛，代入设好的未知数，可得方程$\boldsymbol{5x + y = 3}$；
第二步，梳理第二个等量关系：1个大桶的盛酒量+5个小桶的盛酒量=2斛，代入设好的未知数，可得方程$\boldsymbol{x + 5y = 2}$；
第三步，联立两个方程得到方程组$\begin{cases}5x + y = 3, \\x + 5y = 2\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；根据等量关系列方程
【点评】
本题是实际问题与方程结合的典型基础题，解题关键是准确读懂题意，提取题干中的等量关系，只要仔细审题，不容易出错。
【难度系数】
0.8
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的基础题，解题思路是先从题干中提取两个核心等量关系，再将设好的未知数代入等量关系得到方程组，最后匹配选项即可。首先要抓住两个已知条件：一是5个大桶加1个小桶总盛酒量为3斛，二是1个大桶加5个小桶总盛酒量为2斛，分别把两个条件转化为方程就能得到结果。
【解析】
第一步，梳理第一个等量关系：5个大桶的盛酒量+1个小桶的盛酒量=3斛，代入设好的未知数，可得方程$\boldsymbol{5x + y = 3}$；
第二步，梳理第二个等量关系：1个大桶的盛酒量+5个小桶的盛酒量=2斛，代入设好的未知数，可得方程$\boldsymbol{x + 5y = 2}$；
第三步，联立两个方程得到方程组$\begin{cases}5x + y = 3, \\x + 5y = 2\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；根据等量关系列方程
【点评】
本题是实际问题与方程结合的典型基础题，解题关键是准确读懂题意，提取题干中的等量关系，只要仔细审题，不容易出错。
【难度系数】
0.8
7. 通信员要骑车到某地. 若他每小时行驶 15 km，则提前 24 min 到达；若他每小时行驶12 km，则要迟到 15 min. 设通信员到达某地的路程是 x km，原定的时间为 y h，则可列方程组为（
A.$\begin{cases} \dfrac{x}{15} -24 = y, \\ \dfrac{x}{12} +15 = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} \dfrac{x}{15} +24 = y, \\ \dfrac{x}{12} -15 = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{x}{15} - \dfrac{24}{60} = y, \\ \dfrac{x}{12} + \dfrac{15}{60} = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} \dfrac{x}{15} + \dfrac{24}{60} = y, \\ \dfrac{x}{12} - \dfrac{15}{60} = y \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} \dfrac{x}{15} -24 = y, \\ \dfrac{x}{12} +15 = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} \dfrac{x}{15} +24 = y, \\ \dfrac{x}{12} -15 = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{x}{15} - \dfrac{24}{60} = y, \\ \dfrac{x}{12} + \dfrac{15}{60} = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} \dfrac{x}{15} + \dfrac{24}{60} = y, \\ \dfrac{x}{12} - \dfrac{15}{60} = y \end{cases}$
答案
7.D
解析
【分析】
这是一道行程类的二元一次方程组应用题，解题思路如下：第一步，回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度；第二步，统一单位：题目中速度单位是km/h，原定时间单位是h，而提前、迟到的时间单位是min，需先把min换算为h（除以进率60），可直接排除未进行单位换算的A、B选项；第三步，找等量关系：①速度为15km/h时，行驶时间比原定时间少24min（提前到达），因此实际行驶时间+提前的时间=原定时间；②速度为12km/h时，行驶时间比原定时间多15min（迟到），因此实际行驶时间-迟到的时间=原定时间，代入对应量即可列出方程组。
【解析】
首先统一时间单位：$24\mathrm{min}=\frac{24}{60}\mathrm{h}$，$15\mathrm{min}=\frac{15}{60}\mathrm{h}$。
根据“时间=路程÷速度”，可得：
① 速度为15km/h时，实际行驶时间为$\frac{x}{15}\mathrm{h}$，比原定时间少$\frac{24}{60}\mathrm{h}$，因此列方程：$\frac{x}{15}+\frac{24}{60}=y$；
② 速度为12km/h时，实际行驶时间为$\frac{x}{12}\mathrm{h}$，比原定时间多$\frac{15}{60}\mathrm{h}$，因此列方程：$\frac{x}{12}-\frac{15}{60}=y$。
联立两个方程，得到的方程组与D选项一致。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用，行程问题公式，时间单位换算
【点评】
本题是列方程组解应用题的基础题型，解题核心是找准实际行驶时间和原定时间的等量关系，需特别注意不同单位的统一，避免因忽略单位换算直接代入数值出错。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的二元一次方程组应用题，解题思路如下：第一步，回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度；第二步，统一单位：题目中速度单位是km/h，原定时间单位是h，而提前、迟到的时间单位是min，需先把min换算为h（除以进率60），可直接排除未进行单位换算的A、B选项；第三步，找等量关系：①速度为15km/h时，行驶时间比原定时间少24min（提前到达），因此实际行驶时间+提前的时间=原定时间；②速度为12km/h时，行驶时间比原定时间多15min（迟到），因此实际行驶时间-迟到的时间=原定时间，代入对应量即可列出方程组。
【解析】
首先统一时间单位：$24\mathrm{min}=\frac{24}{60}\mathrm{h}$，$15\mathrm{min}=\frac{15}{60}\mathrm{h}$。
根据“时间=路程÷速度”，可得：
① 速度为15km/h时，实际行驶时间为$\frac{x}{15}\mathrm{h}$，比原定时间少$\frac{24}{60}\mathrm{h}$，因此列方程：$\frac{x}{15}+\frac{24}{60}=y$；
② 速度为12km/h时，实际行驶时间为$\frac{x}{12}\mathrm{h}$，比原定时间多$\frac{15}{60}\mathrm{h}$，因此列方程：$\frac{x}{12}-\frac{15}{60}=y$。
联立两个方程，得到的方程组与D选项一致。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用，行程问题公式，时间单位换算
【点评】
本题是列方程组解应用题的基础题型，解题核心是找准实际行驶时间和原定时间的等量关系，需特别注意不同单位的统一，避免因忽略单位换算直接代入数值出错。
【难度系数】
0.7
