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10.某校九年级学生开展踢毽子比赛活动,每班派5名学生参加,按团体总分多少排列名次,在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀.甲班和乙班成绩最好的5名学生的比赛数据如下表(单位:个):
经统计发现两班总分相等,此时有学生建议通过考察数据中的其他信息作为参考,来确定冠军.请你回答下列问题:
(1)计算两班的优秀率;
(2)写出两班比赛数据的中位数;
(3)求两班比赛数据的方差;
(4)根据以上三条信息,你认为应该把冠军奖状发给哪一个班?简述理由.
经统计发现两班总分相等,此时有学生建议通过考察数据中的其他信息作为参考,来确定冠军.请你回答下列问题:
(1)计算两班的优秀率;
(2)写出两班比赛数据的中位数;
(3)求两班比赛数据的方差;
(4)根据以上三条信息,你认为应该把冠军奖状发给哪一个班?简述理由.
答案
10.解:(1)甲班的优秀率为$\frac{3}{5}×100\%=60\%$,
乙班的优秀率为$\frac{2}{5}×100\%=40\%$.
(2)甲班成绩的中位数是100,乙班成绩的中位数是97.
(3)$\bar{x}_甲=500÷5=100$,$\bar{x}_乙=500÷5=100$,
$s_甲^2=\frac{1}{5}×[(100-100)^2+(98-100)^2+(110-100)^2+(89-100)^2+(103-100)^2]=46.8$,
$s_乙^2=\frac{1}{5}×[(89-100)^2+(100-100)^2+(95-100)^2+(119-100)^2+(97-100)^2]=103.2$.
(4)应把冠军奖状发给甲班.理由如下:
从优秀率上作比较,甲班成绩比乙班好;从中位数上作比较,甲班成绩比乙班好;从方差上作比较,甲班成绩比乙班稳定,且平均数相同.综上所述,应该把冠军奖状发给甲班.
乙班的优秀率为$\frac{2}{5}×100\%=40\%$.
(2)甲班成绩的中位数是100,乙班成绩的中位数是97.
(3)$\bar{x}_甲=500÷5=100$,$\bar{x}_乙=500÷5=100$,
$s_甲^2=\frac{1}{5}×[(100-100)^2+(98-100)^2+(110-100)^2+(89-100)^2+(103-100)^2]=46.8$,
$s_乙^2=\frac{1}{5}×[(89-100)^2+(100-100)^2+(95-100)^2+(119-100)^2+(97-100)^2]=103.2$.
(4)应把冠军奖状发给甲班.理由如下:
从优秀率上作比较,甲班成绩比乙班好;从中位数上作比较,甲班成绩比乙班好;从方差上作比较,甲班成绩比乙班稳定,且平均数相同.综上所述,应该把冠军奖状发给甲班.
解析
【分析】
1. 求解优秀率：先明确“每人踢100个以上（含100个）为优秀”的规则，分别统计甲、乙两班符合优秀标准的人数，用优秀人数除以参赛总人数5，再乘100%即可得到优秀率。
2. 求解中位数：先将每个班的5个成绩从小到大排序，由于数据个数为奇数，排序后位于最中间的第3个数据就是该班成绩的中位数。
3. 求解方差：先计算两班的平均成绩（两班总分均为500，总人数为5，因此平均成绩均为100），再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+…+(x_n-\bar{x})^2]$分别计算两班的方差。
4. 确定冠军归属：对比两班的优秀率、中位数、方差三个指标：优秀率越高说明优秀人数越多，中位数越高说明中等水平学生成绩越好，方差越小说明成绩越稳定，综合三个指标判断更优秀的班级即可。
【解析】
(1) 统计得甲班优秀人数为3人，乙班优秀人数为2人：
甲班的优秀率为$\frac{3}{5}×100\%=60\%$，
乙班的优秀率为$\frac{2}{5}×100\%=40\%$。
(2) 将甲班成绩从小到大排序：89，98，100，103，110，中间数据为100；
将乙班成绩从小到大排序：89，95，97，100，119，中间数据为97。
因此甲班成绩的中位数是100，乙班成绩的中位数是97。
(3) 先计算平均成绩：
$\bar{x}_甲=500÷5=100$，$\bar{x}_乙=500÷5=100$，
代入方差公式计算：
$s_甲^2=\frac{1}{5}×[(100-100)^2+(98-100)^2+(110-100)^2+(89-100)^2+(103-100)^2]=46.8$，
$s_乙^2=\frac{1}{5}×[(89-100)^2+(100-100)^2+(95-100)^2+(119-100)^2+(97-100)^2]=103.2$。
(4) 应把冠军奖状发给甲班，理由：从优秀率看，甲班优秀率高于乙班，优秀人数更多；从中位数看，甲班成绩中位数高于乙班，中等水平学生成绩更好；从方差看，两班平均成绩相同，甲班方差更小，成绩更稳定，因此甲班整体表现更好。
【答案】
(1) 甲班优秀率60%，乙班优秀率40%；
(2) 甲班中位数100，乙班中位数97；
(3) 甲班方差46.8，乙班方差103.2；
(4) 应把冠军奖状发给甲班，理由：甲班优秀率更高、中位数更高，且成绩更稳定，整体表现更优。
【知识点】
优秀率计算、中位数计算、方差计算
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查统计特征量的计算与应用，需要熟练掌握各特征量的计算方法，理解不同特征量的实际意义，能够结合多维度信息综合分析数据优劣，是统计模块的典型应用题目。
【难度系数】
0.7
1. 求解优秀率：先明确“每人踢100个以上（含100个）为优秀”的规则，分别统计甲、乙两班符合优秀标准的人数，用优秀人数除以参赛总人数5，再乘100%即可得到优秀率。
2. 求解中位数：先将每个班的5个成绩从小到大排序，由于数据个数为奇数，排序后位于最中间的第3个数据就是该班成绩的中位数。
3. 求解方差：先计算两班的平均成绩（两班总分均为500，总人数为5，因此平均成绩均为100），再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+…+(x_n-\bar{x})^2]$分别计算两班的方差。
4. 确定冠军归属：对比两班的优秀率、中位数、方差三个指标：优秀率越高说明优秀人数越多，中位数越高说明中等水平学生成绩越好，方差越小说明成绩越稳定，综合三个指标判断更优秀的班级即可。
【解析】
(1) 统计得甲班优秀人数为3人，乙班优秀人数为2人：
甲班的优秀率为$\frac{3}{5}×100\%=60\%$，
乙班的优秀率为$\frac{2}{5}×100\%=40\%$。
(2) 将甲班成绩从小到大排序：89，98，100，103，110，中间数据为100；
将乙班成绩从小到大排序：89，95，97，100，119，中间数据为97。
因此甲班成绩的中位数是100，乙班成绩的中位数是97。
(3) 先计算平均成绩：
$\bar{x}_甲=500÷5=100$，$\bar{x}_乙=500÷5=100$，
代入方差公式计算：
$s_甲^2=\frac{1}{5}×[(100-100)^2+(98-100)^2+(110-100)^2+(89-100)^2+(103-100)^2]=46.8$，
$s_乙^2=\frac{1}{5}×[(89-100)^2+(100-100)^2+(95-100)^2+(119-100)^2+(97-100)^2]=103.2$。
(4) 应把冠军奖状发给甲班，理由：从优秀率看，甲班优秀率高于乙班，优秀人数更多；从中位数看，甲班成绩中位数高于乙班，中等水平学生成绩更好；从方差看，两班平均成绩相同，甲班方差更小，成绩更稳定，因此甲班整体表现更好。
【答案】
(1) 甲班优秀率60%，乙班优秀率40%；
(2) 甲班中位数100，乙班中位数97；
(3) 甲班方差46.8，乙班方差103.2；
(4) 应把冠军奖状发给甲班，理由：甲班优秀率更高、中位数更高，且成绩更稳定，整体表现更优。
【知识点】
优秀率计算、中位数计算、方差计算
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查统计特征量的计算与应用，需要熟练掌握各特征量的计算方法，理解不同特征量的实际意义，能够结合多维度信息综合分析数据优劣，是统计模块的典型应用题目。
【难度系数】
0.7
