8 教材P48练习T3变式 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是边$AB$上的高，$∠ A=30°$。若$BC=2$，则$AD$的长为。

8. 3

9 [2025潍坊]如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地(AB为A地到B地的直线距离).甲:$A→C→B$,路程为$l_甲$.乙:$A→D→E→F→B$,路程为$l_乙$.丙:$A→G→H→B$,路程为$l_丙$.将$l_甲,l_乙,l_丙$按从大到小的顺序排列为 .

9. $l_甲=l_乙＞l_丙$ 【解析】设 AB=a,可以求得 $l_甲=2a$,$l_乙=2a$,$l_丙＜2a$,$\therefore l_甲=l_乙＞l_丙$.

10 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$AC$的中点，$DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，垂足分别为$E$，$F$，且$DE=DF$.求证:$△ ABC$是等边三角形.

10.
∵ DE⊥AB,DF⊥BC,
∴ ∠AED=∠CFD=90°.
∵ D 为AC 的中点,
∴ AD = CD. 在 Rt△AED 和 Rt△CFD 中,
$\begin{cases} AD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△AED ≌ Rt△CFD (HL),
∴ ∠A = ∠C,
∴ AB=BC.
∵ AB=AC,
∴ AB=BC=AC,
∴ △ABC 是等边三角形

11 如图，△ABC，△CDE 均为等边三角形，连接 BD，AE 交于点 O，BC 与 AE 交于点 P.
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AOB 的度数.

11. (1)
∵ △ABC,△CDE 均为等边三角形,
∴ AC=BC,CD=CE,∠ACB = ∠DCE = 60°,
∴ ∠ACB + ∠BCE = ∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD. 在△ACE 和△BCD 中,
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CE=CD, \end{cases}$
∴ △ACE≌△BCD(SAS),
∴ AE=BD
(2)
∵ △ACE≌△BCD,
∴ ∠CAE=∠CBD. 又
∵ △APC 与△BPO 的内角和均为 180°,∠APC=∠BPO,
∴ ∠BOP=∠ACP=60°,即∠AOB=60°

12 [2025福建]如图，$△ ABC$是等边三角形，D是AB的中点，$CE⊥ BC$，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的。已知EF过点A，BE交CD于点G。
（1）求$∠ DCE$的度数；
（2）求证：$△ CEG$是等边三角形。

12. (1)
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ AC=BC,∠ACB=60°.
∵ D 是 AB 的中点,
∴ ∠DCB=∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}×60°=30°$.
∵ CE⊥BC,
∴ ∠BCE=90°,
∴ ∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°
(2) 由平移可知,CD//EF,
∴ ∠EAC=∠DCA=30°.
∵ ∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°,
∴ ∠EAC=∠ECA,
∴ AE=CE,∠AEC=120°.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ AB = CB,
∴ BE 垂直平分 AC,
∴ 易得∠GEC = $\frac{1}{2}$∠AEC = $\frac{1}{2}×120° = 60°$. 由(1)知,∠GCE = 60°,
∴ ∠EGC=60°,
∴ ∠GEC=∠GCE=∠EGC,
∴ △CEG 是等边三角形