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1. (★)下列图形中，具有稳定性的是（）
答案
D
解析
解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。
选项A：图形中间为四边形，存在不稳定部分，整体不具有稳定性；
选项B：图形为凹四边形，属于四边形，不具有稳定性；
选项C：图形由两个四边形组成，不具有稳定性；
选项D：图形被对角线全部分割为三角形，所有组成部分均为三角形，因此具有稳定性。
选项A：图形中间为四边形，存在不稳定部分，整体不具有稳定性；
选项B：图形为凹四边形，属于四边形，不具有稳定性；
选项C：图形由两个四边形组成，不具有稳定性；
选项D：图形被对角线全部分割为三角形，所有组成部分均为三角形，因此具有稳定性。
2.(★)从八边形的一个顶点出发，可引出的对角线共有（）
A.3条
B.4条
C.5条
D.6条
A.3条
B.4条
C.5条
D.6条
答案
C
解析
n边形从一个顶点出发引对角线时，不能连接该顶点本身以及与该顶点相邻的2个顶点，因此可引出的对角线条数为n-3。将n=8代入公式，计算得8-3=5，即从八边形的一个顶点出发可引出5条对角线。
3.(★)若一个多边形的内角和比外角和多$720°$，则这个多边形的边数是（）
A.6
B.7
C.8
D.9
A.6
B.7
C.8
D.9
答案
C
解析
任意多边形的外角和为$360°$，设这个多边形的边数为$n$。根据题意，该多边形内角和为$360° + 720° = 1080°$。由$n$边形内角和公式$(n-2)·180°$，列方程得：
$(n-2)×180° = 1080°$
解得$n-2=6$，即$n=8$。
$(n-2)×180° = 1080°$
解得$n-2=6$，即$n=8$。
4. (★★)下列正多边形的组合中,不能够镶嵌平面的是 ()
A.正七边形和正方形
B.正方形和正八边形
C.正六边形和正三角形
D.正十二边形和正三角形
A.正七边形和正方形
B.正方形和正八边形
C.正六边形和正三角形
D.正十二边形和正三角形
答案
A
解析
平面镶嵌的要求是：在同一顶点处，各正多边形的内角和恰好等于360°，据此逐一验证：
1. 计算各正多边形内角度数：
正n边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$：
正七边形内角：$\frac{(7-2)×180°}{7}=\frac{900°}{7}\approx128.57°$，正方形内角为$90°$，假设存在正整数$m,n$满足$m×\frac{900°}{7}+n×90°=360°$，化简得$10m+7n=28$，无正整数解，无法镶嵌。
B选项：正方形内角$90°$，正八边形内角$135°$，$90°+2×135°=360°$，可以镶嵌。
C选项：正六边形内角$120°$，正三角形内角$60°$，$2×120°+2×60°=360°$，可以镶嵌。
D选项：正十二边形内角$150°$，正三角形内角$60°$，$2×150°+60°=360°$，可以镶嵌。
因此不能镶嵌平面的是A选项。
1. 计算各正多边形内角度数：
正n边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$：
正七边形内角：$\frac{(7-2)×180°}{7}=\frac{900°}{7}\approx128.57°$，正方形内角为$90°$，假设存在正整数$m,n$满足$m×\frac{900°}{7}+n×90°=360°$，化简得$10m+7n=28$，无正整数解，无法镶嵌。
B选项：正方形内角$90°$，正八边形内角$135°$，$90°+2×135°=360°$，可以镶嵌。
C选项：正六边形内角$120°$，正三角形内角$60°$，$2×120°+2×60°=360°$，可以镶嵌。
D选项：正十二边形内角$150°$，正三角形内角$60°$，$2×150°+60°=360°$，可以镶嵌。
因此不能镶嵌平面的是A选项。
5. (★★)如图,在四边形ABCD中,∠ABE是四边形ABCD的外角,且∠ABE=∠D,∠C=110°,则∠A的度数是 ()
A.110°
B.50°
C.70°
D.35°
A.110°
B.50°
C.70°
D.35°
答案
C
解析
根据邻补角的性质，可得∠ABE + ∠ABC = 180°，已知∠ABE=∠D，因此∠D + ∠ABC = 180°。
由四边形内角和为360°，得∠A + ∠ABC + ∠C + ∠D = 360°，将∠ABC+∠D=180°代入，可得∠A + ∠C = 180°。
已知∠C=110°，因此∠A=180°-110°=70°。
由四边形内角和为360°，得∠A + ∠ABC + ∠C + ∠D = 360°，将∠ABC+∠D=180°代入，可得∠A + ∠C = 180°。
已知∠C=110°，因此∠A=180°-110°=70°。
6. (★★)如图∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的三个外角,若∠A+∠B=225°,则∠1+∠2+∠3=（）
A.225°
B.180°
C.145°
D.325°
A.225°
B.180°
C.145°
D.325°
答案
A
解析
根据任意多边形的外角和都为360°，可知五边形的全部5个外角之和为360°。
已知∠A+∠B=225°，则∠A、∠B对应的两个外角的和为：
$(180°-∠A)+(180°-∠B)=360°-(∠A+∠B)=360°-225°=135°$
因此∠1+∠2+∠3=360°-135°=225°。
已知∠A+∠B=225°，则∠A、∠B对应的两个外角的和为：
$(180°-∠A)+(180°-∠B)=360°-(∠A+∠B)=360°-225°=135°$
因此∠1+∠2+∠3=360°-135°=225°。
7.（★）如图所示的是能伸缩的校门，它利用的四边形的性质是。
答案
解：四边形具有不稳定性。
8. (★)从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其他顶点，可以得到2026个三角形，则n=。
答案
$\boldsymbol{2028}$
解析
解：从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可得到$(n-2)$个三角形。
根据题意列方程：
$n-2=2026$
解得：
$n=2028$
根据题意列方程：
$n-2=2026$
解得：
$n=2028$
9. (★★)若一个六边形六个外角的度数比是1:2:2:4:5:6，则这个六边形中，最大内角的度数为。
答案
$\boldsymbol{162°}$
解析
解：
设这个六边形六个外角的度数分别为$ x $，$ 2x $，$ 2x $，$ 4x $，$ 5x $，$ 6x $。
由任意多边形的外角和为$ 360° $，可得：
$x + 2x + 2x + 4x + 5x + 6x = 360°$
合并同类项得：$ 20x = 360° $
解得：$ x = 18° $
多边形的内角与相邻外角互补，因此最小的外角对应最大的内角，最小外角为$ 18° $，
则最大内角的度数为$ 180° - 18° = 162° $。
最终
设这个六边形六个外角的度数分别为$ x $，$ 2x $，$ 2x $，$ 4x $，$ 5x $，$ 6x $。
由任意多边形的外角和为$ 360° $，可得：
$x + 2x + 2x + 4x + 5x + 6x = 360°$
合并同类项得：$ 20x = 360° $
解得：$ x = 18° $
多边形的内角与相邻外角互补，因此最小的外角对应最大的内角，最小外角为$ 18° $，
则最大内角的度数为$ 180° - 18° = 162° $。
最终
