1[中]若一个多项式的每一项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式.例如$2x^3 - 3x^2y + y^3$是三次齐次多项式.若$x^m y - 2x^3 y^2 + 5x^2 y^n + 3xy^4 + y^5$是齐次多项式，则$(2m - 3n)^{99}$等于（）

A.1
B.-1
C.99
D.-99

B 【解析】因为$x^m y - 2x^3 y^2 + 5x^2 y^n + 3xy^4 + y^5$是齐次多项式,所以$m+1=5,2+n=5$,解得$m=4,n=3$,所以$(2m-3n)^{99}=-1$. 故选 B.

2[2025江苏宿迁期中,较难]已知整式$M:a_5x^5 + a_4x^4 + \dots + a_0$，其中$a_5$是正整数，$a_4,a_3,a_2,a_1,a_0$是自然数，若$a_5+a_0=p$，$a_4+a_3+a_2+a_1=q$，则下列说法:①若$p=1,q=0$，则满足条件的整式$M$有且仅有1个;②若$p=q=2$，则满足条件的整式$M$中有6个五次四项式;③若$p=3,q=1$，则满足条件的整式$M$共有12个,其中正确的个数是 ()

A.0
B.1
C.2
D.3

D 【解析】因为$a_5$是正整数,$a_4,a_3,a_2,a_1,a_0$是自然数,$p=1$,所以$a_5+a_0=p=1$,所以$a_5=1,a_0=0$. 因为$a_4+a_3+a_2+a_1=q=0$,所以$a_4=a_3=a_2=a_1=0$,所以$M$只有1个,为$x^5$,故①正确. 因为$p=q=2$,所以$a_5+a_0=p=2$,$a_4+a_3+a_2+a_1=q=2$. 因为要满足五次四项式,所以$a_5=a_0=1$,$a_4,a_3,a_2,a_1$中有两个为1,其余为0,所以$M=x^5+x^4+x^2+1$ 或 $M=x^5+x^4+x^3+1$ 或 $M=x^5+x^3+x+1$ 或 $M=x^5+x^4+x+1$ 或 $M=x^5+x^3+x^2+1$ 或 $M=x^5+x^2+x+1$,共6个,故②正确. 因为$a_5+a_0=p=3$,$a_4+a_3+a_2+a_1=q=1$,所以当$a_5=3,a_0=0$,$a_4,a_3,a_2,a_1$中有一个为1,其余为0时,满足条件的整式$M$有4个;当$a_5=2$,$a_0=1$,$a_4,a_3,a_2,a_1$中有一个为1,其余为0时,满足条件的整式$M$有4个;当$a_5=1$,$a_0=2$,$a_4,a_3,a_2,a_1$中有一个为1,其余为0时,满足条件的整式$M$共有12个,故③正确. 综上可知,正确的个数是3,故选 D.

3[2026浙江杭州期中,中]若多项式$(n-3)x^{m+2}-(n-2)x^{5-m}+3$是关于$x$的三次多项式,则多项式$m+n$的值为.

3或5 【解析】由题意可得,当$m+2=3$时,$m=1$,此时$5-m=4$,则$n-2=0$时满足式子为三次多项式,所以$n=2$,所以$m+n=1+2=3$;当$5-m=3$时,$m=2$,此时$m+2=4$,则$n-3=0$时满足式子为三次多项式,所以$n=3$,所以$m+n=2+3=5$. 故答案为3或5.

4[2026广东惠州期末,中]如图是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位: m),请回答下列问题:
(1)用含x的式子表示这所住宅的建筑面积(结果化成最简形式).
(2)上面的式子是多项式吗?如果是,它是几次几项式?它的二次项系数、一次项分别是什么?
(3)当x=3时,这所住宅的建筑面积是多少?

4.【解】(1)$x^2+2x+4×3+3×2=x^2+2x+18$. 故这所住宅的建筑面积为$(x^2+2x+18)\mathrm{m}^2$.
(2)$x^2+2x+18$是多项式,是二次三项式,二次项系数是1,一次项是$2x$.
(3)当$x=3$时,$x^2+2x+18=3^2+2×3+18=9+6+18=33$.
答:当$x=3$时,这所住宅的建筑面积是$33\ \mathrm{m}^2$.

5[中]已知多项式 $a^{10} - 3a^9b + 5a^8b^2 - 7a^7b^3 + \dots + mb^{10}$.
(1)根据这个多项式的排列规律,你能确定这个多项式是几次几项式吗?
(2)最后一项的系数$m$的值为多少?
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么?

5.【解】(1)因为多项式 $a^{10} - 3a^9b + 5a^8b^2 - 7a^7b^3 + \dots + mb^{10}$是按照$a$的降幂顺序排列的,所以该多项式有11项,并且每一项的次数是10,所以该多项式是十次十一项式.
(2)因为多项式 $a^{10} - 3a^9b + 5a^8b^2 - 7a^7b^3 + \dots + mb^{10}$ 有11项,所以每一项的系数分别是1,-3,5,-7,…,且偶数项的系数为负数,奇数项的系数为正数,所以第$n$项的系数为$(-1)^{n+1}(2n-1)$,所以第十一项的系数为21,所以$m=21$,即最后一项的系数$m$的值为21.
(3)因为多项式 $a^{10} - 3a^9b + 5a^8b^2 - 7a^7b^3 + \dots + mb^{10}$ 第$n$项的系数为$(-1)^{n+1}(2n-1)$,所以第七项的系数是$(-1)^{7+1}×(2×7-1)=13$,第八项的系数是$(-1)^{8+1}×(2×8-1)=-15$. 因为多项式 $a^{10} - 3a^9b + 5a^8b^2 - 7a^7b^3 + \dots + mb^{10}$ 按照$a$的降幂顺序排列,且每一项的次数是10,所以第七项是$13a^4b^6$,第八项是$-15a^3b^7$.

6 核心素养 运算能力[难]定义:$f(a,b)$是关于$a,b$的多项式,如果$f(a,b)=f(b,a)$,那么$f(a,b)$叫作“对称多项式”.例如,如果$f(a,b)=a^2+a+b+b^2$,则$f(b,a)=b^2+b+a+a^2$,显然$f(a,b)=f(b,a)$,所以$f(a,b)=a^2+a+b+b^2$是“对称多项式”.
(1)试说明$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”.
(2)请写一个“对称多项式”:$f(a,b)=$(不多于四项).
(3)如果$f_1(a,b)$和$f_2(a,b)$均为“对称多项式”,那么$f_1(a,b)+f_2(a,b)$一定是“对称多项式”吗?如果一定,请说明理由;如果不一定,请举例说明.

6.【解】(1)因为$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$,所以$f(b,a)=b^2-2ba+a^2$,所以$f(a,b)=f(b,a)$,所以$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”.
(2)当$f(a,b)=a+b$时,$f(b,a)=b+a=f(a,b)$,所以$f(a,b)=a+b$是“对称多项式”. 故答案为$a+b$(答案不唯一).
(3)不一定. 举例:$f_1(a,b)=a+b$,$f_2(a,b)=-a-b$都是“对称多项式”,而$f_1(a,b)+f_2(a,b)=0$,是单项式,不是多项式,所以$f_1(a,b)$和$f_2(a,b)$均为“对称多项式”,$f_1(a,b)+f_2(a,b)$不一定是“对称多项式”.